数学抽样方法与总体估计PPT学习教案

1、数学抽样方法与总体估计数学抽样方法与总体估计1.简单随机抽样:设一个总体的个数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样.实现简单随机抽样,常用抽签法和随机数表法.(1)抽签法:先将总体中的所有个体(共有N个)编号(号码可从1到N),并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作),然后将这些号签放在同一个箱子里,进行均匀搅拌,抽签时每次从中抽一个号签,连续抽取n次,第1页/共82页就得到一个容量为n的样本.适用范围:总体的个体数不多.优点:抽签法简便易行,当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法.(2)随机

2、数表法:第一步,将总体中的个体编号(要保证位数一致);第二步,选定开始的数字;第三步,获取样本号码.使用随机数表法时注意:当随机地选定开始读的数后,读数的第2页/共82页方向可以向右,也可以向左、向上、向下等等.在读数过程中,得到一串数字号码,在去掉其中不合要求和与前面重复的号码后,其中依次出现的号码可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号码.用简单随机抽样,从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时,每次抽取一个个体时任一个个体被抽到的概率为,在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为.1NnN第3页/共82页2.系统抽样:当总体中的个数较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先制定的

3、规则,从每一部分抽取1个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样.系统抽样的步骤可概括为:(1)将总体中的个体编号;(2)将整个的编号进行分段.为将整个的编号进行分段,要确定分段的间隔k.当是整数时,k=;当不是整数时,通过从NnNnNn第4页/共82页总体中剔除一些个体使剩下的个体数N能被n整除,这时k=;(3)确定起始的个体编号.在第1段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l;(4)抽取样本.按照先确定的规则(常将l加上间隔k)抽取样本:l,l+k,l+2k,l+(n-1)k.Nn第5页/共82页3.分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的比

4、进行抽样,这种抽样叫做分层抽样,其中所分成的各部分叫做层.(1)分层抽样是等概率抽样,它也是公平的.用分层抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时,在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,都等于;(2)分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的,nN第6页/共82页由于它充分利用了已知信息,因此利用它获取的样本更具有代表性,在实践中应用更为广泛.二、总体分布的估计1.用样本的频率分布估计总体分布(1)样本的频率分布直方图作频率分布直方图的步骤:第7页/共82页因为频率分布直方图中横轴表示“组距”,纵轴表示“频率/组距”,所以“小长方形的面积=组距频率/组距=频率”,各小长方形的

5、面积之和等于1.(2)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得频率分布折线图.(3)总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑第8页/共82页曲线,即总体密度曲线.(4)茎叶图茎是指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数.茎叶图表示数据有两个突出的优点:其一是统计图上没有原始数据的损失,所有信息都可以从这个茎叶图中得到,其二是在比赛时随时记录,方便记录与表示.第9页/共82页在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好,但当样本数据较多时,茎叶图就显得不太方便了.2.用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)平

6、均数:一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数;它是频率分布直方图的“重心”.(2)中位数:如果将一组数据按从小到大或从大到小的顺序依次排列,当数据有奇数个时,处在中间的一个数就是这组数据第10页/共82页的中位数;当数据有偶数个时,处在中间的两个数的平均数就是这组数据的中位数.因此中位数不一定是样本数据中的数.在频率分布直方图中中位数左右两侧直方图的面积应该相等,由此在图中我们可以估计其近似值.(3)众数:在样本数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数.若一组样本数据中有两个或几个数据出现的最多且次数一样,这些数据都是这组数据的众数;若一组数据中每个数据出现的一样多,则认为这组数据没有

7、众数.第11页/共82页(4)方差:已知一组数据为x1,x2,xn,则这组数据的方差为s2= (xi-)2,其中=xi.用它来衡量数据围绕平均数的波动情况.(5)标准差:是方差的算术平方根s= .它比方差多开一次方,它的度量单位与样本数据的相同,有时用它更加方便.三、正态分布1.(1)正态曲线与正态分布1n1nixx1n1ni211()niixxn第12页/共82页由频率分布直方图估计总体分布密度曲线,如果得到的正态变量总体密度曲线对应的函数是,(x)= (xR)(其中,是参数,且-0分别表示总体的期望和标准差,这个总体是无限容量的抽象总体),则我们称这个正态变量的概率密度函数的图像叫正态曲线

