函数曲线的凹凸性955ppt课件

1、6.6 6.6 曲线的凹凸性与拐点及渐近线曲线的凹凸性与拐点及渐近线l 曲线的凹凸性定义l 凹凸性的判定l 曲线的拐点及其求法l 渐近线l 小结 思考题 作业一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC定义定义的（或凸弧）的（或凸弧）上的图形是（向上）凸上的图形是（向上）凸在在那末称那末称如果恒有如果恒有的（或凹弧）的（或凹弧）上的图形是（向上）凹上的图形是（向上）凹在在那末称那末称

2、恒有恒有点点上任意两上任意两如果对如果对上连续上连续在区间在区间设设IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,)(2121212121 ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf二、曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递递减减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上上的的图图形形是是凸凸的的在在则则

3、上上的的图图形形是是凹凹的的在在则则内内若若在在一一阶阶和和二二阶阶导导数数内内具具有有在在上上连连续续在在如如果果baxfxfbaxfxfbababaxf 证证20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf )(0之之间间与与在在xx )()()(000 xxxfxfxf即即)()()(000 xxxfxfxf ),(0bax 任任取取 泰勒公式泰勒公式),(bax 处的切线处的切线在在曲线曲线0)(xxfy 0 20)(! 2)(xxf ),(bax 0)( xf若若)()()(000 xxxfxfxf 10010()()()()(1)f xf xfxxx 20020()()(

4、)()(2)f xf xfxxx 1100120()()2 ()()(2)f xf xf xfxxxx (1)(2)02 ()f x 01112()()().22f xf xxxf 即即例例1 1.3的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0 ,(时，时，当当0 x, 0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线), 0 .)0 , 0(点点是曲线由凸变凹的分界是曲线由凸变凹的分界点点注意到注意到,三、曲线的拐点及其求法连连续续曲曲线线上上凹凹凸凸的的分分界界点点称称为为曲曲线线的的拐拐点点.1 1、定义、定义注意注意:拐点

5、处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2 2、拐点的求法、拐点的求法, 0)(,)(00 xfxxf且且的的邻邻域域内内二二阶阶可可导导在在设设函函数数;)(,(,)()1(000即即为为拐拐点点点点变变号号两两近近旁旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx 方法方法1:1:例例2 2.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf

6、00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,( 凹凹凸凸区区间间为为0000( )()()limxxfxfxfxxx 不不妨妨0 00( )fxx 在在两侧异号，两侧异号，0 x是拐点。是拐点。方法方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2 , 0(cossin的的拐拐点点内内求求曲曲线线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47

7、,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( .)()(,(,)(000的的拐拐点点是是连连续续曲曲线线也也可可能能点点不不存存在在若若xfyxfxxf 注意注意: :例例4 4.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx , 0,)0 ,( y内内但但在在;0 ,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上上是是凸凸的的曲曲线线在在 .)0 , 0(3的的拐拐点点是是曲曲线线点点

8、xy 四、渐近线定义定义: :.)(,)(一一条条渐渐近近线线的的就就称称为为曲曲线线那那么么直直线线趋趋向向于于零零的的距距离离到到某某定定直直线线如如果果点点移移向向无无穷穷点点时时沿沿着着曲曲线线上上的的一一动动点点当当曲曲线线xfyLLPPxfy 1.1.铅直渐近线铅直渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线垂垂直直于于 x000lim( )lim( )( )xxxxf xf xyfxxx 如如果果或或那那么么就就是是的的一条铅直渐近线一条铅直渐近线.例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :. 3, 2 xx2.2.水平渐近线水平渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线平平行

9、行于于 xlim( )lim( )()( )xxf xf xbybbxbfy 如如果果或或是是常常量量那那么么就就是是的的例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2 yy一条水平渐近线一条水平渐近线.3.3.斜渐近线斜渐近线lim ( )0 1lim ()0( ,)()(xxf xf xaaxbaxbyaxbbyf x 如如果果（）或或是是常常量量那那么么就就是是的的斜渐近线求法斜渐近线求法:( )lim,xf xax lim ( ).xf xbax .)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是曲线就是曲线那么那么xfybaxy 一条斜渐近线一条斜渐近线.:, 的的

10、公公式式下下面面求求计计算算ba由由(1)式和式和0)()(1lim baxxfxx,为无穷大为无穷大x )(limxbaxxfx,后后求求出出a)(limaxxfbx xxfax)(lim axxfx)(lim0,)1(ba式可确定式可确定代入代入将将有有即即从而从而注意注意:( )(1) lim;xf xx 如如果果不不存存在在,)(lim,)(lim)2(不不存存在在但但存存在在axxfaxxfxx .)(不不存存在在斜斜渐渐近近线线可可以以断断定定xfy 例例1 1.1)3)(2(2)(的的渐渐近近线线求求 xxxxf解解)., 1()1 ,(: D )(lim1xfx, )(lim1

11、xfx, .1是是曲曲线线的的铅铅直直渐渐近近线线 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 2)1()3)(2(2limxxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx, 4 .42是曲线的一条斜渐近线是曲线的一条斜渐近线 xy的的两两条条渐渐近近线线如如图图1)3)(2(2)( xxxxf的渐近线，的渐近线，曲线曲线)2)(1(| xxxxy共有共有)(B)(A选择题选择题:1条条.)(D2条条.)(C3条条.4条条.五、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的

12、求法1, 2.三种渐近线的求法三种渐近线的求法.思考题思考题设设)(xf在在),(ba内二阶可导，且内二阶可导，且0)(0 xf，其中其中),(0bax ，则，则,(0 x)(0 xf是否一定为是否一定为曲线曲线)(xf的拐点？举例说明的拐点？举例说明.思考题解答思考题解答例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并并不不是是曲曲线线)(xf的的拐拐点点.不一定！不一定！一、一、 填空题：填空题：1 1、 若函数若函数)(xfy 在在 （ba,） 可导， 则曲线） 可导， 则曲线)(xf在在( (ba,) )内取凹的充要条件是内取凹的充要条件是_._.2 2、 曲线上曲线上_的

13、点，称作曲线的拐点的点，称作曲线的拐点 . .3 3、 曲线曲线)1ln(2xy 的拐点为的拐点为_._.4 4、 曲线曲线)1ln(xy 拐点为拐点为_._.二、二、 求曲线求曲线xeyarctan 的拐点及凹凸区间的拐点及凹凸区间 . .三、三、 利用函数图形的凹凸性，证明不等式：利用函数图形的凹凸性，证明不等式： 22yxyxeee )(yx . .四、求曲线四、求曲线 2sin2cot2ayax的拐点的拐点 . .练练 习习 题题五、五、 试证明曲线试证明曲线112 xxy有三个拐点位于同一直线有三个拐点位于同一直线上上 . .六、六、 问问a及及b为何值时，点为何值时，点(1,3)(1,3)为曲线为曲线23bxaxy 的拐点？的拐点？七、七、 试决定试决定22)3( xky中中k的值的值, ,使曲线的拐点处使曲线的拐点处的法线通过原点的法线通过原点 . .一、一、1 1、),()(baxf在在 内递增或内递增或0)(),( xfbax； 2 2、凹凸部分的分界点；、凹凸部分的分界点；3 3、2 ,(), 2),2, 2(2e； 4 4、)2