第三章 存储模型、森林救火、易拉罐的最优设计

1、第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型3.1 存贮模型存贮模型3.2 森林救火森林救火3.3 3.3 易拉罐的最优设计易拉罐的最优设计经济、管理科学近几十年获得了飞速经济、管理科学近几十年获得了飞速发展，并取得丰硕的成果。这些成果发展，并取得丰硕的成果。这些成果的重要标志之一就是更加数学化和定的重要标志之一就是更加数学化和定量化。量化。 简单优化模型简单优化模型下面介绍供应链与物流管理中的一个下面介绍供应链与物流管理中的一个典型模型：存储模型典型模型：存储模型 存储模型存储模型 允许缺货的存储模型允许缺货的存储模型 不允许缺货的存储模型不允许缺货的存储模型注：本章介绍的简单优化问题是人们注

2、：本章介绍的简单优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等在工程技术、经济管理和科学研究等领域中常见的一类问题，它可归结为领域中常见的一类问题，它可归结为微积分中的函数极值问题。微积分中的函数极值问题。3.1 存贮模型存贮模型问问 题题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量已知某产品日需求量100件，生产准备费件，生产准备费500

3、0元，贮存费元，贮存费每日每件每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要要 求求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。需求量、准备费、贮存费之间的关系。问题分析与思考问题分析与思考 每天生产一次每天生产一次，每次，每次100件，无贮存费，准备费件，无贮存费，准备费5000元。元。日需求日需求100件，准备费件，准备费5000元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件1元。元。 10

4、天生产一次天生产一次，每次，每次1000件，贮存费件，贮存费900+800+100 =4500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计9500元。元。 50天生产一次天生产一次，每次，每次5000件，贮存费件，贮存费4900+4800+100 =122500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计127500元。元。平均每天费用平均每天费用950元元平均每天费用平均每天费用2550元元1010天生产一次平均每天费用最小吗天生产一次平均每天费用最小吗? ?每天费用每天费用5000元元 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作

5、为目标函数显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数目标函数每天总费用的平均值每天总费用的平均值 周期短，产量小周期短，产量小 周期长，产量大周期长，产量大问题分析与思考问题分析与思考贮存费少，准备费多贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小模模 型型 假假 设设1. 产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数 r；2. 每次生产准备费为每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为每天每件产品贮存费为 c2；3. T天生产一次（周期）天生产一次（周期）, 每次生产每次生产Q件，当贮

6、存量件，当贮存量 为零时，为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；件产品立即到来（生产时间不计）；建建 模模 目目 的的设设 r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。使每天总费用的平均值最小。4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模模 型型 建建 立立0tq贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数 q(t)TQrt=0生产生产Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r递减，递减，q(T)=0.一周期一周期总费用总费用TQccC221每天总费用平均每天总费用平均值（目标函数）值（目标函数）2)(2

7、1rTcTcTCTC离散问题连续化离散问题连续化AcdttqcT202)(一周期贮存费为一周期贮存费为A=QT/22221rTcc rTQ 模型求解模型求解Min2)(21rTcTcTC求求 T 使使0dTdC212crcrTQ212rccT 模型分析模型分析QTc,1QTc,2QTr,模型应用模型应用c1=5000, c2=1，r=100T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答问题回答问题 经济批量订货公式经济批量订货公式（EOQ公式公式）212rccT 212crcrTQ每天需求量每天需求量 r，每次订货费，每次订货费 c1,每天每件贮存费每天每件贮存费 c2

8、 ，用于订货、供应、存贮情形用于订货、供应、存贮情形不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型 问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天订货一次天订货一次(周期周期), 每次订货每次订货Q件，当贮存量降到件，当贮存量降到零时，零时，Q件立即到货。件立即到货。允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时原模型假设：贮存量降到零时Q件件立即生产出来立即生产出来(或立即到货或立即到货)现假设：允许缺货现假设：允许缺货,

