第三章 光的衍射

1、第三章第三章 光的衍射光的衍射 教教 师：张旨遥师：张旨遥 办公地点：光电楼办公地点：光电楼321321室室 E-mail: 本章主要内容本章主要内容衍射的基本原理衍射的基本原理夫琅禾费衍射夫琅禾费衍射光学成像系统的衍射和分辨本领光学成像系统的衍射和分辨本领夫琅禾费多缝衍射夫琅禾费多缝衍射衍射光栅衍射光栅菲涅耳衍射菲涅耳衍射全息术全息术前言前言光的衍射现象是光波动性的一个主要标志，也是光光的衍射现象是光波动性的一个主要标志，也是光波在传播过程中的最重要属性之一。波在传播过程中的最重要属性之一。本章将在基尔霍夫标量衍射理论的基础上，研究两本章将在基尔霍夫标量衍射理论的基础上，研究两种最基本的衍射

2、现象及其应用：种最基本的衍射现象及其应用： 菲涅尔衍射（近场衍射）菲涅尔衍射（近场衍射） 夫琅禾费衍射（远场衍射）夫琅禾费衍射（远场衍射）夫琅禾费衍射问题的计算比较简单，并且在光学系夫琅禾费衍射问题的计算比较简单，并且在光学系统的成像理论和现代光学中有着特别重要的意义，统的成像理论和现代光学中有着特别重要的意义，将是本章的重点。将是本章的重点。6.1 衍射的基本原理衍射的基本原理一、光的衍射现象一、光的衍射现象光的衍射光的衍射：光波在传播过程中遇到障碍物时，不能：光波在传播过程中遇到障碍物时，不能用反射、折射和散射来解释的光偏离直线传播的现用反射、折射和散射来解释的光偏离直线传播的现象，也称为

3、光的绕射。象，也称为光的绕射。衍射的两个主要特点：衍射的两个主要特点：光波可以绕过障碍物，在某种程度上传播到障碍物的几何阴影区域中；光波可以绕过障碍物，在某种程度上传播到障碍物的几何阴影区域中；在几何阴影区附近呈现出光强的不均匀分布（光强起伏）。在几何阴影区附近呈现出光强的不均匀分布（光强起伏）。将观察屏上的不均匀光强分布称为将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样衍射图样。 当圆孔足够大时，在屏幕上看当圆孔足够大时，在屏幕上看到一个具有清晰边界的均匀光到一个具有清晰边界的均匀光斑，光斑的大小就是圆孔的斑，光斑的大小就是圆孔的几几何投影何投影； 随着圆孔逐渐减小，起初光斑随着圆孔逐渐减小，起初光

4、斑也相应地变小，而后光斑也相应地变小，而后光斑边缘边缘开始模糊开始模糊，并且在圆斑外面产，并且在圆斑外面产生若干围绕圆斑的同心圆环；生若干围绕圆斑的同心圆环； 圆孔继续减小，圆孔继续减小，光斑及圆环不光斑及圆环不但不减小，反而会增大但不减小，反而会增大； 使用单色（白色）光源时，形使用单色（白色）光源时，形成明暗相间（色彩相间）的同成明暗相间（色彩相间）的同心环带。心环带。典型的圆孔衍射实验典型的圆孔衍射实验刀片边缘的衍射刀片边缘的衍射圆屏的衍射圆屏的衍射中心为泊松亮斑中心为泊松亮斑根据光源、衍射屏和观察屏三者之间的相对位置，根据光源、衍射屏和观察屏三者之间的相对位置，可将衍射现象分为两类：可

5、将衍射现象分为两类： 菲涅尔衍射菲涅尔衍射：光源或观察屏距离衍射屏有限远时，所观察到：光源或观察屏距离衍射屏有限远时，所观察到的衍射。的衍射。 夫琅禾费衍射夫琅禾费衍射：光源和观察屏都距离衍射屏无穷远（或者相：光源和观察屏都距离衍射屏无穷远（或者相当于无穷远）时，所观察到的衍射，此时，衍射屏上的入射当于无穷远）时，所观察到的衍射，此时，衍射屏上的入射波和衍射波都可看成平面波。波和衍射波都可看成平面波。菲涅尔衍射菲涅尔衍射夫琅禾费衍射夫琅禾费衍射衍射屏衍射屏衍射屏衍射屏观察屏观察屏观察屏观察屏光源光源光源光源衍射和干涉具有相同的实质：相干光波叠加引起的衍射和干涉具有相同的实质：相干光波叠加引起的

6、光强重新分布。光强重新分布。衍射和干涉的不同之处：衍射和干涉的不同之处： 干涉干涉：通常为有限个相干光波的叠加；：通常为有限个相干光波的叠加； 衍射衍射：无限个相干光波的叠加。：无限个相干光波的叠加。由于衍射的特殊性，在数学上遇到了很大的困难，由于衍射的特殊性，在数学上遇到了很大的困难，以至于许多有实际意义的问题得不到严格的解，因以至于许多有实际意义的问题得不到严格的解，因而，实际的衍射理论都是一些而，实际的衍射理论都是一些近似解法近似解法。后面将介。后面将介绍的基尔霍夫衍射理论就是一种适用于标量波的衍绍的基尔霍夫衍射理论就是一种适用于标量波的衍射，是能够处理大多数衍射问题的基本理论。射，是能

7、够处理大多数衍射问题的基本理论。二、惠更斯二、惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理Huygens，Christiaan惠更斯，克里斯蒂昂惠更斯，克里斯蒂昂(16291695)荷兰物理学家、数学家、天文学家荷兰物理学家、数学家、天文学家 伽利略伽利略时代和艾萨克牛顿牛顿时代之间最伟大的科学家，他发明了第一具成功的摆钟(还有很多其他发明)，设计并改进了天文望远镜，提出了完整的光的波动说。 惠更斯受到了当时最高标准的教育，1645-1647年他在莱顿大学研读了数学和法学，然后到布雷达继续攻读法学两年。 通过望远镜的观察，惠更斯对光的本质发生了兴趣，并创立了用波描述光的行为的完整理论。这一工作在1678年致法

