第4章 空间力系

1、第四章 空间力系1 1、力在直角坐标轴上的投影、力在直角坐标轴上的投影 xyzXiZiYiFiXiZiYiFiX = FsincosY = FsinsinZ = Fcosxyz X = Fcos Y = Fcos Z = Fcos2、力的分解、力的分解3、空间力偶（、空间力偶（F, F )的力偶矩矢的力偶矩矢力偶矩矢的三要素：大小、方位和转向就是力偶矩的大小。可见，与矩心无关。如图力偶（ F，F ）对O点的矩为：4、汇交力系、力偶系的合成与平衡、汇交力系、力偶系的合成与平衡 合成结果：l R = Fi， M = Mi 平衡条件l Fi = 0 ， Mi = 01. 回顾力对点的矩 力F 对点O

2、的矩的矢量MO(F )，大小为：| MO(F)| = Fh = 2OAB式中OAB为图中阴影部分的面积。MO( F ) = rF力对点的矩矢等于矩心到力的作用点的矢径与该力的的矢量积。MO(F)若以 O 点为原点,令 i、j、k 分别为坐标轴 x、y、z 方向的单位矢量，设力在三坐标轴的投影为 X、Y、Z，则有r = x i + y j + z kF = X i + Y j + Z k= (yZ zY) i + (zX xZ) j + (xY yX) k2. 2. 力对轴的矩力对轴的矩 为了度量力对绕定轴转动的物体作用效果，必须了解力对轴的矩。以一个门为例：门上作用一个力 F假定门绕 z 轴旋

3、转将力 F 向 z 轴和 xy 面分解成两个分力 Fz 和Fxy，显然力 Fxy 使门绕 z 轴旋转。FxyFzzxyOz力对轴的矩之定义 力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于此平面与该轴的交点的矩的大小。顶着坐标轴看力使物体绕轴逆时针旋转为正。FFxyFzABh即 Mz( F ) = M O( Fxy) = Fxy h = 2OAB力对轴的矩等于零的情形： 力与轴相交( h = 0 ) 力与轴平行( Fxy = 0 )一句话: 只要力与轴在同一平面内,力对轴的矩等于零。FxyFxyFzFxyFxyFzFxy力对轴的矩之解析表达

4、式 设空间中有一个力 FyxyxOzXYFxyXYZFA(x, y, z)力作用点 A的坐标为 x，y，z ;力 F 在三坐标轴的投影分别为 X，Y，Z ;A(x, y, z)A(x, y, z)根据合力矩定理，得Mz( F ) = M O( Fxy) = MO( X ) + MO ( Y ) = xY yX将上式与按同类方法求得的其他两式合并写成：M x ( F ) = y Z z Y M y ( F ) = z Xx ZM z ( F ) = x Y y XXYZXYZ手柄 ABCE 在平面 Axy内，在D 处作用一个力F，它垂直y轴，偏离铅垂线的角度为，若CD = a，BCx轴，CE y

5、轴，AB = BC = l。求力F对x、y和z三轴的矩。例 4-1CDEAxzyFB显然， Fx = Fsin Fz = Fcos由合力矩定理可得：CDEAxzyB解法解法1 1 将力F沿坐标轴分解为Fx 和Fz。FxFzM x ( F ) = M x ( Fz ) = -F z (AB+CD) = - F ( l + a )cosM y ( F ) = M y ( Fz ) = - F z (BC) = - Fl cosM z ( F ) = M z ( Fx) = -F x (AB+CD) = -F ( l + a )sinFxFzFxFz解法解法2 2直接套用力对轴之矩的解析表达式：力在

6、 x、y、z轴的投影为X = F sin Y = 0Z = - F cos CDEAxzyBFxFzM x( F ) = yZ zY = ( l + a )(- Fcos) - 0 = - F( l + a )cosM y ( F ) = zX xZ = 0 - ( -l ) (- Fcos) = - FlcosM z ( F ) = xY yX = 0 - ( l + a ) ( Fsin) = -F( l + a )sin3. 3. 力对点的矩和力对轴的矩的关系力对点的矩和力对轴的矩的关系 力对点的矩矢量可以写成：可得 MO( F ) x = M x ( F ) MO( F ) y = M

7、 y ( F ) MO( F ) z = M z ( F ) MO( F ) = MO( F )x i + MO( F )y j + MO( F )z k = (yZ zY) i + (zX xZ) j + (xY yX) k 而 M x ( F ) = yZ zY M y ( F ) = zX xZ M z ( F ) = xY yX 力对点的矩和力对轴的矩的关系（续）如果力对通过O点的直角坐标轴 x、y、z 的矩是已知的，则力对点O的矩的大小和方向余弦为：图中力F 的大小为10kN，求的力 F 在 x、y、z三坐标轴的投影，以及对三坐标轴的矩和对O点的矩。(长度单位为m)OxyzA(4,9