9、 每天每件缺货损失费每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足缺货需补足T1rTQ AcdttqcT2021)(一周期一周期贮存费贮存费BcdttqcTT331)(一周期一周期缺货费缺货费周期周期T, t=T1贮存量降到零贮存量降到零2)(2213121TTrcQTccC一周期总费用一周期总费用rTQrTcrTQcTcTCQTC2)(2),(232210,0QCTC每天总费用每天总费用平均值平均值（目标函数）（目标函数）213121)(2121TTrcQTccC一周期总费用一周期总费用Min),(QTC求求 T ,Q 使使332212cccrccT323212ccccrcQ为与为与不允许缺货的存

10、贮模型不允许缺货的存贮模型相比，相比，T记作记作T , Q记作记作Q212rccT 212crcrTQ不允不允许缺许缺货模货模型型QQTT,332ccc 记记1QQTT,13cQQTT,332212cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型不不允允许许缺缺货货3c332212cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型0qQ rT1tT注意：缺货需补足注意：缺货需补足Q 每周期初的存贮量每周期初的存贮量R每周期的生产量每周期的生产量R （或订货量）（或订货量）332212ccccrcTrRQ不允许缺货时的产量不允许缺货时的产量(或订货量或订货量) QQ

11、R例例 有一酒类批发商，以每天有一酒类批发商，以每天150瓶的速度瓶的速度供应零售商，存储费用为每天每瓶供应零售商，存储费用为每天每瓶0.05元，元，根据合同如缺货，每瓶每天须向零售商赔根据合同如缺货，每瓶每天须向零售商赔偿偿0.2元。若批发一次的费用为元。若批发一次的费用为300元，试确元，试确定批发商的最佳批发周期、进货量和缺货定批发商的最佳批发周期、进货量和缺货时间。时间。3.2 森林救火森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。队员少，森林损失大，救

12、援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x, 失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t). 损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数, 由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定. 救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数, 由队员人数和救火时间决定由队员人数和救火时间决定.存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小 关键是对关键是对B(t)作出合理的简化假设作出合理的简化假设.问题问题分析分

13、析失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 画出时刻画出时刻 t 森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论森林烧毁转而讨论森林烧毁速度速度dB/dt.模型假设模型假设 3）f1(x)与与B(t2)成正比，系数成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损失费） 1）0 t t1, dB/dt 与与 t成正比，系数成正比，系数 (火势蔓延速度）火势蔓延速度） 2）t1 t t2, 降为降为 - x ( 为队员的平均灭火为队员的平均灭火速度）速度） 4）每个）每个队员的单位

14、时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用一次性费用c3假设假设1）的解释的解释 rB火势以失火点为中心，火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，均匀向四周呈圆形蔓延，半径半径 r与与 t 成正比成正比面积面积 B与与 t2成正比，成正比， dB/dt与与 t成正比成正比.xbtt12202)()(tdttBtB模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假设假设1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目标函数目标函数总费用总费用)()()(21xfxfxC假设假设3）4）xttt112假设假设2）)(222212212xttbt0dxdCxcxxtcx

15、tctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目标函数目标函数总费用总费用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx结果解释结果解释 / 是火势不继续蔓延的最少队员数是火势不继续蔓延的最少队员数dtdBb0t1t2tx其中其中 c1,c2,c3, t1, , 为已知参数为已知参数模型模型应用应用c1,c2,c3已知已知, t1可估计可估计, c2 x c1, t1, x c3 , x 结果结果解释解释231221122ctctcxc1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费, c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费, c3每个每个队员一次性

16、费用队员一次性费用, t1开始救火时刻开始救火时刻, 火火势蔓延速度势蔓延速度, 每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度.为什么为什么? ? , 可可设置一系列数值设置一系列数值由模型决定队员数量由模型决定队员数量x可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐(易拉罐易拉罐)顶盖的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 为什么为什么? 它们的形状为它们的形状为什么是这样的什么是这样的?:找一个雪碧饮料罐具体测量一下找一个雪碧饮料罐具体测量一下:它它顶盖的直径和从顶盖到底部的高顶盖的直径和从顶盖到底部的高:约约为为6厘米和厘