8、国科学院的信件中首次发表，其完整形式则于1690年发表在他的论光一书中。 惠更斯原理：波源惠更斯原理：波源S在某一时刻所产生的波阵面在某一时刻所产生的波阵面，则则面上的面上的每一点都可以看作是一个次波源每一点都可以看作是一个次波源，它们，它们发出球面次波，其后某一时刻的波阵面发出球面次波，其后某一时刻的波阵面即是该即是该时刻这些球面次波的包络面，波阵面的法线方向就时刻这些球面次波的包络面，波阵面的法线方向就是该光波的传播方向。是该光波的传播方向。惠更斯原理惠更斯原理成功之处直线传播规律反射折射规律双折射现象较好的解释光的定性地解释光的干涉、衍射现象不足之处不能解释干涉衍射光的振幅变化不能解释衍

9、射光强的重新分布惠更斯原理的成功与不足惠更斯原理的成功与不足衍射的显著程度与障碍物（或孔）大小和波长之比衍射的显著程度与障碍物（或孔）大小和波长之比有关有关发生明显衍射的条件：障碍物发生明显衍射的条件：障碍物或孔的大小比波长小或孔的大小比波长小，或者与波长相差不多。，或者与波长相差不多。在生活中，常见的波的衍射现象有：在生活中，常见的波的衍射现象有： 声音传播中的声音传播中的“隔墙有耳隔墙有耳”等；等； 在带窗户的房间中可以接受到收音机和手机信在带窗户的房间中可以接受到收音机和手机信号，是电磁波的衍射。号，是电磁波的衍射。惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理菲涅耳在研究了光的干涉现象后，考虑次波

10、来自于菲涅耳在研究了光的干涉现象后，考虑次波来自于同一个光源，应该是相干的，因而光场中任意一点同一个光源，应该是相干的，因而光场中任意一点的光振动应该是光源和该点之间任一波阵面上所有的光振动应该是光源和该点之间任一波阵面上所有子波相干叠加的结果子波相干叠加的结果，这就是惠更斯，这就是惠更斯-菲涅耳原理。菲涅耳原理。光源光源如果如果 为光源为光源S的的波阵面，则波阵面，则 。光场中的任光场中的任意一点意一点面法线面法线 00 面元面元 对对P点光场的贡献为（复振幅）点光场的贡献为（复振幅）d 0exp,ikrdE PCKE Qdr C 0,K ：比例常数：比例常数：倾斜因子：倾斜因子 E Q：光

11、源：光源S在波阵面上在波阵面上Q点引起的光振动复振幅点引起的光振动复振幅 0,K 当当 时，时， 有最大值；随着有最大值；随着 的增大，的增大， 迅迅速减小；当速减小；当 时，时， 。 0,0K 0 0,K 2 P点总的光场复振幅点总的光场复振幅-惠更斯惠更斯-菲涅耳公式菲涅耳公式 0exp,ikrE PdE PCKE Qdr 利用上述公式可以计算任意形状的孔径或屏的衍射利用上述公式可以计算任意形状的孔径或屏的衍射问题，但是一般情况下积分计算很困难，只有在某问题，但是一般情况下积分计算很困难，只有在某些简单的情况下才能获得精确的解析解。些简单的情况下才能获得精确的解析解。惠更斯惠更斯-菲涅耳公

12、式的意义：对于简单孔径的衍射可菲涅耳公式的意义：对于简单孔径的衍射可以获得满意的结果。以获得满意的结果。惠更斯惠更斯-菲涅耳公式存在的问题：菲涅耳公式存在的问题： 计算所得的相位比实际相位落后计算所得的相位比实际相位落后 ； 为了解释没有倒退波存在，菲涅耳假设当为了解释没有倒退波存在，菲涅耳假设当 时时，有，有 ，而当，而当 时，有时，有 ，这是在原理，这是在原理之外附加的假设，而且他没有给出倾斜因子之外附加的假设，而且他没有给出倾斜因子 的具的具体形式，因此，从理论上讲，惠更斯体形式，因此，从理论上讲，惠更斯-菲涅耳原理是菲涅耳原理是不够完善的。不够完善的。2 0 1K 2 0K K三、三、

13、基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式基尔霍夫从微分波动方程出发，利用数学场论中的基尔霍夫从微分波动方程出发，利用数学场论中的高斯定理以及电磁场的边值条件，给出了惠更斯高斯定理以及电磁场的边值条件，给出了惠更斯-菲菲涅耳原理较完善的数学表达式，涅耳原理较完善的数学表达式，将空间将空间P点的光场点的光场与其周围任一封闭曲面上的各点光场建立起了联系与其周围任一封闭曲面上的各点光场建立起了联系，并且在某些近似条件下，得到了菲涅耳理论中没，并且在某些近似条件下，得到了菲涅耳理论中没有确定的常量有确定的常量 和倾斜因子和倾斜因子 的具体表达式的具体表达式，建立起了光的衍射理论。，建立起了光的衍射理论。C 0,

14、K 该理论将光波作为标量来处理，只考虑电场或磁场该理论将光波作为标量来处理，只考虑电场或磁场的一个横向分量，而假定其他有关分量可以用同样的一个横向分量，而假定其他有关分量可以用同样方法独立处理，完全忽略了电磁场矢量分量间的耦方法独立处理，完全忽略了电磁场矢量分量间的耦合特性，因此称为合特性，因此称为标量衍射理论标量衍射理论。 假设单色光波通过闭合曲假设单色光波通过闭合曲面面 传播，空间传播，空间P点处的点处的光场为光场为 ,i tE P tE P e n VP 如果如果P点是无源场，该点光场应满足标量波动方程点是无源场，该点光场应满足标量波动方程222210EEct 即：亥姆赫兹（即：亥姆赫兹

