定积分及其应用习题章节ppt课件

1、定定 积积 分分 及及 其其 应应 用用习习 题题 课课问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定积分定积分的性质的性质定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 一、主要内容一、主要内容定积分的运用定积分的运用1 1、问题的提出、问题的提出实例实例1 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积AiniixfA )(lim10 曲曲边边梯梯形形由由连连续续曲曲线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.实例实

2、例2 求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程iniitvs )(lim10 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是时间是时间间隔间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求，求物体在这段时间内所经过的路程物体在这段时间内所经过的路程 S.方法方法:分割、求和、取极限分割、求和、取极限.2 2、定积分的定义、定积分的定义设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，在在,ba中中任任意意若若干干若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iii

3、xxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上上任任取取一一点点i （iix ），定义定义,12110nnxxxxxx 怎怎样样的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 .也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上的的取取法法，只只要要当当0 时时，和和S总趋于总趋于确确定定的的极极限限I，在区间在区间,ba上的上的定积分定积分，记为记为记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i点点i 怎怎样样并并作作和和iinixfS )(1 ，可积的两个充分条件

4、：可积的两个充分条件： 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1定理定理2 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.3 3、存在定理、存在定理4 4、定积分的性质、定积分的性质 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性质性质1 babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数)性质性质2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(假假设设bca 性质性质3 则则0)( dxxfba )(ba 性质

5、性质5如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf，推论：推论：则则dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，1dxxfba )(dxxfba )()(ba 2dxba 1dxba ab 性质性质4如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续，上连续，则在积分区间则在积分区间,ba上至少存在一个点上至少存在一个点 ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性质性质7 (定积分中值定理定积分中值定理)设设M及及m分别是函数分别是函数 则则 )()()(abMdxxfabmba . )(xf在在区区间间,ba性质性质6上的最大值

6、及最小值，上的最大值及最小值，积分中值公式积分中值公式5 5、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有导导数数，且且它它的的导导数数是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理定理1定理定理2原函数存在定理原函数存在定理 如果如果)(xf在在,ba上上连续，则积分上限的函数连续，则积分上限的函数dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一个原函数上的一个原函数.定理定理 3微积分根本公式微积分根本公式 如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区

7、间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则 )()()(aFbFdxxfba .)()(babaxFdxxf 也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.,:上上的的增增量量它它的的任任一一原原函函数数在在区区间间上上的的定定积积分分等等于于一一个个连连续续函函数数在在区区间间表表明明baba6 6、定积分的计算法、定积分的计算法 dtttfdxxfba )()()(换元公式换元公式1换元法换元法2分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公式 bababavduuvudv、广义积分、广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分 adxxf)( babdxxf)(lim当当极极限限存存

8、在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. bdxxf)( baadxxf)(lim(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分 badxxf)( badxxf )(lim0当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. badxxf)( badxxf)(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim05 5、定积分运用的常用公式、定积分运用的常用公式(1) 平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy

9、 badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐标情形直角坐标情形abab假设曲边梯形的曲边为参数方程假设曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数 dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122极坐标情形极坐标情形(2) 体积体积xdxx xyo

10、dxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cdxo badxxAV)(xdxx ab平行截面面积为知的立体的体积平行截面面积为知的立体的体积)(xA(3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长弧长dxysba 21A曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数弧长弧长dttts )()(22)(xfy B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为)( )( rr 弧长弧长 drrs )()(22(4) 旋转体的侧面积旋转体的侧面积xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1

11、)(22侧侧五、定积分在经济上的运用五、定积分在经济上的运用 主要目的：如知目的函数的边沿函数，如主要目的：如知目的函数的边沿函数，如何求原函数即目的函数何求原函数即目的函数 xdxxRxRxR0)()(),()1则则已已知知)0()()(),()20CdxxCxCxCx 则则已已知知)0()()(),()30CdxxLxLxLx 则则已已知知 badttfQbaxfQ)(,),()4内内的的总总产产量量为为在在时时间间间间隔隔则则的的变变化化率率已已知知某某产产品品的的总总产产量量例例1. 求求.de1elim10 xxxxnn解解: 由于由于 1,0 x时,xxnxe1e0所以xxxxnd

12、e1e100 xxnd1011n利用夹逼准那么得0de1elim10 xxxxnn,nx典型例题典型例题:一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法思索例1以下做法对吗 ?利用积分中值定理e1elimnn0不对不对 ! 由于 依赖于,n且,10阐明阐明:xxxxnnde1elim10故没理由以为0limnnnnnnnnnnnI1212sinsin1sinlim解：将数列适当放大和减少，以简化成积分和方式解：将数列适当放大和减少，以简化成积分和方式nkknkn11sin知,2dsin1sinlim101xxnnknkn利用夹逼准那么可知.2Inknnknn11sin1nkn

