第六章__概率分布

1、第六章 概率分布 1、后验概率（统计概率）、后验概率（统计概率） 随机事件随机事件A在在n次试验中出现次试验中出现m次，次，m与与n的比值，的比值，就是随机事件就是随机事件A出现的频率。出现的频率。 一、一、概率的定义概率的定义 nmWA 2 2、先验概率（古典概率）、先验概率（古典概率） 古典概率模型要求满足两个条件：古典概率模型要求满足两个条件： 实验的所有可能结果是有限的实验的所有可能结果是有限的 每一种可能结果出现的可能性相等。每一种可能结果出现的可能性相等。nmPA)(二、概率的基本性质二、概率的基本性质 （一）概率的公理（一）概率的公理 1的概率都是非负的。的概率都是非负的。 0

2、P（A）1 2的概率等于零。的概率等于零。 3的概率等于的概率等于1。 （二）概率的加法定理（二）概率的加法定理 互不相容事件：在一次实验或调查中，若事件互不相容事件：在一次实验或调查中，若事件发生，则事件就一定不发生，这样的两个发生，则事件就一定不发生，这样的两个事件为互不相容事件。事件为互不相容事件。 加法定理加法定理(additive rule)(additive rule)：两：两和的概率，等于这两个事件概率之和。即和的概率，等于这两个事件概率之和。即 BABAPPP)(1212(+)nnAAAAAAPPPP （三）概率的乘法定理（三）概率的乘法定理 独立事件：一个事件的出现对另一个事

3、件的出现独立事件：一个事件的出现对另一个事件的出现不发生影响。不发生影响。 相关事件或相依事件：事件相关事件或相依事件：事件A的概率随事件的概率随事件B是否是否出现而改变，事件出现而改变，事件B的概率随事件的概率随事件A是否出现而改是否出现而改变。变。 乘法定理乘法定理(product rule)：两个：两个独立事件独立事件同时出现同时出现的概率等于这两事件概率的乘积。的概率等于这两事件概率的乘积。 BABAPPP )( （1）按随机变量是否具有连续性来分类，可分为）按随机变量是否具有连续性来分类，可分为离散分布离散分布（二项分布、泊松分布、超几何分布）与（二项分布、泊松分布、超几何分布）与连

4、连续分布续分布（正态分布、负指数分布、威布尔分布）。（正态分布、负指数分布、威布尔分布）。 （2）按分布函数的来源来分类，可分为）按分布函数的来源来分类，可分为经验分布与经验分布与理论分布理论分布 。 （3）按概率分布所描述的数据特征来分类，可分为基）按概率分布所描述的数据特征来分类，可分为基本随机变量分布与抽样分布。本随机变量分布与抽样分布。概率分布的类型概率分布的类型 第二节 正态分布（高斯分布） 一、正态分布特征一、正态分布特征 （一）正态分布曲线函数（一）正态分布曲线函数 正态分布曲线函数又称概率密度函数，其一般方正态分布曲线函数又称概率密度函数，其一般方程为程为22212Xye （二

5、）正态分布的特征（二）正态分布的特征 1.正态分布的形式是正态分布的形式是对称对称的，其对称轴是的，其对称轴是经过平经过平均数点的垂线均数点的垂线。 2.正态分布的正态分布的中央点最高中央点最高，然后逐渐向两侧下降，然后逐渐向两侧下降，曲线的形式是先向内弯，然后向外弯，曲线的形式是先向内弯，然后向外弯，拐点位拐点位于正负于正负1个标准差处个标准差处，曲线两端向靠近基线处无，曲线两端向靠近基线处无限延伸，但终限延伸，但终不能与基线相交不能与基线相交。 3.正态曲线下的正态曲线下的面积为面积为1，由于它在平均数处左右对称，由于它在平均数处左右对称，故经平均数点的垂线将正态曲线下的面积划分为相等的两

6、故经平均数点的垂线将正态曲线下的面积划分为相等的两部分，各为部分，各为0.50。 （4）正态分布是一族分布。它随随机变量的平）正态分布是一族分布。它随随机变量的平均数、标准差的大小与单位不同有不同的分布形均数、标准差的大小与单位不同有不同的分布形态。态。22212XXAedx （5）正态分布中各种差异量数的值皆有固定的比）正态分布中各种差异量数的值皆有固定的比率。率。 （6）在正态分布曲线下，标准差与概率（面积）在正态分布曲线下，标准差与概率（面积）有一定的数量关系。如：正负一个标准差之间，包含有一定的数量关系。如：正负一个标准差之间，包含总面积的总面积的68.26%；正负；正负1.96个标准