8、,5)534例 4-2Fijk解：1、先求F的三个方向余弦F F见后续2、求力的投影（F = 10kN）OxyzA(4,9,5)534FijkF F已算得：见后续3、求力对轴的矩OxyzA(4,9,5)534FijkF F已算得：见后续（求力对轴的矩也完全可以先将力（求力对轴的矩也完全可以先将力 F F 分解为三个分分解为三个分力，再由合力矩定理分别求出力对轴的矩力，再由合力矩定理分别求出力对轴的矩）4、求力F对O点的矩由 MO (F ) = M x i + M y j + M z k 得：也可以按如下方法求解：仍设物体上只作用三个力仍设物体上只作用三个力F1 1 、 F2 2 和和 F3 3

9、 ，它们组成空间任意力系，在空间内任意取一它们组成空间任意力系，在空间内任意取一 O 点，点，分别将三力向此点简化。分别将三力向此点简化。 O点称为简化中心； R =F1 + F2 + F3; M = M1 + M2 + M3 ; 对于力的数目为 n 的空间任意力系，推广为：力系的主矢力系对简化中心的主矩结论 空间任意力系向一点简化，可得一力和一个力偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O；这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩矢。 主矢与简化中心无关；主矩一般情况下与简化中心的位置有关。1 1、空间力系简化为一个合力偶、空间力系简化为一个合力偶 主矢R = 0；主矩MO

10、 0 主矩与简化中心无关。2 2、空间力系简化为一个合力、空间力系简化为一个合力合力矩定理合力矩定理 主矢R 0；主矩MO = 0 合力的作用线通过简化中心。 主矢R 0；主矩MO 0且MO R RRRR”RRR”RR”RR”合力矩定理 R =Fi ，d= |MO| / R力偶（R，R）的矩MO等于R 对O点的矩，即 MO = MO(R) ，而又有 MO = MO(F)得关系式 MO( R ) = MO(F )即：将上式向任意轴投影（如 z 轴）得：Mz ( R ) = M z( F )OdOdO RRRR”RM3 3、空间力系简化为力螺旋的情形、空间力系简化为力螺旋的情形 主矢R 0；主矩M

11、O 0且MO ROOOORRRRMOMOMOMO右螺旋左螺旋 力螺旋就是由一个力和一个力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶作用面。 力螺旋的力作用线称为力螺旋的中心轴。 力螺旋由两个力学基本要素组成，不能进一步合成主矢R 0；主矩MO 0且MO与R即不平行也不正交 。 M”O = MO sin；MO = MO cos MO和R组成力螺旋，其中心轴距O点的距离为：OOOMOM”OMOMOMOMOMO4 4、空间力系简化为平衡的情形、空间力系简化为平衡的情形 主矢R = 0；主矩M O = 0空间力系平衡的充分必要条件： 所有力在三个坐标轴中的每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标

12、轴的矩的代数和也为零。 除了上述的基本方程，还有所谓的 4 力矩、5力矩和 6 力矩式。由：得：几种特殊情形平衡规律汇交力系汇交力系 所有的力矩方程恒等于0 汇交力系有三个平衡方程： X = 0，Y= 0，Z = 0平行力系（假定力的作用线平行平行力系（假定力的作用线平行 z z 轴）轴） X0，Y0 ，Mz 0 平行力系有三个平衡方程： Z = 0，M x = 0 ，M y = 0平面一般力系（假定力的作用面为平面一般力系（假定力的作用面为OxyOxy面）面） Z0 ，Mx 0 ，My 0 平面一般力系有三个平衡方程： X = 0，Y= 0，M z = 0约束反力未知量约 束 类 型AFAA

13、FAzFAyA径向轴承 圆柱铰链 铁轨 蝶铰链约束反力未知量约 束 类 型AFAyFAxFAzAFAyFAxFAzMAyMAzFAyFAzAMAy球形铰链止推轴承导向轴承万向接头约束反力未知量约 束 类 型AFAyFAxFAzMAyMAzMAxAFAyFAxFAzMAzMAxFAyFAzMAzMAxAMAy带有销子的夹板导 轨空间的固定端支座例 4-3 均质长方形薄板重 W = 200N，用球形铰链A和蝶形铰链 B 固定在墙上，并用二力杆 EC 将板维持水平。求 EC 杆的拉力和铰链的反力。WZBXBZAYAXAT解：解：受力分析如图CADBabyxzE3060ZAYAXAZAYAXAZBXB

14、TZBXBT空间任意力系的平衡方程有六个，所以对于空间任意力系作用下空间任意力系的平衡方程有六个，所以对于空间任意力系作用下平衡的物体，只能求解六个未知量。平衡的物体，只能求解六个未知量。本节基本目的：本节基本目的：受力分析受力分析 平衡方程的建立平衡方程的建立 解题技巧解题技巧X = 0，XA + XBT cos30 sin30 = 0Y = 0，YA T cos30 cos30 = 0Z = 0，ZA + ZB W + T sin30 = 0WZBXBZAYAXATCADBabE3060ZAYAXAZAYAXAZAYAXAZBXBTZBXBTZBXBTMz ( F ) = 0， X B a

15、 = 0M x ( F ) = 0， Z B a +T sin30 a W a / 2 = 0M y ( F ) = 0， W b / 2 T sin30 b = 0 解之得：XA = 86.6N，YA = 150N，ZA = 100N X B = 0，Z B = 0 ， T = 200NW = 200N图示三轮小车，自重 P = 8kN，作用于点 E，载荷 P1 = 10N，作用于点 C。求小车静止时地面对车轮的反力。例 4-4P1PFBFAFD解：以小车为研究对象，受力分析如图FBFAFDFBFAFD0.2mB0.6m0.6m1.2m2mED0. 2mACP10.2mB0.6m0.6m1.

