第七章 离散系统的稳定性与稳态误差

1、第七章第七章 线性离散系统的分析与校正线性离散系统的分析与校正第五节第五节 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差 在采样系统的稳定性分析中，可以在采样系统的稳定性分析中，可以从从s平面和平面和z平面之间的关系中，找出分平面之间的关系中，找出分析采样控制系统稳定性的方法。析采样控制系统稳定性的方法。 一、一、 z平面内的稳定条件平面内的稳定条件 二、二、 z平面和平面和s平面的关系平面的关系 三、三、 劳斯稳定判据劳斯稳定判据 四、四、 稳态误差稳态误差 z变量和变量和s变量的关系为变量的关系为: 其中其中s是复变量是复变量: Z平面和平面和S平面的对应关系：平面的对应关系： 一

2、、一、 z平面和平面和s平面的关系平面的关系第五节第五节 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差z=eTsS=+jz=eTs=eTejT=zejz =eT=T系统稳定系统稳定临界稳定临界稳定系统不稳定系统不稳定0=00z1 s平面和平面和z平面的稳定域平面的稳定域0jS平面平面稳定区稳定区0ImRez平面平面稳定区稳定区第五节第五节 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差 二、二、 z平面内的稳定条件平面内的稳定条件 采样系统稳定的条件：采样系统稳定的条件： 闭环脉冲传递函数的极点均位于闭环脉冲传递函数的极点均位于z平平面上以原点为圆心的单位圆内。即面上以原点为圆心

3、的单位圆内。即zi1 若闭环脉冲传递函数有位于单位圆若闭环脉冲传递函数有位于单位圆外的极点，则闭环系统是不稳定的。外的极点，则闭环系统是不稳定的。 例例 采样控制系统的结构如图所示。采样控制系统的结构如图所示。 试判断系统的稳定性。试判断系统的稳定性。 r(t)e(t)c(t)G(s)TC(s)R(s)G(s)=S(S+4)1T=0.25 s解：解： G(z)=Z S(S+4)1 41S1S+41( - )=Z = 41z-1zz-e-4Tz( - )(1-e-4T)z/4(z-1)(1-e-4T)=(z-1)(1-e-4T)+(1-e-4T)z/4(1-e-4T)z/4G(z)1+G(z)(

4、z)= 特征方程式为特征方程式为z2-1.21z+0.368=0z1,2=0.605j0.04444141(z-1)(1-e-4T)+ (1-e-4T)z=0即即 所以系统是稳定的。所以系统是稳定的。z1=z20u0u=0z=x2+y2 =1z=x2+y2 1 将将Z Z平面上的特征方程式经过平面上的特征方程式经过ZWZW变换，就可变换，就可应用劳斯判据判别系统的稳应用劳斯判据判别系统的稳定性。定性。第五节第五节 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差例例 已知采样控制系统闭环特征方程式已知采样控制系统闭环特征方程式试判断系统的稳定性。试判断系统的稳定性。解：解： D(z)=45

5、z3-117z2+119z-39=045( w+1w-1w+1w-1w+1w-1 )3-117( )2+119( )-39=0 45(w+1)3-117(w+1)2(w-1)+119(w+1)(w-1)2-39(w-1)3=0 将将ZWZW变换变换代入特征方程式：代入特征方程式： 经整理得经整理得 w3+2w2+2w+40=0列劳斯表列劳斯表 w3w2w1w00040240-1821 有二个根在有二个根在w右半平面右半平面,即有两即有两个根在个根在Z 平面上的平面上的单位圆外，故系统单位圆外，故系统为不稳定。为不稳定。第五节第五节 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差四四 稳态

6、误差的分析稳态误差的分析 稳态误差是分析和设计控制系统的一稳态误差是分析和设计控制系统的一个重要性能指标，通过对连续系统的分析个重要性能指标，通过对连续系统的分析可知，系统的稳态误差与可知，系统的稳态误差与输入信号输入信号的大小的大小和形式、和形式、系统的型别系统的型别以及以及开环增益开环增益有关。有关。这一结论同样也适用于采样系统。这一结论同样也适用于采样系统。 第五节第五节 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差G(s)-e(t)Te*(t)E(z)c(t)c*(t)C(z)Tr(t) 单位反馈采样系统的单位反馈采样系统的结构图结构图E(z)=R(z)-C(z)=R(z)1+

7、G(z) 闭环稳定的采样控制系统，由终值定闭环稳定的采样控制系统，由终值定理可求得其稳态误差。理可求得其稳态误差。R(z)1+G(z)e*()=lim(z-1)E(z)=lim(z-1)z1z1 采样系统的稳态误差既与采样系统的稳态误差既与输入输入R(z)有关，又与系统的开环有关，又与系统的开环脉冲脉冲传递函数传递函数及及采样周期采样周期T有关有关。 系统开环脉冲传递函数一般表达式：系统开环脉冲传递函数一般表达式：G(z)=Kr(z-zi)mi=1n-v(z-1)v(z-pj)j=1下面分别讨论不同输入时系统的稳态误差下面分别讨论不同输入时系统的稳态误差 第五节第五节 离散系统的稳定性与稳态误