17、米和12厘米厘米.中间胖的部分的直中间胖的部分的直径约为径约为6.6厘米厘米,胖的部分高约为胖的部分高约为10.2厘米厘米.可口可乐饮料罐上标明净含量可口可乐饮料罐上标明净含量为为355毫升毫升(即即355立方厘米立方厘米).根据有关根据有关的数据的数据,要求通过数学建模的方法来要求通过数学建模的方法来回答相关的问题回答相关的问题. 我们先看这样的数学题我们先看这样的数学题: : “用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖或有盖)容器，问应当如何设计，才能使用容器，问应当如何设计，才能使用料最省，这时圆柱的直径和高之比为多料最省，这时圆柱的直径和高之比为

18、多少少?”(一般数学分析或高等数学教材中导数一般数学分析或高等数学教材中导数的应用的应用(极值问题极值问题)部分的一道例题部分的一道例题). 实际上实际上,用几何语言来表述就是用几何语言来表述就是:体积给定的体积给定的圆柱体圆柱体,其表面积最小的尺寸其表面积最小的尺寸(半径和高半径和高)为为多少多少? 表面积用表面积用S S表示表示, , 体积用体积用V V表示表示, , 则则)(222),(22rhrrrhhrShrV2,)(2rVh)2(2) )(2(2)(0322VrrrVrrS32Vr drVVVVVrVh228443322323222S即圆柱的直径和高即圆柱的直径和高之比为之比为1:

19、1问题分析和模型假设问题分析和模型假设 饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的性的.要求饮料罐内体积一定时要求饮料罐内体积一定时,求能使易拉求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比顶盖到底部的高之比. 实际上实际上,饮料罐的形状是如下平面图形绕其饮料罐的形状是如下平面图形绕其中轴线旋转而成的立体中轴线旋转而成的立体.模型的建立模型的建立 饮料罐的半径为(因此,直径为), 罐的高为. h罐内体积为. V除顶盖外的材料的厚度.b顶盖的厚度为 (顶盖就能感觉到更硬)其中,r,h是自变量, 所用材料的体积

20、SV是因变量, 而b和V是固定参数, 是待定参数 b322222)1 ()1 (22)1 ()(2 ()1 ()()(bbhbrrbhbhbrbbhrbr3222)1 ()1 (2)1 (2),(bbhbrbrrhbhrSVhrhrV2),(饮料罐侧面所用材料的饮料罐侧面所用材料的体积体积 罐内体积罐内体积 所用材料的体积所用材料的体积 3222)1 ()1 (2)1 (2),(bbhbrbrrhbhrSV顶盖和底部所用材顶盖和底部所用材料料 因 ,所以带 , 的项可以忽略,所以rb 2b,3b 这是极其重要的合理假设或简化这是极其重要的合理假设或简化! brrhbhrShrSV2)1 (2)

21、,(),(Vhrhrg2),(0).(, 0, 0. .),(minhrghrtshrS其中是其中是S目标函数目标函数, 是是约束条件约束条件, V是已知的是已知的(即罐内体积即罐内体积一定一定), 即要在体积一定的条件下即要在体积一定的条件下,求求罐的体积最小的罐的体积最小的 r,h和和 使得使得r,h和测量和测量结果吻合结果吻合. 这是一个求条件极值的问题这是一个求条件极值的问题. 0),(hrg模型的求解模型的求解 从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题 使原问题化为:求 使 S 最小,即,求r 使下式最小. 0),(2Vhrhrg)(2rVhhd :)1 (2

22、)(,(2rrVbrhrS求临界点求临界点: :令其导数为零令其导数为零 得得0)1(2)1(2322VrrbrVrbdrdS3)1 (Vr2)1 ()1 ()1 ()1 (2)1 (2323drVVVh测量数据为测量数据为 ,即即 即即顶盖厚度是其他材料厚度顶盖厚度是其他材料厚度3倍倍 2dh413本题还可本题还可Lagrange乘子法来解乘子法来解 (增加一个变量化条增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题件极值问题为多元函数无条件极值问题) 模型验证及进一步的分析模型验证及进一步的分析 有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚度的3倍.如果易拉罐的半径为3厘米,则其体积为 3553 .3391232V 实际上,饮料罐的形状是左平面图形绕其中轴线旋转而成的立体. 可以把饮料罐的体积看成两