15、（Helmholtz）方程）方程 220E Pk E P 假设另一个任意复函数也满足亥姆赫兹方程假设另一个任意复函数也满足亥姆赫兹方程n 并且在并且在 面内和面内和 面上有连续的一、二阶偏微商（个面上有连续的一、二阶偏微商（个别点除外）。别点除外）。220Gk G 构造积分构造积分EGQGEdnn ：表示在：表示在 面上每一点沿向外法线方向的偏微商。面上每一点沿向外法线方向的偏微商。 n VP 由高斯定理可得到由高斯定理可得到QGEdEGnn 其中，其中， 是是 面所包围的体积。面所包围的体积。 V 考虑亥姆赫兹方程，则考虑亥姆赫兹方程，则 22220VVGEEG dVGk EEk GdV 即

16、即0EGQGEdnn VG EE G dV G EE Gd 22VGEEG dV GEEGnd n VP 选取选取 为球面波函数为球面波函数ikreGr 函数除了在函数除了在 点外，处处解点外，处处解析。因此，选取复合曲面析。因此，选取复合曲面 ，其中其中 包围包围P点，半径点，半径 为无为无穷小量。穷小量。0r G n Vn P 0EGGEdnn cos,Gn rr 1cos,ikren rikrr GG nn 11sinGGGGrrrr 球坐标系下，有球坐标系下，有Gr nr 对于对于 面上的点，有面上的点，有 cos,1n r n Vn P 11cos,ikrikGeen rikiknr

17、r r 则则因此因此214ikikEGGEdeEeEiknnn 04 E P 亥姆赫兹亥姆赫兹-基尔霍夫积分定理基尔霍夫积分定理 14ikrikrE eeE PEdnrnr 4EGGEdE Pnn 它将空间任意一点的光场与其周围任一闭合曲面上的光场联系了起来，它将空间任意一点的光场与其周围任一闭合曲面上的光场联系了起来，实际上可以看作是惠更斯实际上可以看作是惠更斯-菲涅耳原理的一种较为完善的数学表达式。菲涅耳原理的一种较为完善的数学表达式。 n Vn P EGEGGEdGEdnnnn 0EGGEdnn SPn lRr1 2 Q有一个无限大的不透明平面有一个无限大的不透明平面屏，其上有一开孔屏，

18、其上有一开孔 ，由点，由点光源光源S照明，并且照明，并且 的线度的线度 满足满足 min, r l 其中其中 表示表示 和和 中较中较小的一个。小的一个。l min, r lr 为了应用基尔霍夫积分定理求为了应用基尔霍夫积分定理求P点的光场，围绕点的光场，围绕P点作一闭合点作一闭合曲面。该闭合曲面由三部分组成：曲面。该闭合曲面由三部分组成：开孔开孔 ，不透明屏的部分不透明屏的部分背照面背照面 ，以以P点为中心、点为中心、R为半径的大球的部分球面为半径的大球的部分球面 。1 2 1214ikrikrE eeE PEdnrnr SPn lRr1 2 Q 在在 面上，面上， 和和 的值由入的值由入射

19、波决定，与不存在屏时的值射波决定，与不存在屏时的值完全相同。完全相同。 E 1cos,iklEAn likenll iklAEel En 式中，式中， 是离点光源单位距离处的振幅，是离点光源单位距离处的振幅， 表示外向法表示外向法线线 与从与从S到到 上某点上某点Q的矢量的矢量 之间夹角的余弦。之间夹角的余弦。 A cos, n l n l SPn lRr1 2 Q 在不透明屏背照面在不透明屏背照面 上，有上，有0En 0E 通常称通常称 面和面和 面上的两个假定为基尔霍夫边界条件；面上的两个假定为基尔霍夫边界条件； 这两个假定是近似的，因为屏的存在必然会干扰这两个假定是近似的，因为屏的存在必

20、然会干扰 处的场，处的场，特别是开孔边缘附近的场；特别是开孔边缘附近的场； 在在 上，光场值也并非处处绝对为零；上，光场值也并非处处绝对为零； 严格的衍射理论表明，在前述的开孔限度限制下，误差不严格的衍射理论表明，在前述的开孔限度限制下，误差不大，作为近似理论，仍然可以采用上述假定。大，作为近似理论，仍然可以采用上述假定。1 1 1 SPn lRr1 2 Q 对于对于 面，有面，有 ， cos,1n R rR 2 221144ikRikReEeEikE dikE R dRnRn 1ikrikRikRikRReeeiknrnRRReikR 因此，在因此，在 上的积分上的积分 为为2 式中，式中，

21、 是是 对于对于P点所张的立体角，点所张的立体角， 是立体角元。是立体角元。2 d 214ikrikrE eeEdnrnr lim0REikE Rn 索末菲（索末菲（Sommerfield）辐射条件）辐射条件而当而当 时，时， 是有界的，所以当是有界的，所以当 时，时，在在 面上的积分为零面上的积分为零 ikReR RR R 2 221144ikriiRkrkE eeEdnrneEnrikE R dR 014ikReRdREikE Rn 通过上述讨论可得，计算通过上述讨论可得，计算P点的光场，只需要考虑孔点的光场，只需要考虑孔径面径面 上的积分，即上的积分，即 121414ikrikrikri

22、krE eeE PEdnrnrE eeEdnrnr 其中其中 1cos,En likE Qnl iklAEE Qel 1cos,ikrikreen riknrrr 1ikl cos,n l ikE Q 1ikr cos,ikren r ikr 菲涅耳菲涅耳-基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式 cos,cos,2ikrn rn lieE PE ldr 0,ikreE PCE QKdr 惠更斯惠更斯-菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射公式 菲涅耳菲涅耳-基尔霍夫衍射公式的贡献基尔霍夫衍射公式的贡献iC 0cos,cos,2n rn lK 如果将积分面元如果将积分面元 视为次波源，菲涅耳视为次波源，菲涅耳-基尔

