人工智能Chapter2

1、工程矩阵论工程矩阵论Engineering Matrix Theory南京大学控制与系统工程系南京大学控制与系统工程系陈春林陈春林Tel:mail: 2014年年9月月23日日第二章第二章 内积空间内积空间(Inner Productive Space)n内积空间内积空间实内积空间实内积空间(Euclid Space)酉空间酉空间(Unitary Space)n等积变换等积变换正交变换与正交矩阵正交变换与正交矩阵(Orthogonal Matrix)旋转变换、镜像变换旋转变换、镜像变换酉变换与酉矩阵酉变换与酉矩阵(Unitary Matrix)n对称变换与对称矩阵对称

2、变换与对称矩阵对称矩阵对称矩阵埃尔米特矩阵埃尔米特矩阵(Hermitian Matrix)n正规矩阵正规矩阵正规矩阵的定义正规矩阵的定义正规矩阵的正交谱分解正规矩阵的正交谱分解(Orthogonal Spectral Resolution)2.1.1 2.1.1 实内积空间实内积空间内积内积例例2.1 关于内积关于内积定义了内积的实线性空间即为定义了内积的实线性空间即为欧几里得空间欧几里得空间（Euclid Space）元素的长度元素的长度元素之间的夹角元素之间的夹角度量矩阵度量矩阵度量矩阵的性质度量矩阵的性质度量矩阵的性质度量矩阵的性质度量矩阵的性质度量矩阵的性质正交性正交性Th2.1Th2

3、.2一组基为标准正交基的充要条件是它的度量一组基为标准正交基的充要条件是它的度量矩阵为单位矩阵矩阵为单位矩阵Th2.2正交基正交基施密特（施密特（Schmidt）正交化方法：教材）正交化方法：教材P69-702.1.2 2.1.2 复内积空间（酉空间）复内积空间（酉空间）复内积的定义：复内积的定义：P73定义了复内积运算的复线性空间为定义了复内积运算的复线性空间为复内积空间（酉空间）复内积空间（酉空间）2.2.1 2.2.1 正交变换与正交矩阵正交变换与正交矩阵等积变换等积变换: 保持元素的内积不变的线性变换保持元素的内积不变的线性变换正交变换正交变换Th2.3 如下条件中任一条都可作为某一欧

4、式空间上的线性变如下条件中任一条都可作为某一欧式空间上的线性变换为正交变换的充要条件：换为正交变换的充要条件：（1）该线性变换保持元素长度不变；）该线性变换保持元素长度不变；（2）任一标准正交基经该线性变换后的象仍为标准正交基）任一标准正交基经该线性变换后的象仍为标准正交基（3）该线性变换在任一标准正交基下的矩阵）该线性变换在任一标准正交基下的矩阵Q满足满足正交矩阵正交矩阵正交矩阵的性质正交矩阵的性质 如果正交矩阵的行列式等于如果正交矩阵的行列式等于1，则称是，则称是正常的正交阵（旋转），否则称为非正正常的正交阵（旋转），否则称为非正常正交阵（反射）。常正交阵（反射）。2阶正交矩阵的几何意义：阶正交矩阵的几何意义： 或为绕平面原点的旋转，或为通过原或为绕平面原点的旋转，或为通过原点一直线的反射，由它是正常或非正常点一直线的反射，由它是正常或非正常来确定。来确定。 3阶正交矩阵的几何意义：阶正交矩阵的几何意义： 或是以一直线为旋转轴的旋转，或或是以一直线为旋转轴的旋转，或以一直线为轴的旋转之后再作一个以垂以一直线为轴的旋转之后再作一个以垂直于此直线的