8、.2.正态曲线的性质(1)曲线都在x轴的上方,左右两侧与x轴无限接近,但与x轴永1222()2ex 第13页/共82页不相交;(2)曲线是单峰的,它关于直线x=对称;(3)曲线在x=处达到最大值 ,并由此向左右延伸时,曲线逐渐降低,呈现“中间高,两边低”的钟形形状;(4)曲线与x轴间的面积为1;(5),对图像形状的影响:12第14页/共82页当一定时,曲线随着的变化而沿着x轴平移.当一定时,曲线的形状由确定,越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,越小,曲线越“高瘦”,表示总体分布越集中.(6)P(X)=P(X)=0.5. 第15页/共82页1.样本中共有五个个体,其值分别为a,0,1,2

9、,3,若该样本的平均值为1,则样本方差为( )(A). (B). (C) . (D)2.【解析】由题意可知(a+0+1+2+3)=1,a=-1,故方差为s2=2.【答案】D6565215第16页/共82页2.设随机变量XN(,2),且P(Xm)=P(Xm),则m等于( )(A)0. (B). (C)-. (D).【解析】在正态分布中,落在数学期望两边的概率相等,所以m=.【答案】B第17页/共82页3.一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人,中级职称的320人,初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中

10、依次抽取的人数分别是 .【解析】因为 = ,故各层中依次抽取的人数分别是 =8, =16, =10, =6.【答案】8,16,10,64080012016020320202002012020第18页/共82页 核心突围技能聚合题型1正态分布的考查第19页/共82页例1已知随机变量X服从正态分布N(0,2),若P(X2)=0.023,则P(-2X2)等于( )(A)0.477. (B)0.625. (C)0.954. (D)0.977.【分析】若随机变量X服从正态分布N(,2),则正态曲线关于直线x=对称.结合曲线的对称性和概率之和为1求相应的概率即可.第20页/共82页于直线x=0对称,又P(

11、X2)=0.023,故P(X2)-P(X-2)=0.954.故选C.【答案】C【点评】正态曲线是“钟形曲线”,具有很好的对称性,在求有关正态分布的概率问题时,一般就是利用曲线的对称性和概率之和为1来求解.【解析】随机变量X服从正态分布N(0,2),故其正态曲线关第21页/共82页变式训练1 已知随机变量XN(2,2),若P(Xa)=0.32,则P(aX4-a)的值为 .【解析】此正态曲线关于x=2对称,故P(X4-a)=0.32,P(aX4-a)=1-P(X4-a)=1-0.322=0.36.【答案】0.36第22页/共82页例2 (1)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、

12、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为;在丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况,记这项调查为.则完成、这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )(A)分层抽样法,分层抽样法.题型2对抽样方法的考查第23页/共82页(B)分层抽样法,简单随机抽样法.(C)简单随机抽样法,分层抽样法.(D)简单随机抽样法,简单随机抽样法.(2)2010年8月7日晚22点左右,甘肃舟曲县强降雨引发泥石流,造成了巨大的人员伤亡和财产损失.某地区选出600名消防官兵参与舟曲救援,将其编号为:001,002,60

13、0,为打通生命通道,先采用系统抽样方法抽出50名为先遣部队,且随机抽第24页/共82页得的号码为003.这600名官兵来源于不同的县市,从001到300来自A市,从301到495来自B市,从496到600来自C市,则三个市被抽中的人数依次为( )(A)26,16,8. (B)25,17,8.(C)25,16,9. (D)24,17,9.【分析】(1)当总体中的个体差异较大时,宜采用分层抽样;当总体中个体较少时,宜采用随机抽样;(2)根据系统抽样的第25页/共82页特点,可知抽出的50个号码,组成了以3为首项,12为公差的等差数列,这样就将问题转化为数列问题.【解析】(1)依据题意,第项调查应采

