基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

1、1.2.2基本初等函数的导数公式及基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数的运算法则公式二公式二: :1()()xx 是常数公式一公式一: : = 0 (C为常数为常数)C算一算：求下列函数的导数算一算：求下列函数的导数(1) y=x4 ;(2) y=x-5 ;)3(xy ;1)4(2xy 注意公式中注意公式中,n的任意性的任意性.4x3-5x-62121 x-2x-3公式三公式三: :公式四公式四: :xxcos)(sinxxsin)(cos公式五公式五: :对数函数的导数对数函数的导数1(1 ) (log )(0,1 ).lnaxaax a1(2) (ln ).xx公式六公式六: :指数

2、函数的导数指数函数的导数(2)().xxee (1 ) ( )ln (0 ,1 ).xxaa aaa.cos)(sin3xx公式.sin)(cos4xx 公公式式aaaxxln)(5 公公式式xxee )(6公公式式17(1)lnaog xxa公式xnx1)1(8 公式公式记记 一一 记记0()CC 公式1 为常数1()xx公式2 为常数 点评运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨、步骤完整的解题习惯，要形成不仅会求，而且要求对、求好的解题标准 求下列函数的导数： (1)yx2；(2)ycosx；(3)ylog3x；(4)ye0. 解析由求导公式得法则法则1:两个

3、函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两等于这两个函数的导数的和个函数的导数的和(差差),即即:f(x) g(x) = f(x) g(x);应用应用1: 求下列函数的导数求下列函数的导数(1)y=x3+sinx(2)y=x3-2x+3.xxycos32232yx一、导数的运算法则一、导数的运算法则法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函等于第一个函数的导数乘第二个函数数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第加上第一个函数乘第二个函数的导数二个函数的导数 ,即即:应用应用2:求下列函数的导数求下列函数的导数(1)y=(2x(1)y=(2x2 2+3)(3x-2)+

4、3)(3x-2)(2)y=(1+x(2)y=(1+x6 6)(2+sinx)(2+sinx)9818)23()32()23)(32(222xxxxxxyxxxxycos)1 ()sin2(665)()()()()()(xgxfxgxfxgxf法则法则3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘等于第一个函数的导数乘第二个函数第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再再除以第二个函数的平方除以第二个函数的平方.即即:2)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf应用应用3:求下列函数的导数求下列函数的导数33)2(2xxy(

5、1)y=tanxxxxxxxy2222cos1cossincos)cossin(222)3(36xxxy 点评1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便 2含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导例例2:求下列函数的导数求下列函数的导数:322224(1)2312(2);(3);1(4)tan ;(5)(23) 1;1(6);(7);yxxyxxxyxyxyyxyxxx x答案答案:2(1)32;yx22 21(3);(1)xyx21(4);cosyx 326(5);1xxyx2314(2);yxx54(6);yx3(7);2yx题型一：导数公式及导数运算法则的应用题型一：导数公式及导数

6、运算法则的应用(1)求下列函数的导数求下列函数的导数yx2sinxyx2(x21)练一练：练一练：（1）下列各式正确的是）下列各式正确的是（ ）6551).(cos).(sinsin)cos.(cos).(sin xxDxxCxxBA（为常数）为常数） C（2）下列各式正确的是（）下列各式正确的是（ ）3ln3)3.(3)3.(10ln).(log1).(logxxxxaxaDxCxBxA D(3) f(x)=80，则，则f (x)=_;(4)( ),( )_;(1)_xf xefxf则等于等于0 xee(5)(1)_aog xaxln1 假设某国家在假设某国家在20年期间的年通货膨胀年期间的

7、年通货膨胀率为率为5，物价，物价p（单位：元）与时间（单位：元）与时间t（单（单位：年）有函数关系位：年）有函数关系 ，其，其中中 为为t=0时的物价时的物价.假定某商品的假定某商品的 那么在第那么在第10个年头，这种商品的价格上涨个年头，这种商品的价格上涨的速度的大约是多少（精确到的速度的大约是多少（精确到0.01）？）？ 01 5%tp tp0p01p 解解:根据根据基本初等函数导数公式表基本初等函数导数公式表,有有05. 1ln05. 1)(ttp)/(08. 005. 1ln05. 1)10(10年元 p所以所以tptp%)51 ()(0因此因此,在第在第10个年头个年头,这种商品的价