23、霍夫基尔霍夫公式可解释为：公式可解释为： d E Q 2 i P点的光场是点的光场是 上无穷多次波源产生的，次波源的上无穷多次波源产生的，次波源的复振幅与入射波在该点的复振幅复振幅与入射波在该点的复振幅 成正比，与成正比，与波长波长 成反比；成反比；因子因子 表明：次波源的振动相位超前入射波表明：次波源的振动相位超前入射波 ；倾斜因子表示了次波的振幅在各个方向上是不同的，倾斜因子表示了次波的振幅在各个方向上是不同的，其值在其值在0和和1之间。之间。 如果一平行光垂直入射到如果一平行光垂直入射到 上，则上，则 cos,cosn r 1K 01cos,2KK cos,1n l 0 当当 时，时，

24、，表明波面法线方向上次波贡献，表明波面法线方向上次波贡献最大；最大；当当 时，时， ，表明菲涅耳在关于次波研究中，表明菲涅耳在关于次波研究中假设假设 是不正确的。是不正确的。 0K 20K 上式对于光源和观察点是对称的，意味着上式对于光源和观察点是对称的，意味着S点源在点源在P点产生的效果和在点产生的效果和在P点放置同样强度的光源在点放置同样强度的光源在S点产点产生的效果完全相同，称为生的效果完全相同，称为亥姆赫兹互易定理亥姆赫兹互易定理。 cos,cos,2iklikrn rn liAeeE Pdlr 单色点光源单色点光源S照射开孔，在开孔后任意一点照射开孔，在开孔后任意一点P点产生点产生的

25、光场复振幅为的光场复振幅为 cos,cos,2ikrn rn lieE PE ldr iklAE lel 菲涅耳菲涅耳-基尔霍夫衍射公式在计算衍射问题时，因被基尔霍夫衍射公式在计算衍射问题时，因被积函数的形式较复杂，对于一些极简单的衍射问题积函数的形式较复杂，对于一些极简单的衍射问题，仍不易得到解析形式的积分结果。为此，必须根，仍不易得到解析形式的积分结果。为此，必须根据实际情况作进一步的近似处理。据实际情况作进一步的近似处理。虽然基尔霍夫衍射公式是由点光源照明导出的，但虽然基尔霍夫衍射公式是由点光源照明导出的，但是仍然普遍适用于一般单色光照明的情况，因为总是仍然普遍适用于一般单色光照明的情况

26、，因为总可以把任一复杂的光波分解为简单的球面波的线性可以把任一复杂的光波分解为简单的球面波的线性叠加。叠加。 在一般的光学系统中，对成像起主要作用的是那些与在一般的光学系统中，对成像起主要作用的是那些与光学系统光轴夹角极小的傍轴光线，因此下面的两个光学系统光轴夹角极小的傍轴光线，因此下面的两个近似条件通常都成立近似条件通常都成立 第一：第一： 因此因此 第二：第二： （观察屏与衍射孔的距离）（观察屏与衍射孔的距离） cos,1n r cos,1n l 1rQPz 0cos,cos,12n rn lK 1ikriE PE Q edz 指数中的指数中的 未用未用 代替，这是因为指数中代替，这是因为

27、指数中 所影响的是次波所影响的是次波场的相位，会显著影响干涉效应，所以不可用常数场的相位，会显著影响干涉效应，所以不可用常数 替代。替代。r1zr1z 在傍轴近似下，按观察屏与衍射孔的距离不同，衍射在傍轴近似下，按观察屏与衍射孔的距离不同，衍射公式中的公式中的 还可进行不同的简化，常见的有两种：还可进行不同的简化，常见的有两种： 菲涅耳近似（菲涅耳衍射，近场衍射）；菲涅耳近似（菲涅耳衍射，近场衍射）； 夫琅禾费近似（夫琅禾费衍射，远场衍射）。夫琅禾费近似（夫琅禾费衍射，远场衍射）。圆孔的投影圆孔的投影菲涅耳衍射：菲涅耳衍射：距离增大时，光斑范围扩大，光斑中圆距离增大时，光斑范围扩大，光斑中圆环

28、数减少，环纹中心亮、暗交替变化。环数减少，环纹中心亮、暗交替变化。夫琅禾费衍射：夫琅禾费衍射：一个较大的中间一个较大的中间亮、边缘暗，且亮、边缘暗，且在边缘外有较弱在边缘外有较弱的亮、暗圆环的的亮、暗圆环的光斑。光斑。距离增加，只是距离增加，只是光斑扩大，光斑光斑扩大，光斑形状不变。形状不变。r 1ikriE PE Q edz 傍轴近似下傍轴近似下 222111rzxxyy 22112111zxxyyz 旁轴近似下，蓝色部分为微小量旁轴近似下，蓝色部分为微小量考虑展开式考虑展开式 ，则，则 2111128f aaaa 22222111113111128rzxxyyxxyyzz 其中，其中， 的

29、大小决定了哪些展开项可以忽略不计。的大小决定了哪些展开项可以忽略不计。1z 菲涅耳近似（近场）菲涅耳近似（近场）当当 大到使得展开式中第三项引起的相位变化远远大到使得展开式中第三项引起的相位变化远远小于小于 时，即时，即 1z 222113118kxxyyz 菲涅耳近似菲涅耳近似（此区域观察到的衍射称为菲涅耳衍射，（此区域观察到的衍射称为菲涅耳衍射，即近场衍射）即近场衍射） 2211112222111111111222rzxxyyzxyxxyyxyzzzz 22221111111111111122211111,xyzikrxyikikikzixyxyzzziE x yE xyedx dyzee

30、E xyeedx dyi z P点光场的复振幅为点光场的复振幅为1xxfz 1yyfz 菲涅耳衍射公式可看成菲涅耳衍射公式可看成 的傅里叶变换。的傅里叶变换。 22111211,ikxyzE xye 2222111111122211111,xyikikikzxyxyix fy fzzeeE xyeedx dyi z 22221111122111,ikikikzxyxyzzeeE xyei zF 旁轴近似下旁轴近似下 夫琅禾费近似（远场）夫琅禾费近似（远场）菲涅耳近似菲涅耳近似22221111111122xyxxyyxyrzzzz 夫琅禾费近似夫琅禾费近似（此区域观察到夫琅禾费衍射，即远场衍射此

