建立模型巧求最值.pdf

1、建立模型，巧求最值引言：最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，解决这类问题的基本依据有：（1） “两点之间线段最短” ，（2） “垂 线段最短”，（ 3） “三角形两边之差小于第三边” 。一、常用几何模型： “将军饮马”模型：（ 1）、在一条直线 m上，求一点 P，使 PA+PB最小；（ 1）点 A、 B 在直线 m两侧：（2）、点 A、 B 在直线 m同侧。BAAPPBA'A,B在同侧A， B 在异侧A、 A 关于直线m的对称。2、在直线 m、 n 上分别找两点P、 Q，使 PA+PQ+QB最小。AAA'PPAPBBQQQBB'B'A,B 在两直

2、线外侧一内一外都在内侧又区分为（ 1）两个点都在直线外侧： （ 2）一个点在内侧，一个点在外侧： （ 3）两个点都在内侧：台球两次碰壁模型已知点 A位于直线 m，n 的内侧，在直线 m、n 分别上求点 P、 Q点，使 PA+PQ+QA周长最短 .变式：已知点 A、B位于直线 m，n 的内侧，在直线 m、n 分别上求点D、E 点，使得围成的四边形ADEB周长最短 .小例：AOB45o建立模型巧求最值第1 页 共 9 页点 P 在AOB 内，且 OP10, 请在 OA, OB 上找 R, Q 两点 , 使 VRQP 的周长最小，并求出它的最小周长？平移、旋转加对称1、已知、B是两个定点，、 是直线

3、上的两个动点，P在Q的左侧，且间长度恒定 , 在直线上要求、APQmPQmPQ两点，使得PA+PQ+QB最小（ 1）点、B在直线两侧：（ 2）点、B在直线同侧：AmAmAAA'A'BP QPQBB'AAA'A'QPQPNMBB'B2、已知小河的宽度为a 米，河的两岸有A, B 两个村庄，现准备在河上建一座桥，使桥身下河岸垂直，问应该怎样选择桥址才能使两村间的路程最短？变式：如图在A, B 两个村庄之间有互相平行的两条小河，河宽分别为a 米、 b 米，如果我们要在小河上建两座与小河河岸垂直的桥，应该怎样选择桥址，才能使A, B 两个村庄之间的路程最

4、短？二、实例讲析解决这类问题的基本策略是：首先通过对题目的精确分析，寻找建立相关的几何模型，其次才是适当添加辅助线，应用勾股定理等几何方法进行计算。建立模型巧求最值第2 页 共 9 页例 1、在 VABC 中， BCAC2 ， ACB 90o，点 D 是 BC 的中点， E 是 AB 上一点，那么 ECED 的最小值是多少？分析：由题意，动点 E 只有一个 , 且在直线 AB 上，定点 C , D 在直线 AB 同侧，是典型的“将军饮马问题”，所以首先作点 C ( D ) 关于直线 AB 的对称点 C1 ，连结 C1D 交 AB 于 E1 ，AC1E那么线段 C1D 的长就是 ECED 的最小

5、值，只须连结 C1B 就可计算了。例 2、在 VABC ， AB5, AC3, BC 4 ，试在 AB, BC 上分别找一E 1点 P, M 使 PMPC 的值最小？CDBP, M 两个，要 P 到 M 的距离最短， 只要作 BC分析：由于这里的动点有的垂线就行，故而联想到先做C关于 AB 的对称点 C1 ，再过 C1 作C1AC1MBC 于 M ，交 AB 于 P ，那么 C1M 的长就是 PMPC 的最小值！（垂线段最短与对称结合，属于“将军饮马问题”的变化形式）P例 3、M 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，试寻找使 AMBM CM最小的点 M 的位置？BMCADADA'

6、M'MMEBCBC模型应用：1如图，正方形ABCD的边长为 2， E 为 AB的中点， P是 AC上一动点则PB+PE的最小值是2如图， O的半径为2，点 A、 B、C 在 O上， OAOB， AOC=60°， P 是 OB上一动点，则PA+PC的最小值是3如图， 在锐角 ABC中，AB 42， BAC 45°， BAC的平分线交BC于点 D，M、N分别是 AD和 AB上的动点，则 BM+MN的最小值是第 1 题第 2 题第 3 题第 4 题4如图，在直角梯形中，90°， ，4，5， 6，点P是上一个动点，当ABCDABCAD BC ADABBCABPCP

7、D的和最小时， PB的长为 _建立模型巧求最值第3 页 共 9 页5如图，等腰梯形中， 1，60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则+ABCDABAD CDABCPA PB的最小值为6如图， MN是半径为1 的 O的直径，点 A在 O上， AMN30°， B 为 AN弧的中点， P 是直径 MN上一动点，则的最小值为PAPB第 5 题第 6 题第 7 题7已知 A( 2， 3) ， B(3 ， 1) ， P 点在 x 轴上，若PA PB长度最小，则最小值为8已知： A(1,0), B(3,0), C (0,3) ，问在直线x2上是否存在一点，使VPAC的周长最小？P9

8、、一次函数 y=kx+b 的图象与 x、 y 轴分别交于点A（ 2， 0）， B（ 0， 4）（ 1）求该函数的解析式；（ 2）O为坐标原点，设 OA、AB 的中点分别为C、 D，P 为 OB上一动点，求PC PD的最小值，并求取得最小值时P 点坐标10、正方形 ABCD的面积为 12， ABE是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD内，在对角线 AC上有一点 P，使 PDPE 的和最小，则这个最小值为11、如图，设正 ABC 的边长为 2， M 是 AB 边上的中点， P 是 BC 边上的任意一点， PAPM 的最大值和最小值分别记为 s 和 t 求 s2t2 的值DCEABMDPPACAB