8、格这种商品的价格约以约以0.08元元/年的速度上涨年的速度上涨. 三、解答题 6求下列函数的导数 (1)yx43x25x6； (2)yxtanx； (3)y(x1)(x2)(x3)； (3)解法1：y(x1)(x2)(x3) (x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3) (x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2) (2x3)(x3)x23x23x212x11； 解法2：(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3) x36x211x6， y(x1)(x2)(x3)(x36x211x6)3x212x11；例3已知抛物线yax2bxc通过点(1

9、,1)，且在点(2，1)处与直线yx3相切，求a、b、c的值分析分析题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条件，因此，要通过解方程组来确定件，因此，要通过解方程组来确定a、b、c的值的值解析解析因为因为yax2bxc过点过点(1,1)，所以所以abc1. y2axb，曲线过点，曲线过点P(2，1)的切线的斜率为的切线的斜率为 4ab1.又曲线过点又曲线过点(2，1)，所以，所以4a2bc1.点评本题主要考查了导数的几何意义，导数的运算法则及运算能力例例2.2.日常生活中的饮用水通常是通过净化的。随着水纯日常生活中的饮用水通常是通过净化的。随着水纯净度的提高，

10、所需净化费用不断增加。已知将净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水吨水净化到纯净度为净化到纯净度为 时所需费用时所需费用(单位单位:元元)为：为：5284( )(80100)100c xxx 求净化到下列纯净度时求净化到下列纯净度时 , 所需净化费用的瞬时所需净化费用的瞬时变化率：变化率： (1)90% (2)98%x解解：252845284 (100) 5284 (100)( )()100(100)xxc xxx 220 5284 ( 1)5284(100)(100)xx (90)52.84()(98)1321()cc 元元/ /吨吨 元元/ /吨吨1.2.3复合函数求导复合函数求导

11、基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin ,( )cos ;4.( )cos ,( )sin ;5.( ),( )ln (0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxaf xcfxf xxfxnxf xxfxxf xxfxxf xafxaa af xefxef xxfxaaxa 公式 若则公式 若则公式 若则公式 若则公式 若则公式 若则公式 若则且公式 若1( )ln ,( );f xxfxx则导数的运算法则：导数的运算法则：法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这

12、两个函数的等于这两个函数的导数的和导数的和(差差),即即:( )( )( )( )f xg xf xg x法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘等于第一个函数的导数乘第二个函数第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即即:( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x法则法则3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方再除以第二个函数的平方

13、.即即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x gxg xg xg x练习练习1、求下列函数的导数。、求下列函数的导数。(1) y= 5(2) y= x 4(3) y= x - -2 y= 2 x(4) y=log3x0 y34xy 3ln1xy 3322xxy2ln2xy ?2ln的导数呢如何求函数思考xy.,22ln2ln.ln,22的函数表示为自变量可以通过中间变量即的得到复合经过和看成是由可以从而则若设xuyxxuuyxyuyxxu .2ln,xxgfufyxguxuufyuy过程可表示为复合那么这个的关系记作和的关系记作与如果把.,323

14、2,22等等而成复合和由函数例如得到的复合经过可以看成是由两个函数我们遇到的许多函数都xuuyxy指出下列函数是怎样复合而成：指出下列函数是怎样复合而成：2(1)sin2(2)31(3)cos(sin )(4)()1(5)sin(1).n myxyxxyxya bxyx ； ； ；练习练习1sin ,2yuux2,31yuuxx ,.mnyuuabxcos ,sinyuux1sin ,1yuux 二、复合函数的概念二、复合函数的概念三三. .复合函数的导数法则复合函数的导数法则: :即复合函数即复合函数y y对对x x的导数等于的导数等于: :y y对对u u的导数的导数 与与 u u对对x