31、区域观察到夫琅禾费衍射，即远场衍射）221112xykz 22111112xyxxyyrzzz 11221111221111221111111221111122111112111,xyikrxxyyikikzixyzzzikikzxyix fy fzikikzxyziE x yE xyedx dyzeeE xyedx dyi zeeE xyedx dyFi zeeE xyi z P点光场的复振幅为点光场的复振幅为1xxfz 1yyfz 夫琅禾费衍射就是入射光场夫琅禾费衍射就是入射光场 的傅里叶变换。的傅里叶变换。 11,E xy菲涅耳衍射（近场衍射）和夫琅禾费衍射（远场衍菲涅耳衍射（近场衍射）

32、和夫琅禾费衍射（远场衍射）都是在傍轴近似下，利用基尔霍夫衍射公式求射）都是在傍轴近似下，利用基尔霍夫衍射公式求解衍射问题时的近似解衍射问题时的近似 。近场和远场的划分是相对的，对一定波长的光来说近场和远场的划分是相对的，对一定波长的光来说，衍射孔径越大，相应的近场和远场的临界值距离，衍射孔径越大，相应的近场和远场的临界值距离衍射屏也越远。衍射屏也越远。菲涅耳衍射区包含了夫琅禾费衍射，凡是用来分析菲涅耳衍射区包含了夫琅禾费衍射，凡是用来分析计算菲涅耳衍射的公式都适用于夫琅禾费衍射。计算菲涅耳衍射的公式都适用于夫琅禾费衍射。例如：对于光波波长为例如：对于光波波长为600nm、圆孔直径为、圆孔直径为

33、2cm的的情况，试估算菲涅耳衍射起点到圆孔的距离。情况，试估算菲涅耳衍射起点到圆孔的距离。菲涅耳近似条件菲涅耳近似条件 222113118kxxyyz 即即 222311114zxxyy 由于菲涅耳衍射光斑只略有扩大，可忽略，所以可取由于菲涅耳衍射光斑只略有扩大，可忽略，所以可取 222118xxyycm 因此，菲涅耳衍射区要求因此，菲涅耳衍射区要求164zcm例如：对于光波波长为例如：对于光波波长为600nm、圆孔直径为、圆孔直径为2cm的的情况，试估算夫琅禾费衍射区起点到圆孔的距离。情况，试估算夫琅禾费衍射区起点到圆孔的距离。夫琅禾费近似条件夫琅禾费近似条件221112xykz 即即221

34、11xyz 其中其中 222112xycm 因此，菲涅耳衍射区要求因此，菲涅耳衍射区要求1333zm由上面的计算可以看到，要产生夫琅禾费衍射，观由上面的计算可以看到，要产生夫琅禾费衍射，观察屏到衍射屏距离的要求比菲涅耳衍射苛刻得多。察屏到衍射屏距离的要求比菲涅耳衍射苛刻得多。四、四、衍射的巴比涅原理衍射的巴比涅原理若两个衍射屏中，一个屏幕的开孔部分正好与另一若两个衍射屏中，一个屏幕的开孔部分正好与另一个屏的不透明部分相对应，这样的一对衍射屏称为个屏的不透明部分相对应，这样的一对衍射屏称为互补屏互补屏。例如：。例如： 和和 就是一对互补屏。就是一对互补屏。1 2 1 2 巴比涅原理巴比涅原理：一

35、对互补屏在衍射场某点产生的复振：一对互补屏在衍射场某点产生的复振幅之和等于光波自由传播时在该点产生的复振幅。幅之和等于光波自由传播时在该点产生的复振幅。 012EPEPEP 由巴比涅原理得出两个重要结论：由巴比涅原理得出两个重要结论： 若若 ，则，则 ； 两个互补屏不存在时，光场为零的那些点，互补屏两个互补屏不存在时，光场为零的那些点，互补屏产生完全相同的光强分布，但是光场相位差为产生完全相同的光强分布，但是光场相位差为 。 21EPEP 00EP 用巴比涅原理可由一种衍射屏的衍射图样求出互补用巴比涅原理可由一种衍射屏的衍射图样求出互补屏的衍射图样。例如：圆孔屏的衍射图样。例如：圆孔圆屏，单缝

36、圆屏，单缝细丝。细丝。 若若 ，则，则 ； 放置一个屏时，对应光场为零的那些点，在换上它放置一个屏时，对应光场为零的那些点，在换上它的互补屏时，光场和没有屏时一样。的互补屏时，光场和没有屏时一样。 10EP 20EPEP 6.2 夫琅禾费衍射夫琅禾费衍射一一、夫琅禾费衍射装置夫琅禾费衍射装置 单色点光源单色点光源S放置在透镜放置在透镜L1的焦平面上，若开孔面上的焦平面上，若开孔面上有均匀的光场分布，可令有均匀的光场分布，可令 ，又因为透镜，又因为透镜L2紧贴孔径，则紧贴孔径，则 ，观察屏上的光场复振幅为，观察屏上的光场复振幅为 11,E xyA 1zf 2211211,ikikxyxxyyff

37、E x yCeedx dy ikfAeCif 矩形沿矩形沿x1轴和轴和y1轴的宽度轴的宽度分别为分别为a和和b，中心位于坐，中心位于坐标原点。傍轴近似下标原点。傍轴近似下 2211sinsin2221122,xyikabxyik xyfabE x yCeedy dx 透镜焦平面上，透镜焦平面上，P点的光场复振幅为点的光场复振幅为sinxxf sinyyf 二、矩孔衍射二、矩孔衍射 2211sinsin2221122yxikabxyikyikxfabCeedxedy 2220,ikxyfEx yCabe 11221111sin2sin2222sinsinyxbayxikikyikxxyfabxy