14、用分层抽样法,第项调查应采用简单随机抽样法.故选B.(2)依题意可知,在随机抽样中,首次抽到003号,以后每隔12个号抽到一个人,则分别是003、015、027、039、051、063、075,容易知道抽到的编号构成以3为首项,12为公差的等第26页/共82页差数列,故被抽到的第n名消防官兵的编号为an=3+(n-1)12=12n-9,由112nA-9300,则1nA25,因此抽取到的A市的人数为25人.同理可知其他两市的人数为17和8.故选B.【答案】(1)B (2)B【点评】对于(1),根据各种抽样的特点和适用范围来选择;第(2)小题,巧妙地将抽样问题与数列进行了有机结合,有一定的综合性,

15、但难度不大.第27页/共82页变式训练2 (1)用随机数表法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教,某男生被抽到的可能性是( )(A). (B). (C). (D).(2)某学校有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本,若女学生一共抽取了80人,则n的值为( )(A)193. (B)192. (C)191. (D)190.11001251514第28页/共82页【解析】(1)由于每位学生被抽到的可能性是一样的,均为 =.(2)1000 =80,求得n=192.【解析】(1)C (2)B201001520012001000

16、n第29页/共82页例3 (1)如图是根据某校10位高一同学的身高(单位:cm)画出的茎叶图,其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字,右边的数字表示学生身高的个位数字,从图中可以得到这10位同学身高的中位数是( )题型3用样本估计总体第30页/共82页(A)161 cm. (B)162 cm. (C)163 cm. (D)164 cm.(2)根据中华人民共和国道路交通安全法规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80 mg/100 ml(不含80)之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在80 mg/100ml (含80)以上时,属醉酒驾车.据法制晚报报道,2010年3月15日至3月2

17、8日,全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人,如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为 .第31页/共82页【分析】(1)理解茎叶图的结构和中位数的找法是解决本题的关键;(2)对于频率分布直方图,注意纵轴为频率与组距的比值.根据图中的量可求出醉酒驾车的频率,从而可知其人数.第32页/共82页【解析】(1)由给定的茎叶图可知,这10位同学身高的中位数为 =162 cm.(2)由给定的频率分布直方图可知,驾驶员血液酒精浓度在80 mg/100 ml(含80)以上的频率为(0.01+0.005)10=0.15.故属于醉酒驾车的人数约为2

18、88000.15=4320.【答案】(1)B (2)4320161 1632第33页/共82页【点评】(1)本题容易错选A或C,由于共有10个数字,因此其中位数为中间两个数(第5,6个数)的平均数;(2)频率分布直方图中每个小矩形的面积表示数据落在各个小组内的频率.第34页/共82页变式训练3 (1)对某城市一年(365天)的空气质量进行监测,获得了一些空气质量指数API(为整数),按照区间0,50,(50,100,(100,150,(150,200,(200,250,(250,300对数据进行分组,得到频率分布直方图如下图.第35页/共82页则直方图中x的值为 .(参考数据: + + + +

19、 = )(2)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表:3182523657182531825891251239125学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679第36页/共82页则以上两组数据的方差中较小的一个方差为 .【解析】(1)由图可知50 x=1-( + + + + )50=1- 50,解得x= .(2)甲班的方差较小.易知甲乙两组数据的平均值均为7,故方差= =, =.【答案】(1) (2) 3182523657182531825891251239125119182502s甲22222(67)00(87)05252

20、s乙651191825025第37页/共82页例4第26届世界大学生夏季运动会于2011年8月12日到23日在深圳举行,运动会期间,为了搞好接待工作,组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者.将这30名志愿者的身高编成如下图所示的茎叶图(单位:cm):若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”,身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.题型4统计与概率的综合考查第38页/共82页(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人,再从这5人中选2人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?(2)

21、若从所有“高个子”中选3名志愿者,用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出X的分布列,并求X的数学期望.第39页/共82页【分析】(1)首先根据分层抽样的规律找到所抽取的5人中“高个子”和“非高个子”的人数.对于“至少”问题可考虑其对立事件;(2)一共有12个高个子,其中有男志愿者8人,女志愿者4人,选出3名,其中能担任“礼仪小姐”的人数X可取0,1,2,3;注意X取每个值的意义,例如“X=1”表示从12人中选3人,其中有1个“女高个子”,其余的为男志愿者.【解析】(1)根据茎叶图,“高个子”有12人,“非高个子”有18人,用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 = ,所53016