7、差之间，包含总个标准差之间，包含总面积的面积的95%；正负；正负2.58个标准差之间，包含总面积的个标准差之间，包含总面积的99%；正负；正负3个标准差之间，包含总面积的个标准差之间，包含总面积的99.74%。二、正态分布表的编制与使用二、正态分布表的编制与使用 （一）正态分布表的编制与结构（一）正态分布表的编制与结构 正态分布表的结构一般包括三栏正态分布表的结构一般包括三栏 第一栏：第一栏：Z分数单位；分数单位； 第二栏：密度函数或比率数值（第二栏：密度函数或比率数值（y）；）； 第三栏：概率值（第三栏：概率值（p）。）。 （二）正态分布表的使用（二）正态分布表的使用 1.1.依据依据Z Z

8、分数求概率分数求概率p p，即已知标准分数求面积。，即已知标准分数求面积。 求某求某Z分数值与平均数（分数值与平均数（Z=0）之间的概率。）之间的概率。 求某求某Z分数以上或以下的概率。分数以上或以下的概率。 求两个求两个Z分数之间的概率。分数之间的概率。例例1（1）求某）求某Z分数与平均数（分数与平均数（z=0）之间的概率直接查表之间的概率直接查表例例2（2）求某）求某Z分数以上或以下的概率分数以上或以下的概率eg：求：求Z=1以上或以下的概率以上或以下的概率解：解：Z=1时，时，p=0.34134 z=1以上概率为以上概率为0.5-0.34134，z=1以下概率为以下概率为0.5+0.34

9、1341例例3（2）求某）求某Z分数以上或以下的概率分数以上或以下的概率eg：求：求Z=3.24以上的概率以上的概率解：解：Z=3.24时，时，p=？ z=1以上概率为以上概率为0.5-0.34134，例例4（3）求两个）求两个z分数之间的概率分数之间的概率eg：求：求z=3.24和和z=-1.74之间的概率之间的概率解：先求出两个解：先求出两个z分数分别的概率，若两个分数分别的概率，若两个z为同号，为同号，则用较大概率减较小概率；若两个则用较大概率减较小概率；若两个z分数为一正一负，分数为一正一负，则两个概率相加则两个概率相加 2.2.从概率从概率p p求求Z Z分数，即从面积求标准分数值。

10、分数，即从面积求标准分数值。已知从平均数开始的概率值求已知从平均数开始的概率值求Z值（值（直接查表直接查表）。）。已知位于正态分布两端的概率值求该概率值分界点的已知位于正态分布两端的概率值求该概率值分界点的Z值（值（0.5-p0.5-p，然后查表，然后查表）。）。若已知正态曲线下中央部分的概率，求若已知正态曲线下中央部分的概率，求Z分数是多少分数是多少 ( ,然后查表，然后查表，z为正负两个值为正负两个值）。）。 3.3.已知概率已知概率p p或或Z Z值，求概率密度值，求概率密度y y，即正态曲线的高（，即正态曲线的高（直直接查表，要注意接查表，要注意p p为中间部分还是两段部分为中间部分还

11、是两段部分）。）。2p 偏态量数公式偏态量数公式 当当 SK=0 时，分布对称时，分布对称；当；当 SK0 时，分布属正偏时，分布属正偏态；当态；当 SK0 时，分布属负偏态。时，分布属负偏态。 次数分布是否正态的检验方法：次数分布是否正态的检验方法： 1 皮尔逊偏态量数法皮尔逊偏态量数法sMdMSK3sMMSK0 （二）峰度、偏度检验法（二）峰度、偏度检验法 1.1.偏度系数偏度系数 当当g1=0时分布是对称的时分布是对称的；当；当g10时，分布为正偏态时，分布为正偏态；当；当g1200时，这个偏态系数的统计量时，这个偏态系数的统计量g1才较可靠。才较可靠。313/22/XXNgXXN 2.