38、xyeeCeikik 0sinsinsinsin,sinsinyxxybaEx yab 22sinsinsinsin222sinsinxxyyiaiaibibikxyfxyeeeeCeii 2222 sinsin2 sinsin22sinsinikxyxyfxyiaibCabeiaib 22*0sinsin,I x yE x y Ex yI *2000,IEx y Ex yCab 光强光强sinyb sinxa sinx sinx a 0a 2a 2a 3a 3a 4a 4a siny siny b 0b 2b 2b 3b 3b 4b 4b x方向分布方向分布y方向分布方向分布次极大位置次极大

39、位置tan 次极大位置次极大位置tan 注意观察中央主极大与周围次极大的特点（宽度、强度等）。注意观察中央主极大与周围次极大的特点（宽度、强度等）。 以以x轴上的光强分布为例，对光强极大值和极小值位轴上的光强分布为例，对光强极大值和极小值位置进行分析（此时，置进行分析（此时，y=0）20sinII sinxa 为了获取极值点位置，需要对光强进行一阶微分，为了获取极值点位置，需要对光强进行一阶微分，并令其等于并令其等于0。02sincossin20dIId 两种情况：两种情况：sin0 cossin0 或者或者对于第一种情况对于第一种情况sin0 0, 1, 2,mm 即即当当 时，时， ，此时

40、，此时 ，即中心为极大值；，即中心为极大值；0m 0II 当当 时，时， ，此时，此时 ，即存，即存在一系列极小值点。在一系列极小值点。1, 2,m 0I 0 x sinxma 暗纹间隔暗纹间隔xfa 对于第一种情况对于第一种情况即即cossin0 tan 对应两个相邻暗条纹之间的次极大位置。对应两个相邻暗条纹之间的次极大位置。00110.0471820.0169430.0083440.005031.4304.493 2.4597.725 3.47010.90 4.47914.07 20sinII 极大极大值序值序号号能量主要集中在中央主极大！能量主要集中在中央主极大！单色光矩孔衍射图样单色光

41、矩孔衍射图样10.0470.0470.0470.0470.00220.00220.00220.0022单色光矩孔衍射图样单色光矩孔衍射图样思考：中央亮斑思考：中央亮斑x（y）方向宽度与矩孔）方向宽度与矩孔x1（ y1 ）方向的宽度关系？）方向的宽度关系？sinxa sinyb 中央亮斑的中央亮斑的半角半角宽度：宽度：中央亮斑的中央亮斑的半宽度半宽度尺寸：尺寸：xa yb xfa yfb 中心亮斑边缘决定条件：中心亮斑边缘决定条件：白光矩孔衍射图样白光矩孔衍射图样由于中央亮斑集中了绝大部分光能，它的半角宽度由于中央亮斑集中了绝大部分光能，它的半角宽度的大小可以作为衍射效应强弱的标志。的大小可以作

42、为衍射效应强弱的标志。矩孔尺寸越小，它对光束的限制越大，衍射场越弥矩孔尺寸越小，它对光束的限制越大，衍射场越弥散，反之，矩孔尺寸越大，衍射场就越集中。散，反之，矩孔尺寸越大，衍射场就越集中。当波长远远小于孔宽时，光束几乎自由传播，表明当波长远远小于孔宽时，光束几乎自由传播，表明衍射场基本集中在沿直线传播方向上，在透镜焦面衍射场基本集中在沿直线传播方向上，在透镜焦面上衍射斑收缩为几何像点。上衍射斑收缩为几何像点。波长越大，衍射效应越显著，波长越短，衍射效应波长越大，衍射效应越显著，波长越短，衍射效应可忽略，所以说可忽略，所以说几何光学是波动光学当波长趋于几何光学是波动光学当波长趋于0时的极限情形

43、时的极限情形。三、单缝衍射三、单缝衍射 如果矩孔一个方向的宽度比另一个方向的宽度大得如果矩孔一个方向的宽度比另一个方向的宽度大得多，例如：多，例如： ，矩孔就变成了狭缝（单缝）。衍射，矩孔就变成了狭缝（单缝）。衍射图样只分布在图样只分布在x轴方向。轴方向。 20sinI xI sina 衍射光强分布衍射光强分布a 中央亮纹的中央亮纹的半角半角宽度宽度是其他亮纹的两倍是其他亮纹的两倍ba 如果用一根不透光的细丝（金属丝或纤维丝）来代如果用一根不透光的细丝（金属丝或纤维丝）来代替单缝，则可获得细丝的夫琅禾费衍射。替单缝，则可获得细丝的夫琅禾费衍射。 思考：狭缝光源照射下，细丝的衍射图样是怎样的？思

44、考：狭缝光源照射下，细丝的衍射图样是怎样的？提示：巴比涅原理。提示：巴比涅原理。无衍射屏时，只在观察屏上有一条中心亮纹；无衍射屏时，只在观察屏上有一条中心亮纹；除了中心亮纹位置以外，其余地方狭缝和细丝衍射除了中心亮纹位置以外，其余地方狭缝和细丝衍射光强分布一样，只是光场复振幅有光强分布一样，只是光场复振幅有 的相位差。的相位差。 细丝夫琅禾费衍射的实际应用：激光衍射细丝测径细丝夫琅禾费衍射的实际应用：激光衍射细丝测径仪，精确测量金属丝或纤维丝的直径。仪，精确测量金属丝或纤维丝的直径。 思考：如何测量？思考：如何测量？暗纹间隔暗纹间隔xfa 目前，已经把激光衍射细丝测径仪用于细丝生产过目前，已经

45、把激光衍射细丝测径仪用于细丝生产过程做连续的动态监测。程做连续的动态监测。在实际测量中，只要测量出细丝衍射条纹间距，就在实际测量中，只要测量出细丝衍射条纹间距，就可以计算出细丝的直径。可以计算出细丝的直径。 衍射光场的形成机理：衍射光场的形成机理：观察屏上观察屏上P点的光强是单缝点的光强是单缝AB上无穷多个相干波源上无穷多个相干波源多光束干涉的结果。多光束干涉的结果。四、圆孔衍射四、圆孔衍射 由于光学仪器的光瞳通常是圆形的，所以讨论圆孔由于光学仪器的光瞳通常是圆形的，所以讨论圆孔衍射对于分析光学仪器的特性具有重要意义。衍射对于分析光学仪器的特性具有重要意义。 由于圆孔结构的几何对称性，用极坐标