9、BPC12如图， AOB=45°， P 是 AOB内一点， PO=10， Q、 R分别是 OA、 OB上的动点，求PQR周长的最小值13如图，已知平面直角坐标系，A， B两点的坐标分别为A(2 ， 3）， B(4 ， 1）设 M，N分别为 x 轴和 y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M( m，0），N(0 ，n), 使四边形 ABMN的周长最短？若存在，请求出_，n _ （不必写解答过程）；若不存在，请说明理由m14著名的恩施大峡谷（ ）和世界级自然保护区星斗山（）位于笔直的AB沪渝高速公路X 同侧， AB=50km、 B 到直线 X 的距离分别为10km 和 40km，要在沪渝

10、高速公路旁修建一服务区P，向 A、 B 两景区运送游客小民设计了两种方案， 图（1）是方案一的示意图 （与直线X垂直，垂足为 ），APPP 到 A、 B的距离之和 S PAPB，图（ 2）是方案二的示意图（点A 关于1直线X的对称点是A'，连接交直线X于点），到 、B的距离之和BA'P PAS2 PA PB建立模型巧求最值第4 页 共 9 页（ 1）求 S1、S2，并比较它们的大小；（ 2）请你说明 S2 PA PB的值为最小；（ 3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系， B 到直线 Y 的距离为 30km，请你在X旁和Y旁各修建一

11、服务区、 ，使、 、 、 组成的四边形的周长最小并求出这个最小P QP A B Q值3 21815如图，抛物线y 5x 5 x 3 和 y 轴的交点为A， M为 OA的中点，若有一动点P，自 M点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点 A，求使点P 运动的总路程最短的点E，点 F 的坐标，并求出这个最短路程的长16如图，已知平面直角坐标系，A， B两点的坐标分别为A(2 ， 3），B(4 ， 1）若 C( a，0) ，D( a+3，0) 是 x 轴上的两个动点，则当 a _时，四边形ABDC的周长最短17如图，在平

12、面直角坐标系中，矩形OACB的顶点 O在坐标原点，顶点A、 B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，OA=3， OB=4， D为边 OB的中点 .（ 1）若 E为边 OA上的一个动点， 当 CDE的周长最小时， 求点 E的坐标；（ 2）若 E、 F 为边 OA上的两个动点，且EF 2，当四边形 CDEF的周长最小时，求点、F的坐标 .E18如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形的边在y轴的正半轴上，在x轴的正半轴上，OABCOAOCOA=AB=2， OC=3，过点 B 作 BD BC，交 OA于点 D将 DBC绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、 x 轴的正半轴于点

13、 E 和 F（ 1）求经过 A、 B、C三点的抛物线的解析式；（ 2）当 BE经过（ 1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（ 3）在抛物线的对称轴上取两点、 （点在点P的上方），且 1，要使四P QQPQ边形 BCPQ的周长最小，求出P、 Q两点的坐标219如图，已知点A（ 4，8）和点 B（ 2， n）在抛物线 y ax 上（ 1）求 a 的值及点B 关于 x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q，使得 AQ QB最短，求出点 Q的坐标；建立模型巧求最值第5 页 共 9 页（ 2）平移抛物线y ax2A的对应点为，点的对应点为，点（2， 0），记平移后点ABBC和点 D（ 4，0）是 x

14、轴上的两个定点 当抛物线向左平移到某个位置时，A CCB 最短，求此时抛物线的函数解析式； 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A B CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由Ay8642BDC- 4- 2O24x- 2- 4二 求两线段差的最大值问题( 运用三角形两边之差小于第三边 )几何模型： 在一条直线上，求一点 ，使的差最大；mPPAPB（ 1）点 A、 B 在直线 m同侧：（2）点 A、B 在直线 m异侧：AABB'PPB模型应用：1. 如图，抛物线12 x2的顶点为A，与 y 轴交于点 By 4x(1)求点 、点B的坐标；A(

15、2)若点 P 是 x 轴上任意一点，求证： PAPB AB；(3)当 PA PB最大时，求点P 的坐标 .建立模型巧求最值第6 页 共 9 页2.如图，已知直线y 1 x 1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，22抛物线 y 1 x bx c 与直线交于 A、 E 两点，与 x 轴交于 B、C两点，且 B 点坐标为 (1 ， 0) 2（ 1）求该抛物线的解析式；，使 | 的值最大，求出点（ 3）在抛物线的对称轴上找一点的坐标MMAM MCyEyADOBCx3.如图， 直线 y3x 2 与 x 轴交于点C，与 y 轴交于点 B，点 A为 y 轴正半轴上的一点，A经过点 B和点O，直线

16、BC交 A 于点 D（ 1）求点 D的坐标；（ 2）过 O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段 PO与 PD之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标若不存在，请说明理由建立模型巧求最值第7 页 共 9 页4. 已知：如图，把矩形放置于直角坐标系中，3， 2，取的中点，连接，把沿x轴OCBAOCBCABMMCMBC的负方向平移 OC的长度后得到 DAO（ 1）试直接写出点 D的坐标；（ 2）已知点 B 与点 D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作 PQx 轴于点 Q，连接 OP若以 O、 P、 Q为顶点的三角形与 DAO相似，试求出点P的坐标；（ 3）试问在（ 2）抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得 |TB| 的值最大？若存在，则求出点T 点的坐标；TO若不存在，则说明理由好题赏析：（2010?宁德）如图，四边形ABCD是正方形， ABE是等边三角形， M为对角线 BD（不含 B点）上任意一点，将 BM绕点 B逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN、AM、 CM（ 1）求证： AMB ENB；（ 2）当 M点在何处时， AM CM的值最小；当 M点在何处时，AMBM CM的值最小，并说明理由；（ 3）当 的最小值为3 1 时，求正方形的边