第一章 第1讲 线性空间

1、返回矩阵理论李厚学科学学院返回一. 引言1.1.方程组求解方程组求解, Axb111101 2, , niinnnaaAainaaA A 非奇异非奇异1 xA b1100, nnaADa121211100000000, nnnnnn naaaLUaaa返回,ADLU1( ),Jacobi iterative method MD NLUAxb 0AMN(det M)MxNxbMxNxb11xMNxM b111( k)( k )( k )xMNxM bMxb 2( ),Gauss-Seidel iterative method MDL NU1131( )(),() Suc

2、cessive Overrelaxation Iterative mathods MDLNDU返回第一章线性代数基础返回1. 1. 线线 性性 空空 间间中定义加法：中定义加法：在在是一个数域是一个数域是一非空集合，是一非空集合，设设VPV.1、什么是线性空间？、什么是线性空间？如果如果之间定义数量乘法：之间定义数量乘法：与与在在.;kPVv加法与数量乘法满足：加法与数量乘法满足：1)2) ()()3)0,0VV有有4), .0VV s t 1)5 )()()6kllk lklk )()7kkk)()8性空间.则V称为数域P上的线返回.2线性空间判断下列集合是否构成的全体向量所构的全体向量所构

3、向量向量空间中不平行于一已知空间中不平行于一已知 )1成的集合，成的集合，的多项式全体所的多项式全体所上次数等于定数上次数等于定数数域数域)1()2 nnP构成的集合，构成的集合，?性空间性空间是否构成复数域上的线是否构成复数域上的线返回3. 与矩阵相关的四个基本子空间与矩阵相关的四个基本子空间（1 1）值域空间）值域空间（2 2）行向量空间）行向量空间（3 3）核）核（4 4）左核）左核这里讨论长方阵这里讨论长方阵A,A,m m- -byby-n-n列向量空间列向量空间返回. 4线线性性空空间间的的基基和和维维数数 在 中有 个线性无关的向量在 中有 个线性无关的向量而 中任意个向量都线性相

4、关而 中任意个向量都线性相关则称是则称是定定的的就就义义一组基一组基维维间间数数是线性空的是线性空的:,.nnVnVnVn111线性空间的维数与所考虑的数域有关线性空间的维数与所考虑的数域有关如： 复数域 看作自身上的线性空间为的；如： 复数域 看作自身上的线性空间为的；若看作实数域上的线性空若看作实数域上的线性空注意注意1 1间为间为维维维维的.的.2 2:.C返回. 4与一组基与一组基求下列线性空间的维数求下列线性空间的维数，阶方阵构成的空间阶方阵构成的空间上全体上全体数域数域nnPnP )1.)2上的空间上的空间域域中全体对称矩阵构成数中全体对称矩阵构成数 PPnn 解：解：njiEPi

5、jnn, 2 , 1,)1 基为基为2)dim(nPnn njiEEEFiijiijij 1)2令令.2)1( nn维数为维数为返回可交换的矩阵组可交换的矩阵组，证明：全体与，证明：全体与设设APAnn 5).(AC成的一个子空间，记为成的一个子空间，记为证EAAE ).(ACE )(,21ACAA 2211,AAAAAAAA AAA)()121 AAAA21 21AAAA )(21AAA PVWVWV:,.如果数域 上的线性空间 的一非空子集如果数域 上的线性空间 的一非空子集对于 的两种运算也构成线性空间 则称是 的对于 的两种运算也构成线性空间 则称是 的线性线性定定子空间子空间义义返回

6、AkA )()21)(1AAk )(1AAk )(1kAA .)(的子空间的子空间是是nnPAC 则则的两个非平凡子空间，的两个非平凡子空间，是线性空间是线性空间、设设VVV21. 6.21同时成立同时成立、，使，使中存在向量中存在向量VVV 是非平凡子空间是非平凡子空间1V证：证：1V 存在向量存在向量，则结论成立，则结论成立如果如果2V V2, 如果:如果:是非平凡子空间是非平凡子空间2V返回2V 存在向量存在向量，则结论成立，则结论成立如果如果1V ，就有，就有如果如果1V 2211,;,VVVV21,VV 返回2 2 空间分解与维数定理空间分解与维数定理 设是线性空间 的子空间设是线性