46、处理更方便。由于圆孔结构的几何对称性，用极坐标处理更方便。111111cossinxryr 111drdrd cossinxryr costancoscossintansinsinxrffyrff 1122221111211112coscossinsin211100,xxyyikikfikxyfffikikfxyaik rrfeE x yeE xyedx dyifAeeerdrdif 观察屏上观察屏上P点的光场为点的光场为 112cos11100aikrCerdrd 在圆对称情况下，积分与方位角在圆对称情况下，积分与方位角 无关，可令无关，可令 。 0 112cos11100,aikrE x

47、yCerdrd 11112cos100aikredCrdr 112cos11010,ikraE x yCeddr r 贝塞尔函数性质：贝塞尔函数性质： 112cos101012ikredJkr 01110,2aE x yCJkrrdr 10dzJzzJzdz 贝塞尔函数递推关系贝塞尔函数递推关系 1211002akkrJkCdrrkk 11111202rarCkrJkrk 122Jkaa Cka 2*22122012,2,JkaJZIkxayE x y Ex yaCIZ 观察屏上观察屏上P点的光强度为点的光强度为夫琅禾费圆孔衍射图样夫琅禾费圆孔衍射图样tanrf ka 2102122JZIIZ

48、Jkaka 主极大主极大01极小极小0次极大次极大0.0175极小极小0次极大次极大0.0042极小极小0次极大次极大0.00161.2203.833 1.6355.136 2.2337.016 2.6798.417 Z 2102JZIIZ 极大极大和极和极小小3.69911.620 3.23810.174 rZfka fZrka 中央亮斑占据整个入射光强的中央亮斑占据整个入射光强的84%，称为艾里（，称为艾里（Airy）斑。斑。001.222raff 00.61a 两相邻暗环间距不相等，距离中心越远，间距越小，两相邻暗环间距不相等，距离中心越远，间距越小，这一点有别于矩形孔的衍射图样。这一点

49、有别于矩形孔的衍射图样。艾里斑的艾里斑的角半径角半径：1.22Zka 艾里斑的艾里斑的半径半径：6.3 光学成像系统的衍射和分辨本领光学成像系统的衍射和分辨本领一一、成像系统的衍射现象、成像系统的衍射现象 理想的光学成像系统，理想的光学成像系统，点物成点像点物成点像。 实际的光学成像系统，光学元件的通光孔起着光阑的实际的光学成像系统，光学元件的通光孔起着光阑的作用，会产生衍射，作用，会产生衍射，点物成衍射像斑点物成衍射像斑。 通常情况下，光学系统的孔径光阑比光波波长大得多，通常情况下，光学系统的孔径光阑比光波波长大得多，所以衍射效应极小，衍射像斑非常接近点像，但可用所以衍射效应极小，衍射像斑非

50、常接近点像，但可用足够倍数的显微镜观察衍射像斑结构。足够倍数的显微镜观察衍射像斑结构。 星点检验法星点检验法在生产中，常采样该方法检测物镜成像质量的优劣。在生产中，常采样该方法检测物镜成像质量的优劣。其中，其中， 为待检测的物镜，其口径小于为待检测的物镜，其口径小于 的口径，的口径，所以所以 是由是由 的孔径光阑产生的夫琅禾费衍射像的孔径光阑产生的夫琅禾费衍射像斑。斑。2L1L2L0P例如：例如： 的光阑直径为的光阑直径为D=30mm，焦距为，焦距为f=120mm，光波波长为光波波长为546.1nm时，衍射的艾里斑半径为时，衍射的艾里斑半径为2L01.220.0025rfmmD 如此小的像斑人

51、眼无法直接看出其结构细节，只能如此小的像斑人眼无法直接看出其结构细节，只能通过显微镜放大来观察。通过显微镜放大来观察。除了衍射以外，被检验物镜通常或大或小地存在着像除了衍射以外，被检验物镜通常或大或小地存在着像差（球差、彗差、像散、场曲、畸变、色差等），因差（球差、彗差、像散、场曲、畸变、色差等），因而所形成的衍射像斑也反映了像差的影响，使得它与而所形成的衍射像斑也反映了像差的影响，使得它与理想系统所成的像斑在衍射条纹形状及强度分布方面理想系统所成的像斑在衍射条纹形状及强度分布方面有了差别。有了差别。在光学工厂中，常常通过比较这种差别来判定被检物在光学工厂中，常常通过比较这种差别来判定被检物镜

52、成像质量的优劣。这种方法称为星点检验。镜成像质量的优劣。这种方法称为星点检验。星点像星点像-无像差衍射受限系统无像差衍射受限系统星点像星点像-球差球差星点像星点像-彗差彗差6 6 2.5 2.5 1 1 星点像星点像-像散像散二二、在像面观察的夫琅禾费衍射在像面观察的夫琅禾费衍射 对于光学成像系统，比较多的情形是对对于光学成像系统，比较多的情形是对近处近处的点光源的点光源（点物）成像（比如照相物镜、显微物镜），由于光（点物）成像（比如照相物镜、显微物镜），由于光阑对光束的空间限制作用，点物依然成衍射像斑。阑对光束的空间限制作用，点物依然成衍射像斑。 问题：对于近距离成像的光学系统，在像面上观察