12、2.峰度系数峰度系数 当当g2=0时，正态分布的峰度时，正态分布的峰度；g20时，分布的峰度时，分布的峰度比正态分布的峰度低阔；比正态分布的峰度低阔；g21000时，时，g2值才比较可值才比较可靠。靠。4222/3/XXNgXXN （三）累加次数曲线法（三）累加次数曲线法 正态分布概率曲线和样本的累加频率曲线完全重正态分布概率曲线和样本的累加频率曲线完全重合说明样本分布为正态；若偏离，则不符合。合说明样本分布为正态；若偏离，则不符合。 四、正态分布理论在测验中的应用四、正态分布理论在测验中的应用 （一）化等级评定为测量数据（一）化等级评定为测量数据 将等级评定转化为测量数据，将等级评定转化为测

13、量数据，首先要考虑被评定首先要考虑被评定的心理量是否为正态分布的心理量是否为正态分布。 将等级评定转化为测量数据的方法是用各将等级评定转化为测量数据的方法是用各等级中等级中点的点的Z分数代表该等级分数分数代表该等级分数。 具体步骤具体步骤 根据各等级被评者的数目求各等级的根据各等级被评者的数目求各等级的人数比率人数比率； 求各等级求各等级比率值的中间值比率值的中间值，作为该，作为该等级的中点等级的中点； 求各等级求各等级中点以上（或以下）的累加比率中点以上（或以下）的累加比率； 用累加比率用累加比率查正态表求查正态表求Z值值，该，该Z分数就是各等级分数就是各等级代表性的测量值；代表性的测量值；

14、 求被评者所得评定等级的测量数据的求被评者所得评定等级的测量数据的算术平均数算术平均数，即为每个被评定者的综合评定分数。即为每个被评定者的综合评定分数。 表表6-2 3名教师对名教师对100名学生的评定结果名学生的评定结果 等级等级评定结果（人数）评定结果（人数）教师甲教师甲教师乙教师乙教师丙教师丙A51020B252025C404035D252015E5105总数总数100100100【例例6-2】表表6-2是是3位教师对位教师对100名学生的学习能力所作等级名学生的学习能力所作等级评定的结果。评定的结果。表表6-3是是3名学生从名学生从3位老师那儿获得的评定等级，试将其转位老师那儿获得的评

15、定等级，试将其转化为化为Z分数。分数。 表表6-3 各学生所获得的评定等级各学生所获得的评定等级学生学生教师甲教师甲教师乙教师乙教师丙教师丙1BAA2ABA3DCC 表表6-4 化等级评定为化等级评定为Z分数分数 等等级级教师甲教师甲教师乙教师乙教师丙教师丙P比率中比率中点点以下累加以下累加ZP比率中比率中点以下点以下累加累加ZP比率中比率中点以下点以下累加累加ZA0.050.9751.960.100.951.650.200.901.28B0.250.8250.940.200.800.840.250.6750.45C0.400.5000.400.5000.350.375-0.32D0.250.

16、175-0.940.200.20-0.840.150.125-1.15E0.050.025-1.960.100.05-1.650.050.025-1.96 学生学生1的平均成绩：的平均成绩： (0.94+1.65+1.28)/3=1.29 学生学生2的平均成绩：的平均成绩： (1.96+0.84+1.28)/3=1.36 学生学生3的平均成绩：的平均成绩： (0.94+00.32)/3=0.42（二）确定测验题目的难易度（二）确定测验题目的难易度 确定题目难度分数的具体步骤确定题目难度分数的具体步骤 计算各题目的计算各题目的通过率通过率； 用用0.5减去通过率减去通过率，不计正负号不计正负号，

17、获得获得正态分布表正态分布表中的中的概率值（概率值（p）； 依照依照p值查正态表中相应的值查正态表中相应的Z值值，通过率大于通过率大于50%的的Z值计为负值，通过率小于值计为负值，通过率小于50%的的Z值计为正值值计为正值； 将查表得到的将查表得到的Z分数加上分数加上5便得到从便得到从010的十进制的十进制的难度分数值。的难度分数值。 表表6-5 6-5 难度分数的计算难度分数的计算测验题编号测验题编号 通过率（通过率（%）P值值ZZ+51990.49-2.3312.6693950.45-1.6453.3555850.35-1.0353.9657800.30-0.844.1609700.20-