22、第40页/共82页以选中的“高个子”有12=2人,“非高个子”有18=3人.用事件A表示“至少有一名高个子被选中”,则它的对立事件 表示“没有一名高个子被选中”,则P(A)=1-=1-=.因此,至少有一人是“高个子”的概率是.(2)依题意,一共有12个高个子,其中有男志愿者8人,女志愿者4人,则X的取值为0,1,2,3.P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X1616A2325CC31071071038312C CC2855第41页/共82页=2)= =,P(X=3)= =.因此,X的分布列如下:X0123P2148312C CC125534312CC155

23、145528551255155EX=0+1+2+3=1.145528551255155第42页/共82页【点评】本题将茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望进行了综合,难度适中,是高考中比较青睐的中档题目.其中应注意(2)中X实际上符合超几何分布.第43页/共82页变式训练4某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段90,100),100,110),140,150后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:第44页/共82页(1)求分数在120,130)内的频率,并补全这个频率分布直方图;(2)统计

24、方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分;(3)若从60名学生中随机抽取2人,抽到的学生成绩在90,110)内记0分,在110,130)内记1分,在130,150内记2分,用X表示抽取结束后的总分,求X的分布列和数学期望.第45页/共82页【解析】(1)分数在120,130)内的频率为:1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3. = =0.03,补全后的直方图如图:频率组距0.310第46页/共82页(2)平均分为:=950.1+1050.15+1150.15+1250.3+1350.25+1450.05=121.(3)学生成绩

25、在90,110)的有60(0.10+0.15)=15人,在110,130)的有60(0.15+0.30)=27人,在130,150的有60(0.05+0.25)=18人.且X的可能取值为0,1,2,3,4.x第47页/共82页则P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = ，P(X=3)= = ,P(X=4)= = .所以X的分布列为:X01234P215260CC7118111527260C CC27118112151827260C CCC207590112718260C CC81295218260CC515907118271182075908129551590所以EX=0

26、 +1 +2 +3 +4 = .71182711820759081295515901239590第48页/共82页1.常用的抽样方法及它们之间的联系和区别:类型共同点各自特点相互联系适用范围第49页/共82页简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的从总体中逐个抽取 总体中的个数比较少系统抽样将总体均匀分成几个部分,按照事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个数比较多第50页/共82页分层抽样将总体分成几层,分层进行抽取各层抽样时采用简单抽样或者系统抽样总体由差异明显的几部分组成第51页/共82页2.不放回抽样和放回抽样:在抽样中,如果每次抽出个体后不再将它

27、放回总体,称这样的抽样为不放回抽样;如果每次抽出个体后再将它放回总体,称这样的抽样为放回抽样.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样.3.样本频率分布直方图是考查热点,需注意频率分布直方图中横轴表示“组距”,纵轴表示“频率/组距”,所以“小长方形的面积=组距(频率/组距)=频率”,各小长方形的面积第52页/共82页之和等于1.对于平均数、众数、中位数、方差等要会求,并能理解其意义.4.求正态分布总体在某个区间内取值的概率时,要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.因此要注意:正态曲线关于直线x=对称,从而在关于x=对称的区间上的概率相等;P(Xa)=1-P(Xa).第53页

28、/共82页例 (12分)选择合适的抽样方法抽样,写出抽样过程.(1)有30个篮球,其中甲厂生产的有21个,乙厂生产的有9个,抽取10个入样;(2)有甲厂生产的300个篮球,抽取30个入样.【解析】(1)总体由差异明显的两个层次组成,需选用分层抽样法.2分第54页/共82页第一步,确定抽取个数.因为样本容量与总体的个数比为10 30=1 3,所以甲厂生产的应抽取=7(个),乙厂生产的应抽取=3(个).4分第二步,用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个,乙厂生产的篮球3个,这些篮球便组成了我们要抽取的样本.6分21393第55页/共82页(2)总体容量较大,样本容量也较大,宜用系统抽样法.8分第一步,