7、空间 的子空间和和则 与 的则 与 的定定为为义1:义1:1212,V VVVV12VV121122|,VV返回1l2l 2 1 1V2V返回定理定理1 1：设：设1V2V和和是线性空间是线性空间V的子空间，则的子空间，则dim() dim() dim() dim()121212VVVVVV(,)121122有有VV且是唯一的，这个和12VV就称为直和,记为21VV 定义定义2: 2: 设设1V2V和和 是线性空间是线性空间V的子空间的子空间,若对若对 ,12VV返回定理定理 2 2：设：设,1V2V是线性空间是线性空间V的子空间的子空间,则下列命题等价则下列命题等价（1）21VV 是直和：是

8、直和： （2） 零向量表示法唯一；零向量表示法唯一；（3）.021VV 例例 1：,( )( ),LL 设线性无关 则是直和设线性无关 则是直和.()( )LL而，不是直和而，不是直和返回定义定义3 3：设：设sVVV,21是线性空间是线性空间V的子空间，如果和的子空间，如果和sVVV21,(1,2, )12V issiisVVV21中的每个向量中的每个向量的分解式的分解式是唯一的，这个和是唯一的，这个和就称为直和，记为就称为直和，记为V +V+V12s相互等价：相互等价：（2） 零向量表示法唯一；零向量表示法唯一；定理定理 3 3：设：设是线性空间是线性空间V的子空间，则下列命题的子空间，则

9、下列命题sVVV,21（1）是直和：是直和：sVVVW21（3）.0)(ijjiVV （4）. )dim()dim(iVW返回3 商商 空空 间间定义定义1：MMVV模与则称满足如果设,同余).(modM记为性质性质 1 反身律：反身律：性质性质 2 对称律：对称律：性质性质 3 传递律：传递律：。)(mod M。则若)(mod),(modMM。则若)(mod),(modMM。则)(mod M返回定义定义 2：设设,V 则则 V 的子集的子集|Mm mM内的任一向量必与内的任一向量必与;M模同余模同余反之，反之，M与模同余的向量与模同余的向量必属于必属于.MM则则为模为模M 的一个的一个同余类

10、，同余类， 称为这称为这 个同余类的个同余类的代表代表.性质性质 4： .,MMM 若则若则.)()(,MMMM则若性质性质 5： 定义定义 3： V 的所有模的所有模M 的同余类的全体组成的集合称为的同余类的全体组成的集合称为V的的商集商集，记为，记为.V给商集定义如下的加法和数乘运算：给商集定义如下的加法和数乘运算：()()()()()()MMMMMM（2） ()()kMkMkMkM（1） 返回下面证明如上定义的运算的合理性。下面证明如上定义的运算的合理性。(mod)M)(modM（1)：)(11Mmm)(22MmmMmm)()(21()()MM )()()()(MMMM（2)：)(mod

11、M)(MmmMkkmkkMkMk)()(MkMk返回 定理定理 1 商集关于上面定义的加法和数量乘法运算为数域商集关于上面定义的加法和数量乘法运算为数域上的一个线性空间，这个线性空间称为上的一个线性空间，这个线性空间称为V 对于子空间对于子空间M的的商空间，记为商空间，记为V / M . 定理定理 2 设设 M 是是 V 的子空间，则的子空间，则 dim (V / M)=dim (V) - dim (M). 证明证明：,12MVs 将的一组基扩充为 的基为将的一组基扩充为 的基为nss,121下面证明下面证明12,(2 1) ssnMMM是商空间是商空间 V / M 的一组基的一组基.返回(1

12、): 先证（先证（2-1）式在）式在V / M 内线性无关。内线性无关。MMkMknnss0)()(11MMkknnss0)(11ssnnsskkkk111101111ssnnsskkkk021nsskkk(2): 再证任一再证任一M都可由（都可由（2-1）式线性表出。）式线性表出。1 111kkkks sssn n()111 1kkkkMssn ns s返回(mod)11kkMssn n()11MkkMssn n()()11MkMkMssn n()()11MkMkMssnn由（由（1 1）和（）和（2 2）知（）知（2-12-1）式是商空间）式是商空间V/M V/M 的一组基，故的一组基，故