18、0.5254.4751050005.00011200.300.845.8401350.451.6456.6452510.492.337.330 （三）在能力分组或等级评定时确定人数（三）在能力分组或等级评定时确定人数 将将6个标准差除以分组个标准差除以分组的或等级的的或等级的数目数目，做到，做到Z分数等距；分数等距； 查正态分布表，查正态分布表，从从Z求求p，即各等级或各组在等，即各等级或各组在等距的情况下应有的比率；距的情况下应有的比率； 将将比率乘以欲分组的人数比率乘以欲分组的人数，便得到各等级或分，便得到各等级或分组该有的人数。组该有的人数。 表表6-6 能力分为五组时各组人数的分布能力

19、分为五组时各组人数的分布 分组分组各组界限各组界限比率比率p人数分布人数分布(pN)A1.8以上以上0.03594B0.6 1.80.238424C-0.6 0.60.451444D-1.8-0.60.238424E-1.8以下以下0.03594【例例6-3】 要把要把100人在某一能力上分成人在某一能力上分成5个等级，各等级应该有多少人，个等级，各等级应该有多少人，才能使等级评定做到等距？才能使等级评定做到等距？（四）测验分数的正态化（四）测验分数的正态化 正态化的步骤正态化的步骤 当原始分数不服从正态分布时，先将原始分数的频数转化当原始分数不服从正态分布时，先将原始分数的频数转化为为相对累

20、积频数相对累积频数(百分等级百分等级)，将它视为，将它视为正态分布的概率正态分布的概率； 然后，通过查正态分布表中概率值相对应的然后，通过查正态分布表中概率值相对应的Z值值，将其转，将其转换成换成Z分数，达到正态化的目的。分数，达到正态化的目的。 原始分数正态化的前提条件：研究对象的总体事原始分数正态化的前提条件：研究对象的总体事实上应该是正态分布实上应该是正态分布 T分数分数(T scores)是从是从Z分数经过转化而来的一种分数经过转化而来的一种正态化的正态化的标准分数标准分数。 T=10Z+50 T T分数计算步骤分数计算步骤 第一步：将原始分数正态化；第一步：将原始分数正态化； 第二步

21、：把正态化的第二步：把正态化的Z值代入值代入T值公式加以直线转换。值公式加以直线转换。第三节 二项分布 一、二项试验与二项分布一、二项试验与二项分布 （一）（一）二项试验二项试验 二项试验：贝努里试验，必须满足以下几个条件：二项试验：贝努里试验，必须满足以下几个条件： 1.任何一次试验任何一次试验恰好有两个结果恰好有两个结果，成功与失败，或，成功与失败，或A与与 。 2.共有共有n次试验次试验，且，且n是预先给定的任一正整数。是预先给定的任一正整数。 3.每次试验各自独立每次试验各自独立，各次试验之间无相互影响。，各次试验之间无相互影响。 4.某种结果出现的概率某种结果出现的概率在任何一次试验

22、中都在任何一次试验中都是固定的是固定的。A （二）（二）二项分布二项分布 二项分布：试验仅有两种不同性质结果的二项分布：试验仅有两种不同性质结果的概率分布概率分布。也称。也称两个对立事件的概率分布。两个对立事件的概率分布。 二项分布同二项定理有着密切的关系：二项分布同二项定理有着密切的关系： x=0, 1, ,n; n为正整数。为正整数。01111nnnnn( + ) =C+C+C+Cnnnnnnp qppqpqqn=0( + ) =Cnnxxn xxp qp q 二项分布的具体定义二项分布的具体定义 设有设有n次试验，次试验，各次试验是彼此独立的各次试验是彼此独立的，每次试，每次试验验某事件

23、出现的概率都是某事件出现的概率都是p，某事件，某事件不出现的概不出现的概率都是率都是q (q=1p)，则对于，则对于某事件出现某事件出现X次次(0, 1, 2, n)的概率分布为：的概率分布为：n( , , )=Cxxn xb x n pp qnnC =(n)xxx 【例例6-4】 10个硬币掷一次，或个硬币掷一次，或1个硬币掷十次。问五次正个硬币掷十次。问五次正面向上的概率是多少？五次及五次以上正面向上面向上的概率是多少？五次及五次以上正面向上的概率是多少？的概率是多少？ 二项展开式的要点：二项展开式的要点： 项数：二项展开式中共有项数：二项展开式中共有n1项项。 方次：方次：p的方次，从的