8、差离散系统的稳定性与稳态误差1、单位阶跃输入时系统的稳态误差、单位阶跃输入时系统的稳态误差设系统的输入为设系统的输入为 R(z)=z-1z=11+limG(z)z111+G(z)e*()=lim(z-1) z1 z-1z定义系统的静态位置误差系数定义系统的静态位置误差系数： Kp=limG(z)z1e*()=1+Kp1则有则有 根据系统开环脉冲传递函数不同，根据系统开环脉冲传递函数不同，分几种情况讨论。分几种情况讨论。e*()=1+Kp1(1) v=0z1limKp= Kr(z-zi)mi=1(z-pj)nj=1 =常数常数(2) v=1e*()=0z1limKp= Kr(z-zi)mi=1(

9、z-1)(z-pj)j=1n-1=e*()=0(3) v=2z1limKp= Kr(z-zi)mi=1(z-1)2(z-pj)j=1n-2=第五节第五节 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差2、单位斜坡输入时系统的稳态误差、单位斜坡输入时系统的稳态误差(z-1)2TzR(z)=11+G(z)e*()=lim(z-1) z1(z-1)2Tz z1limT1(z-1)G(z)1=设系统的输入为设系统的输入为 定义系统的静态速度误差系数定义系统的静态速度误差系数： 则有则有 e*()=KvT(z-1)G(z)z1limKv= 下面按系统开环脉冲传递函数分成下面按系统开环脉冲传递函数分

10、成几种情况讨论。几种情况讨论。(1) v=0e*()=z1Kv= lim (z-1)Kr(z-zi)mi=1(z-pj)nj=1 =0(2) v=1e*()=KvTKr(z-zi)mi=1z1limKv= (z-1)(z-pj)n-1j=1 (z-1) =常数常数e*()=0(3) v=2z1limKv= Kr(z-zi)mi=1(z-1)2(z-pj)j=1n-2 (z-1) =第五节第五节 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差3、单位加速度输入时系统的稳态误差、单位加速度输入时系统的稳态误差第六节第六节 采样控制系统的稳态误差分析采样控制系统的稳态误差分析2(z-1)3T2

11、z(z+1)R(z)= z1 limT21 (z-1)2G(z)111+G(z)e*()=lim(z-1) z12(z-1)3T2z(z+1) 定义系统的静态加速度误差系数：定义系统的静态加速度误差系数：e*()=KaT2e*()=(1) v=0z1j=1Ka= Kr(z-zi)mi=1(z-pj)n lim(z-1)2 =0 z1 lim(z-1)2G(z)Ka=(2) v=1e*()=0z1Ka= Kr(z-zi)mi=1(z-1)(z-pj)j=1n-1lim (z-1)2 (3) v=2=常数常数e*()=KaT2z1lim(z-1)2 Kr(z-zi)mi=1(z-1)2(z-pj)

12、j=1n-2Ka= 不同型别单位反馈离散系统的稳态误差不同型别单位反馈离散系统的稳态误差系统型别系统型别位置误差位置误差速度误差速度误差加速度误差加速度误差0型型I型型0II型型00III型型000)( 1)(ttr ttr )(221)(ttr pK11vKTaKT2例：例：设某闭环离散系统结构图如图所示，已知采样周期设某闭环离散系统结构图如图所示，已知采样周期T为为0.1(s)，当输入，当输入r(t)=1(t)和和t时，求离散系统相应的稳态误差。时，求离散系统相应的稳态误差。r(t)e (t)c(t)C(z)e(t)E(z)c*(t)1s(0.1s+1)解：解：)10(10)()( sss

13、GzG)(1()1(11 ezzze所以，系统为所以，系统为I型系统。型系统。 当输入当输入r(t)=1(t) 时，时，e( )=0。当输入当输入r(t)=t 时，时，)()1(lim1zGzKzv 1 1 . 011 . 0)( vKTeTC(s)R(s)例例2:第四节第四节 离散系统的数学模型离散系统的数学模型Gh (S)Gp (S)1( )TsheGss( )(1)pKGss s图中：21( )( )( )(1).(1)TshpG sGs GsKess开环脉冲传函：121( )( )( )(1).(1)(1)(1)(1)()hpTTTTG zZ G zG GzKzZsseTzeTeKzze闭环环脉冲传函：2( )( )( )( )1( )(1)(1)(1)(1)(1)TTTTTTTTC zG zzR zG zeTzeTeKzK eTezKeTee单位负反馈采样控制系统框图单位负反馈采样控制系统框图误差脉冲传函：( )1( )( )1( )eE zzR zG z系统响应：( ) ( )( )( ) ( )1( )G z R zC zz R zG z稳态误差：11(1) ( )()lim *( )lim(1)( ) ( )lim1( )etzzzR zeetzz R zG z 1）稳定性分析）