15、x的导数的导数 的乘积的乘积. .复合函数复合函数 的导数与函数的导数与函数 和和 的导数间关系为：的导数间关系为：( )( )xyf ug x xuxyyu( ( )yf g x( )ug x( )yf u或或 复合函数求导步骤复合函数求导步骤:第一步，分层（从外向内分解成基本函第一步，分层（从外向内分解成基本函 数用到中间变量数用到中间变量u u）；）；第二步，层层求导（将分解所得的基本第二步，层层求导（将分解所得的基本函数进行求导）；函数进行求导）；第三步，做积还原（将各层基本函数的第三步，做积还原（将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量导数相乘，并将中间变量u u还原为原来的还原为原来

16、的自变量自变量x x）。）。.复合而成与由2uy 23 xu其实，其实， 是一个复合函数，是一个复合函数，2) 23 ( xy问题：问题：的导数？如何求2)23(xyyxy2(32) x24129xx1218 x;xu3uyu2;46 x分析三个函数解析式以及导数分析三个函数解析式以及导数 之间的关系之间的关系:,xxuyuyxuxuyyy 例例1：求：求xy2sin的导数的导数分析：分析：解解1：(sin 2)(2 sinc o s)yxxxx )sinsincos(cos2xxxx解解2：xy2sin可由y=sinu,u=2x复合而成2,cosxuuuyxuuyxy=2cos2xxuxuu

17、y2cos2cos2.x2cos2xxxx2cos)2(sincos)(sin?练习练习设设 y = (2x + + 1 1)5，求，求 y 解解把把 2x + + 1 看成中间变量看成中间变量 u，函数函数 y = u5，和，和 u = 2x + + 1复合而成，复合而成，,5)(45uuyu . 2)12( xux所以所以.)12(102544 xuuyyxux将将 y = (2x + + 1)5 看成是由看成是由由于由于例例2设设 y = sin2 x，求，求 y 解解这个函数可以看成是这个函数可以看成是 y = sin x sin x, 可利可利用乘法的导数公式，用乘法的导数公式，将将

18、 y = sin2 x 看成是由看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成复合而成. 而而,2)(2uuyu .cos)(sinxxux 所以所以.cossin2cos2xxxuuyyxux 这里，这里，我们用复合函数求导法我们用复合函数求导法.求求 y ,12xy 设设解解将中间变量将中间变量 u = 1 - - x2 记在脑子中记在脑子中.211() .22 (1)uyuux 也也在在心心中中运运算算这样可以直接写出下式这样可以直接写出下式221(1)2 (1)xxyxx .12xx 例例 3练习练习3 3：设：设 f f ( (x x) ) = sin= sinx x2 2 ，

19、求，求 f f ( (x x).).解解22( )cos()xfxxx 22 cosxx 【解析】103311(25 )(2)sinsin1yxyxxx求下列函数的导数（）例解：(2)y=(sin3x+sinx3)=(sin3x)+(sinx3)=3sin2x(sinx)+cosx3(x3)=3sin2xcosx+3x2cosx3. 103311(25 )(2)sinsin1yxyxxx求下列函数的导数（）例【解析】233(31)142yx求曲线在点（， ）处的例切线方程。复习检测复习检测复习检测复习检测当堂检测当堂检测1函数函数y=(5x4)3的导数是（的导数是（ ） （A）y3(5x4)2

20、 （B）y9(5x4)2 （C）y15(5x4)2 （D）y12(5x4)2C2函数函数 yAcos(x+)（A0）的导数）的导数是（是（ ） （A）y=Asin(x+) （B）y=Asin(x+) （C）y=Acos(x+) （D）y=Asin(x+)D3函数函数y=sin(x2+1)cos3x的导数是的导数是（ ） （A）y=cos(x2+1)sin3x （B）y=2xcos(x2+1)3sin3x （C）y=2xcos(x2+1)+3sin3x （D）y=cos(x2+1)+sin3xB4函数函数y=(1+cosx)3是由是由 两两个函数复合而成个函数复合而成y=u3, u=1+cosx 5函数函数y=3sin2xl在点在点(，1)处的切线方处的切线方程是程是 .y=1 6求求 的导数的导数 32yaxbxc2233221()(2)3(2) 3()yaxbxxaxbaxbaxbx