13、nk11sin(1998考研) 11limnnn例例2. 求求思索思索: :nnnnnnnJ1212sinsinlim提示提示: :由上题由上题1sinlimnIJnn11) 1(sinnnnn?11) 1(sinlimnnnnn222sinsin1sinlim1212nnnnnnnnnI00故练习练习: 1. 求极限).21(lim22222nnnnnnnn解：解：原式nn1limnini12)(11xxd1110242. 求极求极限限).2212(lim12121nnnnnnnnn提示：提示：原式nn1limnini121limnnnnini12n1xxd2102ln111limnnnin

14、i12左边= 右边例例3.d411032xxx估计以下积分值解解: 由于由于 1 ,0 x3241xx 41,412xxxxd411032xd2110 xxd41102即xxxd411032216例例4. 证明证明.e2dee222042xxx证证: 令令,e)(2xxxf那么xxxxf2e) 12()(令,0)( xf得,21x, 1)0(f,e1)(421f2e)2(f,e1)(min42,0 xf22,0e)(maxxf故2204e2dee22xxx例例5.设)(xf在1 ,0上是单调递减的延续函数， 试证1 ,0q都有不等式100d)(d)(xxfqxxfq证明：显然证明：显然1,0q

15、q时结论成立.(用积分中值定理)qxxf0d)(10d)(xxfqqxxfq0d)()1 (1d)(qxxfq)1 (q)(1fqq)()1 (2fq , 01q1 ,2q10 q当时,)()()1 (21ffqq0故所给不等式成立 .明对于任何例例6., 3) 1 (,0)(fxxf处连续在已知且由方程xyyxttfyttfxttf111d)(d)(d)(确定 y 是 x 的函数 , 求. )(xf解：方程两端对解：方程两端对 x 求导求导, 得得)( yxfyttf1d)(yyfx)(xttfy1d)()(xfy)(yxy令 x = 1, 得) 1 (d)()(1fyttfyyfy再对 y

16、 求导, 得) 1 (1)(fyyfy3Cyyf ln3)(, 3, 1Cy得令3ln3)(xxf故0例例7.ttttfxfxdcos2sin)()(02求可微函数 f (x) 使满足解解: 等式两边对等式两边对 x 求导求导, 得得)()(2xfxfxxxfcos2sin)(无妨设 f (x)0,那么xxxfcos2sin21)(xxfxfd)()(xxxdcos2sin21Cx )cos2ln(21留意 f (0) = 0, 得3ln21C3ln21)cos2ln(21)(xxfxcos23ln21ttttfxfxdcos2sin)()(02Cxxf)cos2ln(21)(例例8. 求多项

17、式求多项式 f (x) 使它满足方程使它满足方程解解: 令令, t xu 10302d) 1(d)(xxttfttxfx那么10d)(ttxfxxuuf01d)(代入原方程得xuuf0d)(xttfx0d) 1(242xx 两边求导:)(xfxttf0d) 1() 1( xfxxx443)(xf ) 1(2xf) 1( xfx4122x可见 f (x) 应为二次多项式 , 设cxbxaxf2)(代入 式比较同次幂系数 , 得. 1,4, 3cba故143)(2xxxf再求导:二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法1. 熟练掌握定积分计算的常用公式和方法2. 留意特殊方式定

18、积分的计算3. 利用各种积分技巧计算定积分4. 有关定积分命题的证明方法思索思索: 以下作法能否正确以下作法能否正确?xxx1d1112112xxd111132)(32xt 令0d23112111ttt例例9. 求求.de12ln02xx解解: 令令,sinetx那么,sinlntx,dsincosdtttx原式ttttdsincoscos62tttdsinsin1262tttd)sin(csc26coscotcsclnttt6223)32(lntttcbcadcos99例例10. 选择一个常数选择一个常数 c , 使使0d)(cos)(99xcxcxba解解: 令令, cxt那么xcxcxb

19、ad)(cos)(99由于被积函数为奇函数 , 应选择 c 使)(cbca即2bac可使原式为 0 .例例11. 设设,de)(022yxfxyy解解: .d)() 1(102xxfx求xxfxd)() 1(102013)() 1(31xfxxxfxd)() 1(31103xxxxde) 1(31102322101) 1(2) 1d(e) 1(612xxx10de6euuu01e) 1(6euu)2(e61) 1(2 xu令1) 12(222xxxx例例12. 如图如图, 曲线曲线 C 的方程的方程为为)2, 3(),(点xfy 解解: .d)()(302xxfxx 032)()(xfxx 是