13、 dim (V / M)=dim (V) - dim (M) 返回oyx那么，取),1, 0(则M就是商空间V / M 的基，由MkMk)(就得到商空间V / M 的所有元素。 例例 1 1 xoyxoy平面向量的线性空间平面向量的线性空间V V 的维数是的维数是dim(dim(V V )=2)=2，而而oxox轴上所有向量形成轴上所有向量形成V V的一维子空间的一维子空间M M，且有，且有dim(dim(M M)=1,)=1,故，故，dim(dim(V / M V / M )=2 - 1=1)=2 - 1=1因子空间因子空间M M，可取基，可取基),0, 1 (返回例 2 设,3RV 取M是

14、ox轴的一维子空间，则dim(V/M)=3-1=2oxyz取),0, 1, 0() 1, 0, 0(,MM 基，由就是商空间的)()(MlMk就得到商空间 的所有元素。返回4 4 线性流形与凸闭包线性流形与凸闭包定义定义 1 1： 所谓线性空间的所谓线性空间的线性流形线性流形，即为，即为|1010VrVrP其中，其中，1V是是V V 的子空间的子空间, ,0r是是V V 的固定向量，的固定向量，1V的维数的维数称为线性流形称为线性流形 P P 的维数。的维数。 注注：一维线性流形称为：一维线性流形称为直线直线，二维线性流形称为，二维线性流形称为平面平面，更高维的线性流形称为更高维的线性流形称为

15、超平面超平面. .返回证明：证明：例例 1 任一秩为任一秩为 r 的的 n 元线性方程组元线性方程组Ax=b 的解集合是的解集合是组，使其解集合为组，使其解集合为P . n 维向量空间的维向量空间的 维线性流形维线性流形. 反之反之, 对对nR任一任一dd n r 维线性流形维线性流形P ,存在一系数矩阵秩为存在一系数矩阵秩为 的的n元线性方程元线性方程dnrAxb解解Ax=b 的解集的解集01P rV是是n 维向量空间的线性流形。维向量空间的线性流形。反之，设反之，设10VrP是是nR的的d 维性流形维性流形, 取取一组基为一组基为(,)111 121(,)12aaanaaaddddn1V返

16、回(,)111 121(,)222 222(,)12bbbnbbbnbbbrrrrn作齐次方程组, 01xA其中，(,) ,112TTT TAd的一组基为 故此方程组的解空间 是 维子空间.2Vrdn设 2V记. 0,),(121TTrAAA则 作Ax=0 , 故此方程组的解空间即为 ,1V于是令,0Arb 则Ax=b 即为所求方程组.返回定理 1：设,10s是 的任意s+1 个向量，且nR,110skkk则形如)11(1100sskkkx的所有向量构成一个维数等于向量组,02010s的秩的线性流形P .证明:将（1-1）式改写为)()()(00220110sskkkx)( ,),(),()(

17、)()(002010022011sssLkkk则有1V10Vx返回222VrP相等充要条件是.,12121VrrVV定理 2： ,1V是V 的子空间,而2V则,21Vrr,111VrP证明：必要性，1220PPr)(111VPr120rr112Vrr222,PrV（1）（2）)(111VPr12rr121)(Vrr12VV 同理，21VV 21VV 返回充分性充分性：21VV 122111;VrPVrP121Vrr21PP 定理 3： 中任意两条直线包含在某个三维线性流形中。 )3( nRn证：102101;trtr:1l:2l0 x)(0031211ttt10VP即,031时当 ttPt12

18、0,1,032时当ttPt110时，当3)dim(1VP就是三维线性流形，时，当3)dim(1V返回.,1是三维线性流形而包含这两条直线则扩展成三维子空间中将在PVPVVRn定理 4： 中两条直线 ) 1( nRn1010txtx和位于一个平面内的充要条件是 线性相关.)( ,0011证 必要性： 位于平面 P 内，1010txtx和设P 平行于 二维子空间),(111LV 100V)( ,0011线性相关.返回充分性：)( ,0011线性相关线性相关11,)1线性无关11,)2线性相关11,)1平行和直线1010txtx必在同一平面内和1010txtx11,)2线性无关1100lkPL),(1100内必在平面和Ptxtx1010返回 定理5 空间的两个维数分别为 k 和 h 的线性流形 P 和 Q 包含在一个维数 的线性流形中。nR1hk证：设,2010VQVP,121kVV的基底分别为.,1h和令),(00113kkLV. 1)dim(3hkV则作线性流形的向