24、方次，从n0为降幂；为降幂；q的方次从的方次从0n为升幂。为升幂。每项每项p与与q方次之和等于方次之和等于n。 系数：各项系数是成功事件次数的组合数。系数：各项系数是成功事件次数的组合数。 解解： （1）根据题意，）根据题意，n=10，p=q=1/2，X=5 5510 510551(5, 10, )210!115! 105 !22112522520.2460932321024bC p q （2）五次及五次以上正面向上的概率）五次及五次以上正面向上的概率555664773882991101001010101010102522101204510110241024102410241024102463

25、80.6231024C p qC p qC p qC p qC p qC p q 二、二项分布的性质二、二项分布的性质 （一）二项分布是离散型分布，概率直方图是跃（一）二项分布是离散型分布，概率直方图是跃阶式。因为阶式。因为X X为不连续变量，用概率为不连续变量，用概率条图条图表示更合表示更合适，用适，用直方图表示只是为了更形象直方图表示只是为了更形象。 1.1.当当p=qp=q时，图形是对称的。时，图形是对称的。 2.当当pq时，直方图呈偏态，时，直方图呈偏态， pq与与pq的偏斜的偏斜方向相反。方向相反。 如果如果n很大，即使很大，即使pq，偏态逐渐降低，最终呈正，偏态逐渐降低，最终呈正态

26、分布，态分布，二项分布的极限分布为正态分布二项分布的极限分布为正态分布。 当当pq且且np5，或，或pq且且nq5时时，二项分布就，二项分布就可以当做一个可以当做一个正态分布正态分布的近似形。的近似形。 （二）二项分布的平均数与标准差（二）二项分布的平均数与标准差 如果二项分布满足如果二项分布满足pq，np5，（或，（或pq且且nq5）时，）时，二项分布接近正态分布二项分布接近正态分布。这时，二项。这时，二项分布的分布的X变量（即成功的次数）具有如下性质：变量（即成功的次数）具有如下性质：=np， ，即，即X变量为变量为=np， 的正的正态分布。态分布。= npq= npq 三、二项分布的应用

27、三、二项分布的应用 解决含有解决含有机遇性质机遇性质的问题。的问题。 所谓机遇问题是指在实验或调查中，所谓机遇问题是指在实验或调查中，实验结果可实验结果可能是由于猜测而造成的能是由于猜测而造成的。 【例例6-6】 有有10道正误题，问答题者答对几题才能认为他是道正误题，问答题者答对几题才能认为他是真会，或者说答对几题，才能认为不是出于猜测真会，或者说答对几题，才能认为不是出于猜测因素？因素？ 解：已知猜对与猜错的概率为解：已知猜对与猜错的概率为p=q=0.5，np=5，此二项分布接近正态分布，故：，此二项分布接近正态分布，故： 根据正态分布概率，当根据正态分布概率，当Z=1.645时，该点以下

28、包时，该点以下包含了全体的含了全体的95%。如果用原分数表示，则为。如果用原分数表示，则为+1.645=5+1.6451.58=7.6=810 0.55np10 0.5 0.51.58npqXZZX 二项分布函数计算结果二项分布函数计算结果 答对答对8道题及其以上的总概率道题及其以上的总概率4510156+=0.0547102410241024102445(8, 10, 0.5)=1024b10(9, 10, 0.5)=1024b1(10, 10, 0.5)=1024b 【例例6-7】有有10道多重选择题，每题有道多重选择题，每题有5个答案，个答案，其中只有一个是正确的。问答对几道题才能说不其

29、中只有一个是正确的。问答对几道题才能说不是猜测的结果？是猜测的结果？ 一、正态分布及渐进正态分布正态分布及渐进正态分布 二、二、t分布分布 三、三、X2分布分布 四、四、F分布分布一、正态分布及渐进正态分布一、正态分布及渐进正态分布 当统计量的分布符合正态分布或渐近正态分布时当统计量的分布符合正态分布或渐近正态分布时，进行统计推论的理论依据即为正态分布的理论，进行统计推论的理论依据即为正态分布的理论。 以样本平均数为例，正态分布的应用情形如下。以样本平均数为例，正态分布的应用情形如下。1、1.总体总体分布为分布为正态正态，方差方差(2 2)已知已知，样本平均样本平均数数的分布为的分布为正态分布

