几种常见函数的导数ppt课件

1、几种常见函数的几种常见函数的 导导 数数一、复习一、复习1.解析几何中解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值求值;物理学中物理学中,物体运动过程中物体运动过程中,在某时刻的瞬时速在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同都是极限思想得到本质相同 的数学表达式的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式公式导数导数,导数源于实践导数源于实践,又服务于实践又服务于实践.2.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是:);()()1(xfxxfy 求求函函数数的的增增量量;

2、)()(:)2(xxfxxfxy 的的增增量量的的比比值值求求函函数数的的增增量量与与自自变变量量.lim)()3(0 xyxfyx 求求极极限限，得得导导函函数数说明说明:上面的方法中把上面的方法中把x换换x0即为求函数在点即为求函数在点x0处处的的 导数导数. 3.函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x= x0处的函数值处的函数值,即即 .这也是求函数在点这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf 4.函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是曲

3、线就是曲线y= f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.5.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：（1求出函数在点求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲，得到曲线线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2根据直线方程的点斜式写出切线方程，即根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 二、新课二、新课几种常见函数的导数几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.公式公式1: .)(0为为常常数数CC . 0lim)(, 0,)()(,)(

4、:0 xyCxfxyCCxfxxfyCxfyx证证公式公式2: .)()(1Qnnxxnn 请注意公式中的条件是请注意公式中的条件是 ,但根据我们所掌握但根据我们所掌握的知识的知识,只能就只能就 的情况加以证明的情况加以证明.这个公式称为这个公式称为幂函数的导数公式幂函数的导数公式.事实上事实上n可以是任意实数可以是任意实数. Qn *Nn nnnxxxxfxxfyxxfy )()()(,)(:证证,)()()()(2221122211nnnnnnnnnnnnnnnnxCxxCxxCxxCxxCxxCx ,)(12211 nnnnnnnxCxxCxCxy.)(limlim)()(1122110

5、0 nnnnnnnnxxnnxxCxxCxCxyxxf;33)( :2133xxx 例例如如;222)()1(331222xxxxx ;212121)()(2112121xxxxx .535353)()1(58581535353xxxxx 公式公式3: .xxcos)(sin 要证明这个公式要证明这个公式,必须用到一个常用极限必须用到一个常用极限. 1sinlim0 xxxxxxxfxxfyxxfysin)sin()()(,sin)(: 证证,2sin)2cos(2xxx ,22sin)2cos(2sin)2cos(2xxxxxxxxxy .cos1cos22sinlim)2cos(limli

6、m)(sin)(000 xxxxxxxyxxfxxx 同理可证同理可证,公式公式4: .xxsin)(cos 三、例题选讲三、例题选讲例例1:求过曲线求过曲线y=cosx上点上点P( )且与过这点的切线垂且与过这点的切线垂 直的直线方程直的直线方程.21,3 .23sin|,sin,cos3 xyxyxyx 解解：；的的斜斜率率为为点点且且与与切切线线垂垂直直的的直直线线从从而而过过，处处的的切切线线斜斜率率为为故故曲曲线线在在点点3223)21,3(PP . 0233232),3(3221 yxxy即即所所求求的的直直线线方方程程为为注注:满足条件的直线称为曲线在满足条件的直线称为曲线在P点

7、的法线点的法线.O A xM Py例例2:如图如图,质点质点P在半径为在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速的圆上逆时针做匀角速 运动运动,角速度角速度1rad/s,设设A为起始点为起始点,求时刻求时刻t时时,点点P在在 y轴上的射影点轴上的射影点M的速度的速度.解解:时刻时刻t时时,因为角速度因为角速度1rad/s, 所以所以 .radttPOA 1;radtPOAMPO ;sin10sintMPOOPOM 故点故点M的运动方程为的运动方程为:y=10sint.cos10)sin10(ttyv 故时刻故时刻t时时,点点P在在 y轴上的射影点轴上的射影点M的速度为的速度为10costcm/s.例