16、2m2mED0. 2mACFBFDFBFDFBFDFBFDPOM x (F) = 0，2FD 1.2P 0.2P1 = 0 FD = 5.8kNM y (F) = 0，1.2FB 0.8P1 0.6P + 0.6FD = 0 FB = 7.8kNZ = 0， FA + FB + FD P1 P = 0 FA = 4.4kN适当地选择坐标轴对简化计算非常重要。FAFAFAFA选取坐标轴如图在图中，皮带的拉力 F2 = 2F1，曲柄上作用有铅垂力 F = 2000N。 已知皮带轮的直径 D = 400mm，曲柄长R = 300mm，= 30 ，=60 。求皮带拉力和轴承反力。例 4-5200mm2

17、00mm200mmDRFF2F1ABX = 0，F1sin30 + F2sin60 + XA + XB = 0Y = 0，0 = 0Z = 0，ZA + ZB - F - F1cos30 - F2cos60 = 0z yxzxFRDF2F1ZAXAZBXBF2F1FZAXAZBXBZAXAZBXBZAXAZBXB以整个轴为对象，受力分析如图200mm200mm200mmAB(= 30 ，=60 )解: 选坐标轴如图M x ( F ) = 0，400ZB - 200F + 200 F1cos30 + 200 F2cos60 = 0M y ( F ) = 0，FR - (F2 - F1) D/2

18、= 0M z ( F ) = 0，200F1 sin30 + 200F2 sin60 - 400XB = 0又有： F2 = 2F1 (由于Y 0，所以只有在题设条件下可解）解得： F1 =3000N，F2 = 6000N， XA = -1004N，ZA = 9397N，XB = 3348N，ZB = -1700Nz yxzxFRDF2F1ZAXAZBXBF2F1FZAXAZBXBZAXAZBXBZAXAZBXB200mm200mm200mmAB= 30 ，=60 水平均质板重P，6根直杆用球铰将板和地面连接，结构如图。求由板重引起得各杆内力。例 4-6解： 给各杆编号受力分析，假定各杆均受拉

19、力S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6MAB = 0MAE = 0S5 = 0MAC = 0S4 = 0MBF = 0S1 = 0MEG = 0S3 = 0MFG = 0 PaBHbADCFGE1. 1. 重心的概念及其坐标公式重心的概念及其坐标公式 重力是一个分布力系，可足够精确地视为空间平行力系。一般所谓重力，就是空间平行力系地合力。 可以证明不变形的物体（刚体）在地表面无论怎样放置，其平行分布重力的合力作用线都通过此物体上的一个确定的点，这一点称为物体的重心ViMiC推导物体重心的坐标公式如果将物体分割为许多小体积，每个小块体积

20、为Vi，所受重力为Pi，则整个物体的重量为P = PiPPi取直角坐标轴如图yizixizCxCyCxzyO根据合力矩定理，对 x 轴取矩，有- P yC = -(P1y1 + P2y2 + + Pnyn) = -Pi yi对y轴取矩，有P xC = (P1x1 + P2x2 + + Pnxn) = Pi xi见后续重心的坐标公式为了求坐标 zC，将物体连同直角坐标系 Oxyz 一起绕 x轴逆时针旋转90重力的方向并无改变对有 x 轴取矩，有P zC = (P1z1 + P2z2 + + Pnzn) = Pi ziViMiCPPiyizixizCxCyCxzyOxzyOViMiCPiPzizC

21、体积的重心如果物体是均质的，单位体积的重量为 =常量，以Vi 表示微小体积，物体总体积为 V=Vi 。 将Pi = Vi 代入重心公式，得上式的极限为体积重心与比重无关，只与物体的体积有关面积的重心 工程中常采用薄壳结构，其厚度与其表面积S相比是很小的，若薄壳均质等厚的，则重心公式为PPiyizixizCxCyCxzyOCds线段的重心 如果物体是均质等截面的细长线段，其截面尺寸与其长度 l 相比是很小的，则重心公式为yizixizCxCyCxzyOPPiC2. 2. 确定重心的常用方法确定重心的常用方法 当物体具有对称轴、对称面或对称中心时，它的重心一定在对称轴、对称面或对称中心上。 对于几何形状较复杂的均质物体，往往采用分分割法割法和负面积法负面积法3. 3. 确定重心的常用实验方法确定重心的常用实验方法 实验方法多种多样，但最常见的是。C C C C称重法 为了确定具有对称轴的图示连杆的重心xC，线先称出连杆重量 P 。 然后将其一端支承于 A 点，另一端放在磅称 B上，测得两点的水平距离 l 及 B 处的约束反力 FB , 假定为 G , 由