30、。正态分布。根据中心极限定理则有： 样本均数的均数等于总体均数，即 样本均数的标准差等于总体标准差除以样本容量的平方根，即 差异检验值为nXXZiXiX样本平均数平均数的平均数22XnXnSE 平均数的标准误样本平均数的方差2、2.总体总体分布分布非正态，非正态，但但2 2已知已知，这时当样本足，这时当样本足够大时够大时（n30），其样本平均数的分布为，其样本平均数的分布为渐近渐近正态分布正态分布。根据中心极限定理，亦有 样本均数的均数等于总体均数： 样本均数的标准差等于总体标准差除以样本容量的平方根： 检验值：22XnXnnXXZiXiX第四节 抽样分布 区分三种不同性质的分布：区分三种不同

31、性质的分布： 总体分布：总体内个体数值的频数分布。总体分布：总体内个体数值的频数分布。 样本分布：样本内个体数值的频数分布。样本分布：样本内个体数值的频数分布。 抽样分布：某一抽样分布：某一样本统计量样本统计量的概率分布。的概率分布。 （二）方差及标准差的分布（二）方差及标准差的分布 当当n足够大时（足够大时（n30），样本方差及标准差的），样本方差及标准差的分布，渐趋于正态分布分布，渐趋于正态分布2snsX22sX222sn标准差分布标准差分布的平均数 二、二、t t分布分布 t分布：分布： 是由是由小样本统计量小样本统计量形成的概率分布形成的概率分布 t分布是一种左右对称、峰态比较高狭，分

32、布形状分布是一种左右对称、峰态比较高狭，分布形状随样本容量随样本容量n1的变化而变化的一族分布。的变化而变化的一族分布。nsXnsXXnX11t1nnsX （二）（二）t t分布表的使用分布表的使用 t分布表由三方面的数值构成，即分布表由三方面的数值构成，即t值、自由度和值、自由度和显著性水平。显著性水平。 双侧概率通常写作双侧概率通常写作t/2，单侧概率写作，单侧概率写作t。 t值越大，值越大，p值越小。值越小。t0.050.05/2=2.086t0.0250.025=2.086t0.010.01=2.086t0.020.02/2=2.086t0.010.01/2=2.750 （三）样本平均

33、数的分布（三）样本平均数的分布 1.总体总体分布为分布为正态正态，方差方差(2 )未知未知时，时，样本平样本平均数均数的分布为的分布为t分布分布。2(XX)sn11nXsssnn21(XX)1nsn 2.当当总体总体分布为分布为非正态非正态而其而其方差方差(2 )又又未知未知时时，若满足，若满足n30这一条件，这一条件，样本平均数样本平均数的分布的分布近近似为似为t分布分布。2(XX)sn11nXsssnn21(XX)1nsn三、三、2 2分布分布（一）（一） 分布分布 若若n n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量X1X1，X2X2，,Xn ,Xn ，均服从标准，均服从标准正态分布正态分

34、布 则这则这n n个服从标准正态分布的随机变量的平方和个服从标准正态分布的随机变量的平方和XXi i2 2构成构成一新的随机变量一新的随机变量 其分布规律称为其分布规律称为 (n) (n)分布，其中参数分布，其中参数 n n 称为自由度，称为自由度，自由度不同就是另一个自由度不同就是另一个 分布分布222 此时，此时，2 2分布的自由度为分布的自由度为n。 如果正态总体的平均数未知，若用样本平均数作如果正态总体的平均数未知，若用样本平均数作为为的估计值时：的估计值时： 此时，此时，2 2分布的自由度为分布的自由度为df=n1。22222iXXns222X2212niix221.1-nns）（一）（一）2 2分布的特点分布的特点1. 2 2分布是一个分布是一个正偏态分布正偏态分布。n或或n1越小，越小， 2 2分布越分布越偏斜。偏斜。2 2分布分布是一族分布，正态分布是其极限分布。是一族分布，正态分布是其极限分布。2. 2 2值都是正值。值都是正值。3. 2 2分布具有分布具有可加性可加性，即，即2 2分布的和也是分布的和也