8、例3:已知两条曲线已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条问是否存在这两条 曲线的一个公共点曲线的一个公共点,使在这一点处使在这一点处,两条曲线的切线两条曲线的切线 互相垂直互相垂直?并说明理由并说明理由.解解:设存在一个公共点设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件满足题设条件.;cos|,cos)(sin00 xyxxyxx 得得由由;sin|,sin)(cos00 xyxxyxx 得得由由由两条曲线的切线在点由两条曲线的切线在点P互相垂直互相垂直,则则cosx0(-sinx0) =-1,得得sinx0cosx0=1,即即sin2x0=2.这不可能这不可能,所以不存在满

9、足题设条件的一个点所以不存在满足题设条件的一个点.练习练习1:曲线曲线y=sinx在点在点P( )处的切线的倾斜角为处的切线的倾斜角为 _.22,4 22arctan例例4:已知曲线已知曲线 在点在点P(1,1)处的切线与直线处的切线与直线m平行且平行且 距离等于距离等于 ,求直线求直线m的方程的方程.31xy 10;3)()1(,14333 xxxyxy解解：. 043),1(31, 3|)1 , 1(1 yxxyykPx即即从从而而切切线线方方程程为为处处的的切切线线的的斜斜率率为为曲曲线线在在设直线设直线m的方程为的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公由平行线间的距离公式得式得:;

10、146,10|4|1013| )4(|2 bbbb或或故所求的直线故所求的直线m的方程为的方程为3x+y+6=0或或3x+y-14=0.例例5:求双曲线求双曲线 与抛物线与抛物线 交点处切线的夹角交点处切线的夹角.xy1 xy .11,11,1），故故交交点点为为（解解得得解解：联联立立方方程程组组yxxyxy; 1)1 , 1(1, 1|,1,11112 kxyykxyxyx处处的的切切线线斜斜率率为为在在交交点点故故双双曲曲线线双双曲曲线线;21)1 , 1(,21|,21,21121 kxyykxyxyx处处的的切切线线斜斜率率为为在在交交点点故故抛抛物物线线抛抛物物线线. 3|21)

11、1(1211|1|tan:2121 kkkk 由由夹夹角角公公式式. 3arctan 夹夹角角例例6:求过点求过点P(3,5)且与曲线且与曲线y=x2相切的直线方程相切的直线方程.说明说明:曲线上求在点曲线上求在点P处的切线与求过点处的切线与求过点P的切线有区别的切线有区别. 在点在点P处的切线处的切线,点点P必为切点必为切点,求过点求过点P的切线的切线,点点P 未必是切点未必是切点.应注意概念的区别应注意概念的区别,其求法也有所不同其求法也有所不同.解解:设所求切线的切点在设所求切线的切点在A(x0,y0).因为因为A是曲线是曲线y=x2上的一点上的一点,所以所以,y0=x02 .又因为函数

12、又因为函数y=x2的导数为的导数为 所以过点所以过点A(x0,y0)的的切线的斜率为切线的斜率为,2xy .2|2|000 xxyxxxx 由于所求切线过由于所求切线过P(3,5)和和A(x0,y0)两点两点,故其斜率又故其斜率又应为应为 .352,3500000 xyxxy联立联立,解得解得:.255110000 yxyx或或故切点分别为故切点分别为(1,1)或或(5,25).当切点为当切点为(1,1)时时,切线的斜率为切线的斜率为k1=2x0=2;当切点为当切点为(5,25)时时,切线的斜率为切线的斜率为k2=2x0=10;所以所求的切线有两条所以所求的切线有两条,方程分别为方程分别为:y

13、-1=2(x-1)或或y-25=10(x-5),即即y=2x-1或或y=10 x-25.练习练习2:若直线若直线y=3x+1是曲线是曲线y=ax3的切线的切线,试求试求a的值的值. 解解:设直线设直线y=3x+1与曲线与曲线y=ax3相切于点相切于点P(x0,y0),则则有有: y0=3x0+1,y0=ax03,3ax02=3.由由,得得3x0+1=ax03,由由得得ax02=1,代入上式可代入上式可得得:3x0+1=x0,x0=-1/2.所以所以a(-1/2)3=1,a=4.四、小结与作业四、小结与作业1.要切实掌握四种常见函数的导数公式要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1) (c为常为常 数数;(2) ;(3)