20、它的一个拐点, 线, 其交点为(2,4), 设函数f (x)具有三阶延续导数, 计算定积分xxfxxd)()(302 直线 l1与 l2 分别是曲线C在点(0, 0)与(3, 2)处的切 xxfxd)() 12(30 0)3( f(2005 考研)03)() 12(xfxxxfd)(30)2)2(7(03)(2xf)0()3( 216ff204162)3(; 2)0(ff043211 2 3 4 xO1l2ly)(xfy C例例13. 假假设设, 1,0)(Cxf解解: 令令试证 :xxfxd)(sin0 xxfd0)(sin2xxfd20)(sin,xt那么xxfxd0)(sinttftd)

21、(sin)(0ttfd0)(sinttftd)(sin0 xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20由于xxfd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd2)(sin对右端第二个积分令xt xxfd)(sin220综上所述xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin20例例14. 证明恒等式证明恒等式)20(4darccosdarcsin22cos0sin0 xttttxx证证: 令令ttttxfxxdarccosdarcsin)(22cos0sin0那么)(xfxxxcossin2xxxcossin20因此, )0()(2xcxf又)(4fttttdarccos

22、darcsin212100tttdarccosarcsin210td21024故所证等式成立 .例例15.,0)(,)(, )(xgbaxgxf且上连续在设试证, ),(ba使baxxfd)(baxxgd)()()(gf分析分析: 即证0d)()(d)()(babaxxgfxxfgxaxxgd)(x故作辅助函数baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()(至少存在一点xaxxfd)(x即xaxxgd)(baxxfd)(xaxxfd)(baxxgd)(x0证明证明: 令令baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()()(, )(xgxf因在,b

23、a上延续,)(上连续在故baxF在,),(内可导ba, 0)()(bFaF且至少, ),(ba使,0)(F即0d)()(d)()(babaxxgfxxfg因在,ba上)(xg延续且不为0 ,0d)(baxxg从而不变号,因此故所证等式成立 .故由罗尔定理知 ,存在一点思索思索: 此题能否用柯西中值定理证明此题能否用柯西中值定理证明 ?假设能, 怎样设辅助函数?),(babaxxfd)(baxxgd)(,)()(gf要证: xattfxFd)()(xattgxGd)()(提示提示: 设辅助函数设辅助函数 例15 例例16.设函数 f (x) 在a, b 上延续,在(a, b) 内可导, 且 .

24、0)( xf:,)2(lim证明存在若axaxfax(1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 , 使 )(2d)(22fxxfabba(3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使 baxxfaabfd)(2)(22(2003 考研) 证证: (1) ,)2(lim存在axaxfax,0)2(limaxfax由 f (x)在a, b上延续, 知 f (a) = 0. ，又0)( xf所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因此 ),(, 0)()(baxafxf(2) 设)(d)()(,)(2bxaxxfxgxxFxa, 0)()(xfxg则)()

25、,(xgxF故满足柯西中值定理条件, 于是存在 使),(baaabattfttfabagbgaFbFd)(d)()()()()(22xxattfxd)()(2即 )(2d)(22fttfabba(3) 因 0)()(ff)()(aff在a, 上用拉格朗日中值定理),(),( )(aaf代入(2)中结论得)(2d)(22afttfabba因此得 baxxfaabfd)(2)(22)(xf例例17. 设设, ,)(baCxf证证: 设设且试证 :,0)(xf2)()(dd)(abxfxxxfbabattfxFxad)()(xatft)(d那么)(xF)(1xf)(2axxa)(tf)(tftd2t

26、tfxftfxfxad)()()()(20)(,xfax0故 F(x) 单调不减 ,0)()(aFbF即 成立.)(xf)(xfxattfd)(xatft)(d2)(ax 例例18.设)(xf在1 ,0上是单调递减的延续函数， 试证1 ,0q都有不等式100d)(d)(xxfqxxfq证明：显然证明：显然1,0qq时结论成立.(用积分中值定理)qxxf0d)(10d)(xxfqqxxfq0d)()1 (1d)(qxxfq)1 (q)(1fqq)()1 (2fq , 01q1 ,2q10 q当时,)()()1 (21ffqq0故所给不等式成立 .明对于任何例例19. 求抛物线求抛物线21xy在(

27、0,1) 内的一条切线, 使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解: 设抛物线上切点为设抛物线上切点为)1 ,(2xxM那么该点处的切线方程为)(2)1 (2xXxxY它与 x , y 轴的交点分别为, )0,(212xxA) 1,0(2xB所指面积)(xSxx2) 1(2122102d)1 (xx324) 1(22xx11MBAyx)(xS) 13() 1(22412xxx,33x0)( xS,33x0)( xS且为最小点 . 故所求切线为34332XY,0)( xS令得 0 , 1 上的独一驻点33x, 1 , 0)(33上的唯一极小点在是因此xSx 11MBAyx例例20. 设非负函数设非负函数上满足在 1,0)(xf)()(xfxfx曲线)(xfy 与直线1x及坐标轴所围图形(1) 求函数; )(xf(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解: (1)时，当0 x由方程得axx