29、将300个篮球用随机方式编号,编号为000,001,002,299,并分成30段;9分第二步,在第一段000,001,002,009这十个编号中用简单随机抽样法抽出一个如(002)作为起始号码;11分第三步,将编号为002,012,022,292的个体抽出,组成样本.12分第56页/共82页【点评】(1)本题考查的是抽样方法,要理解各种抽样方法的特征和适用范围.(2)第(1)问若考生以简单随机抽样的方法进行,则错误在于忽略了30个篮球来自于不同的工厂,其差异明显.(3)注意提炼解答这类题目的一般程序,形成答题模板.第57页/共82页一、选择题(本大题共5小题,每小题6分)基础角度思路第58页/

30、共82页1.(基础再现)某林场有树苗30000棵,其中松树苗4000棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本,则样本中松树苗的数量为( )(A)30. (B)25. (C)20. (D)15.【解析】设样本中松树苗的数量为x,则 = ,x=20.【答案】C150300004000 x第59页/共82页2.(基础再现)设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图像,且f(x)=,(x)= ,则这个正态总体,的值分别是( )(A)10与8. (B)10与2. (C)8与10. (D)2与10.【解析】正态密度函数可化为f(x)= ,所以总体的均值=10,=2.【

31、答案】B182(10)8ex12222(10)2 2ex第60页/共82页3.(基础再现)已知一组数据按从小到大的顺序排列,得到-1,0,4,x,7,14,中位数为5,则这组数据的平均数和方差分别为( )(A)5,24. (B)5,24. (C)4,25. (D)4,25.【解析】由中位数5= 知,x=6,故这组数据的平均数 = (-1+0+4+6+7+14)=30=5.2313132342xx1616第61页/共82页方差s2=(-1-5)2+(0-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(14-5)2=148=24.【答案】A161623第62页/共82页4.(视角拓展)袋中有4

32、0个小球,其中红色球16个,蓝色球12个,白色球8个,黄色球4个,从中随机抽取10个小球作成一个样本,则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为( )(A) . (B) .(C) . (D) .12344812161040C C C CC21344812161040C C C CC23144812161040C C C CC13424812161040C C C CC第63页/共82页【解析】用分层抽样法在红、蓝、白、黄各层抽出的个体数分别为4、3、2、1.则根据分步计数原理可知抽取的方法数为 .故这个样本按照分层抽样方法得到的概率为.【答案】A14C28C312C416C1234481216

33、1040C C C CC第64页/共82页5.(高度提升)某校为了解男生身高情况,以10%的比例进行抽样检查,测得身高情况的统计图如下:第65页/共82页现从样本中身高在180190 cm之间的男生中任选2人,则至少有1人身高在185190 cm之间的概率为( )(A). (B). (C). (D).【解析】由统计图可知,样本中身高在180185 cm之间的男生有4人,设其编号为a,b,c,d;样本中身高在185190 cm之间的男生有2人,设其编号为e,f.将所有情况列举出来可知,从上述6人中任取2人所有可能结果数为15,至少有1人身高66页/共82页190 cm之

34、间的可能结果数为9,因此,所求概率P2=(或者所求概率为P=1-=).【答案】A915352426CC35第67页/共82页6.(基础再现)采用简单随机抽样从含10000个个体的总体中抽取一个容量为100的样本,某个体前90次未被抽到,第91次被抽到的概率为 .【解析】不论先后,被抽取的概率都是.【答案】 11001100二、填空题(本大题共4小题,每小题7分)第68页/共82页7.(基础再现)在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的中位数分别是 , .【解析】甲的数据为:28,31,39,42,45,55,57,58,66;乙的数据为:29,34,35,42,46,48,53,55,67;.故

35、甲、乙两组数据的中位数分别是45,46.【答案】45 46第69页/共82页8.(视角拓展)一个总体分为A,B两层,其个体数之比为4 1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本,已知B层中甲、乙都被抽到的概率为,则总体中的个数为 .【解析】由条件易知B层中抽取的样本数是2,设B层总体数是n,则又由B层中甲、乙都被抽到的概率是=,可得n=8,所以总体中的个数是48+8=40.【答案】40128222CCn128第70页/共82页9.(高度提升)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月平均用水量(单位:吨)的频率分布直方图,则图中x= ;若将频率视为概率,从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样),则月均用水量在3至4吨的居民数X的数学期望为 .第71页/共82页【解析】依题意及频率分布直方图知,0