高中数学证明不等式基本方法PPT课件

1、方法综述 比较法是最原始，也是最常用的证明不等式的方法. 作差比较 直接作差 平方作差 取对数作差 作商比较(同号的时候才能用) 作差后常见的处理方法： 配完全平方 因式分解 有理化 分类讨论 第1页/共20页比较法证明不等式.,.).(.)()(.bnamnbmanmnmbabaabbbaababdacdcbabcad，证明，证明且且都是正数都是正数若若，求证，求证已知已知，求证，求证已知已知题组题组134621122422422222.,.sinsinsinsin,.mnnmnmnmbababanmbayxyxRyxbaaccbabcabccba求证求证已知已知，求证，求证已知已知，求证，

2、求证若若题组题组000061542222222.,33442233222abbabaabbabaabababbanm常见的不等式：常见的不等式：取特殊值，可得到以下取特殊值，可得到以下对对第2页/共20页. )(log)(log.,.log)(log,.,.)()( ;)(,.)(xxxaaaaacbacbacbaabbabababaaaaabaaccbcbababaabba111010101298217312222求证：求证：设设求证：求证：已知已知是正数，求证是正数，求证已知已知是正实数，求证是正实数，求证已知已知题组题组第3页/共20页证明不等式的基本方法综合法、分析法第4页/共20页方

3、法综述 常利用分析法找思路，综合法表述，或分析综合结合 运用“添”、“拆”、“并”等代数变形技巧，灵活使用一些常用不等式 关注“1”这个常见条件1、运用拆、并项等技巧，凑成能运用基本不等式的形式。2、熟悉一些已证过的常用不等式形式：cabcabcbaabbaababbaabbaabbaabbababaababbaabbaaa2222222222225020200244212230201)()(),(),(,)( ,)(,2)( ;)(;)(及其变式：及其变式：）的变式：的变式：第5页/共20页).(,.).(,.,.,.).()()()(,.,.)()(,.)(zxyzxyzcbaybacxa

4、cbRcbaRzyxcbaabccbacbannnaccbbacbabaccabcbacbaRcbaabccbaaccbbacbaaaaaaaRaaannnn2171634015011114213012211111142224442222333222222212121求证：求证：已知已知求证求证为互不相等的实数为互不相等的实数已知已知求证求证已知已知求证求证已知已知求证求证已知已知求证求证已知已知求证求证且且已知已知课本习题课本习题题组题组第6页/共20页.:,.).()( ;)(:,.)( ;)( ;)(:,.34111203231119313323111185222222bacbacbaa

5、bccbacbaabcacbbcacbacabcabRcbacabcabcbacbacbaRcba求求证证满满足足已已知知实实数数求求证证且且已已知知求求证证且且已已知知题题组组*与“1”有关的证明第7页/共20页证明不等式的常用技巧放缩第8页/共20页方法综述 常见类型 1、添项或减项的“添舍”放缩 2、函数的单调性放缩 3、重要不等式放缩（包括基本不等式、真分数性质） 4、利用二项式定理进行放缩 5、拆项对比的分项放缩，如：122211111121121111111nnnnnkkkkkkkkkkkk!,)(!,)(,)(1、放缩成等比数列或可裂项求和的数列2、适当调整从第几项开始放缩3、注

6、意放缩的幅度第9页/共20页*).()()()().(.)()(, )(.,.,.NnnnnSnnnnScbacacababaRcbacaddbdccacbbdbaaRdcbann12121151131111185421211322132211122222求证：求证：上海上海求证：求证：设设求证：求证：若若求证求证已知已知题组题组添、减项放缩第10页/共20页.,)()(*).(,)(,),(),(),(.)(.)(.),(.2321110821312111127411212519164321131211121522111122221112222 nnnnnnnnnnnnnnnTSSSTSPx

7、NnxxxPPxPxxyPnyxPyxPyxPxoynnnnnnnnn求求证证：的的面面积积为为设设圆圆是是等等差差数数列列；求求证证：数数列列且且若若又又彼彼此此外外切切与与圆圆且且圆圆轴轴都都相相切切为为圆圆心心的的圆圆与与以以点点的的图图象象上上位位于于函函数数点点对对每每个个非非零零自自然然数数平平面面上上有有一一系系列列点点在在求求证证求求证证求求证证题题组组放缩成裂项求和第11页/共20页放缩成等比数列 ).(,)(.)().(,)(.)(,)(;)();(_,)(.,.,.124124524511816251115545553212142102112931111111111113

8、221nnnnnnnnnnnnkknnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSnnbSabbaafaaaxxxfxxxxxxxxnbaxbabbbabaxbanaaaaaaa时时求证：当求证：当项和项和的前的前为为记记满足满足设数列设数列的大小，并说明理由的大小，并说明理由与与比较比较满足满足设正项数列设正项数列已知函数已知函数求证：求证：；个更接近于个更接近于中哪一中哪一与与并说明并说明小小另一个比另一个比大大中一个比中一个比与与求证：求证：表示表示试用试用，不必证明，不必证明、填填时时填空当填空当满足满足、已知数列已知数列证明证明已知已知题组题组第12页/共20页二项式定理放缩 .:)

9、()(.,*:.*.24225216166114121331121241122122nnanaanananNnananaanNnnnnnnnnnnnnn时时，在在证证明明的的通通项项公公式式；求求数数列列时时，有有且且在在满满足足列列已已知知各各项项均均为为正正数数的的数数，求求证证：的的通通项项数数列列，都都有有求求证证：对对一一切切题题组组第13页/共20页证明不等式的常用技巧换元第14页/共20页方法综述的常见类型).(tan,tan,tan)(;cottan)(;sincos)(;sin,cos)()( ;sin,cos)(;sin,cos)( CBACzByAxxyzzyxxxxxx

10、xrbyraxrbyaxkrryrxkyxryrxryx，可设，可设若若或或，可设，可设对于对于或或，可设，可设对于对于，可设，可设若若，可设，可设若若，可设，可设若若6151430212222222222222：在对称式：在对称式(任意互换两个字母任意互换两个字母,代数式不变代数式不变)和给定字母顺序和给定字母顺序(如如abc)的不等式的不等式,可以增量进行可以增量进行代换代换,代换的目的是减少变量的个数代换的目的是减少变量的个数, 使问题化难为易使问题化难为易,化繁为简。化繁为简。 第15页/共20页三角换元.|,.|),(,.:),(.20383417200161314915522222

11、222222222bababaRbaRrbdacRrRdcrbadcbayxyxyxM求证：求证：已知已知求证：求证：，都是实数，且都是实数，且已知已知上，求证上，求证在椭圆在椭圆已知点已知点题组题组增量代换.:,.:,.11naaaaaacbacbaRcbacacbbacbann11203111941118622222222 求证求证已知已知求证求证且且已知已知，求证：，求证：已知已知题组题组第16页/共20页证明不等式的常用技巧构造第17页/共20页方法综述 构造函数证明不等式 构造函数探讨函数的单调性或最值转化为不等式证明 能化成同一代数结构的，抽象为一个函数的不同函数值 两个变量的，考虑主元思想 构造向量yxyxyxyxyx第18页/共20页构造函数mccmbbmaamcbaABCbbaababaRba:,.|,.求