53、到问题：对于近距离成像的光学系统，在像面上观察到的衍射像斑是否可以应用夫琅禾费衍射公式来计算？的衍射像斑是否可以应用夫琅禾费衍射公式来计算？ 菲涅耳衍射计算公式得到像面上的复振幅分布菲涅耳衍射计算公式得到像面上的复振幅分布 22112222111121111221111,ikikRx xyyRxyikikikRikxyxyxyRRRReE x yE xyedx dyi ReeE xyeedx dyi R 由于孔径光阑受到会聚球面波照明，所以在光阑面由于孔径光阑受到会聚球面波照明，所以在光阑面（通光孔）上的复振幅分布为（通光孔）上的复振幅分布为 11exp,AikrE xyr r：光阑面上：光阑

54、面上Q点到观察面上像点点到观察面上像点S的距离的距离 通常物点通常物点S和像点和像点S在光轴上，选取在光轴上，选取C为为x1y1面的原面的原点、点、S为为xy面的原点，面的原点，Q点坐标为（点坐标为（x1，y1），所以），所以有有22222111121xyrRxyRR 在旁轴近似下，在旁轴近似下， 分子和分母中分子和分母中的的 可做如下两种近似可做如下两种近似 22112xyrRR 11exp,AikrE xyr rrR 分母：分母：分子：分子： 所以有所以有 222111212211,=ikxyikxyikRikRRRAE xyeAeeRe A：光阑面上的光场振幅：光阑面上的光场振幅 221

55、1211,ikxyikRRE xyAee 1122112221212111,1xyxyikikxix fy fyxyRRRikxyRE x yeAedx dyi RedAex dyi R 说明说明在像面上观察到的近处点物的衍射像也是孔径光阑的夫在像面上观察到的近处点物的衍射像也是孔径光阑的夫琅禾费衍射图样。琅禾费衍射图样。 22221111221111,xyikikikRikxyxyxyRRRReE x yeE xyeedx dyi R yyfR xxfR 相应的艾里斑半径为相应的艾里斑半径为01.22RrD R：光阑到像面的距离。：光阑到像面的距离。D：孔径光阑的直径。：孔径光阑的直径。 成

56、像系统对无穷远处的点物在焦面上所成的像是夫琅成像系统对无穷远处的点物在焦面上所成的像是夫琅禾费衍射像；禾费衍射像； 成像系统对近处点物在像面上所成的像是夫琅禾费衍成像系统对近处点物在像面上所成的像是夫琅禾费衍射像；射像； 总之，成像系统对点物在它的像面上所成的像是孔径总之，成像系统对点物在它的像面上所成的像是孔径光阑的夫琅禾费衍射图样。光阑的夫琅禾费衍射图样。 分辨本领分辨本领：系统能分辨开：系统能分辨开两个靠近的点物或物体细两个靠近的点物或物体细节的能力，它是光学成像节的能力，它是光学成像系统的重要指标。系统的重要指标。 一般光学系统的通光孔都一般光学系统的通光孔都是圆的，因此，无像差的是圆

57、的，因此，无像差的理想光学系统的分辨本领理想光学系统的分辨本领是由圆孔夫琅禾费衍射所是由圆孔夫琅禾费衍射所形成的衍射花样（即艾里形成的衍射花样（即艾里斑）大小所决定的。斑）大小所决定的。 瑞利判据瑞利判据：衍射图样中央：衍射图样中央极大与另一个衍射图样的极大与另一个衍射图样的第一极小重合，作为恰能第一极小重合，作为恰能分辨两个点物的极限。分辨两个点物的极限。01.22D 角分辨极限：角分辨极限：三三、成像系统的分辨率、成像系统的分辨率405501.221.223.4 102nmradDmm 人眼的分辨本领人眼的分辨本领 设瞳孔直径为设瞳孔直径为2mm，对黄绿光来说，角分辨极限为，对黄绿光来说，

58、角分辨极限为 人眼在明视距离（人眼在明视距离（25cm）处，能分辨的两点间的极）处，能分辨的两点间的极限距离为限距离为4lim03.4 10250.1lLcmmm 人眼对放在明视距离处的物体，间隔小于人眼对放在明视距离处的物体，间隔小于0.1mm的的细节无法分辨。细节无法分辨。望远镜的分辨本领望远镜的分辨本领01.22D 为了提高分辨率，天文望远镜物镜的直径要做得很大。为了提高分辨率，天文望远镜物镜的直径要做得很大。现在已有直径现在已有直径16m的天文望远镜物镜。的天文望远镜物镜。 望远镜物镜：对望远镜物镜：对“无穷远无穷远”物体在物体在“焦平面焦平面”上成像。上成像。 分辨本领用两个恰好能分

59、辨的点物对物镜的张角表示。分辨本领用两个恰好能分辨的点物对物镜的张角表示。 通过合成孔径的方法，美国宇航局（通过合成孔径的方法，美国宇航局（NASA）在）在2001年已获得相当于年已获得相当于85m直径的望远系统。直径的望远系统。 其原理为：通过两个精确定位的、相距其原理为：通过两个精确定位的、相距1001000m的的采集器接收两路星光，再反射到合成器，从而扩大了采集器接收两路星光，再反射到合成器，从而扩大了接收望远镜的通光孔径。接收望远镜的通光孔径。照相物镜的分辨本领照相物镜的分辨本领 照相物镜一般用于对较远的物体成像，并且所成的像照相物镜一般用于对较远的物体成像，并且所成的像由大致位于照相

60、物镜焦面的感光底片记录。由大致位于照相物镜焦面的感光底片记录。 照相物镜的分辨率以像面上每毫米能分辨的直线数照相物镜的分辨率以像面上每毫米能分辨的直线数N来表示。来表示。 能分辨的最靠近的两直线在感光底片上的距离为能分辨的最靠近的两直线在感光底片上的距离为111.22DNf 01.22ffD 物镜的相对孔径物镜的相对孔径 为了充分利用照相物镜的分辨能力，所使用的感光底为了充分利用照相物镜的分辨能力，所使用的感光底片的分辨率应该大于或等于物镜的分辨本领。片的分辨率应该大于或等于物镜的分辨本领。显微镜的分辨本领显微镜的分辨本领 显微镜用于观察近处微小物体。用刚好能分辨的两点显微镜用于观察近处微小物