自动控制理论_08一、二阶系统的与计算

1、第第3 3章章 时域分析法时域分析法)()()(=+trtcdttdcT3 32 2 一、二阶系统的分析与计算一、二阶系统的分析与计算q定义：由一阶微分方程描述的系统。定义：由一阶微分方程描述的系统。一、一阶系统的数学模型及单位阶跃响应一、一阶系统的数学模型及单位阶跃响应sKsG= =)(KTKsKsKsKs11)(=+=+=1111+=+=TsTsT（1 1）一阶系统的单位阶跃响应）一阶系统的单位阶跃响应输入：输入：输出：输出：)( 1)(ttr= =ssR1)(= =sTssRssH111)()()(+=Tteth=1)(ttsscc+=1=ssctTttec1=TsssH111)(+=0

2、=t01)0(0=ecTt =632. 01)(1=eTcTt2=865. 01)2(2=eTcTt3=95. 01)3(3=eTcTt4=982. 01)4(4=eTct1)(=c可知一阶系统的时间常数可知一阶系统的时间常数TeTdttdctTtt11)(00=性能指标性能指标1. 1. 平稳性平稳性：2. 2. 快速性快速性t ts s：3.3.准确性准确性 e essss：非周期、无振荡，非周期、无振荡， 0 0%595. 0)(3误差带误差带对应对应时，时，= = =tcTt%298. 0)(4误差带误差带对应对应时，时，= = =tcTt0)(1= = = =cess例例1 1 系统

3、如图所示，系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时现采用负反馈方式，欲将系统调节时间减小到原来的间减小到原来的0.10.1倍倍，且保证原放大倍数不变，试确且保证原放大倍数不变，试确定参数定参数 K Ko o 和和 K KH H 的取值。的取值。 )(1)()(0sGKSGKsH+=+=+10*1011002. 0*1012 . 00KKKTKHH=109 . 00KKH11012 . 0101100+=sKKKHH12 . 010112 . 0100+=sKsKHHKsK1012 . 0100+=（2 2）一阶系统的单位脉冲响应）一阶系统的单位脉冲响应 理想单位脉冲函数理想单位脉冲函数

4、，则有，则有 )()(ttr=1)(=sR11)()()(+=TssRsCs对于一阶系统对于一阶系统输出信号的拉氏变换式可以写成输出信号的拉氏变换式可以写成: : 11)()()(+=TssRssC理想单位脉冲难以得到，要求实际脉宽理想单位脉冲难以得到，要求实际脉宽Th1 . 0TteTTsLtc=+=111)(10t（3 3）一阶系统的单位斜坡响应）一阶系统的单位斜坡响应 单位斜坡函数为单位斜坡函数为 ，则有，则有 ttr=)(21)(ssR=输出信号的拉氏变换式可以写成输出信号的拉氏变换式可以写成: : 11)()()(+=TssRsCs11111)()()(222+=+=TsTsTssT

5、ssRssCTtttssTeTtcctc+=+=)()()1 ()()()()(TtTteTTeTtttctrte=当当 时，时， 常数，跟踪误差等于常数常数，跟踪误差等于常数T T。 t=Tteet)(lim)(T T越小，反应越快，则跟踪误差越小，输出信号滞后输入信号的时越小，反应越快，则跟踪误差越小，输出信号滞后输入信号的时间也越短。间也越短。21)(ssR=T二、二阶系统的数学模型二、二阶系统的数学模型二阶系统的微分方程一般式为：二阶系统的微分方程一般式为：阻尼比无阻尼振荡频率无阻尼振荡频率 n 2222( )( )2( )( )nnnd c tdc tc tr tdtdt+=(0)n

6、)2(2nnss + +)(sR)(sC开环传递函数：开环传递函数：2( )(2)nnG ss s=+222( )( )2nnnC sR sss=+闭环传递函数：闭环传递函数：二阶系统的特征方程为二阶系统的特征方程为2220nnss+=解方程求得特征根解方程求得特征根：当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：12012( )s ts tc tAAeA e=+式中式中 为由为由r(t)r(t)和初始条件确定的待定系数和初始条件确定的待定系数 012,AAAs s1 1,s,s2 2完全取决于完全取决于， n n两个参数。两个参数。21,21nns= 特征

7、根分析特征根分析 （负阻尼）（负阻尼）q此时此时s s1 1,s,s2 2为为一对实部为一对实部为正的共轭复正的共轭复根，位于复根，位于复平面的右半平面的右半部。部。21,21nnsj= 10 特征根分析特征根分析 （负阻尼）（负阻尼）q此时此时s s1 1,s,s2 2为两个正为两个正实根，且实根，且位于复平位于复平面的正实面的正实轴上。轴上。21,21nns= 1 特征根分析特征根分析 （零阻尼）（零阻尼） 此时此时s s1 1,s,s2 2为为一对纯虚根，一对纯虚根，位于虚轴上。位于虚轴上。 S S1,21,2= = j j n n21,21nnnsj= = 0=特征根分析特征根分析 （

8、欠阻尼）（欠阻尼） 此时此时s s1 1,s,s2 2为一对共为一对共轭复根，轭复根，且位于复且位于复平面的左平面的左半部。半部。0121,21nnssj= 特征根分析 （临界阻尼） 此时此时s s1 1,s,s2 2为为一对相等的一对相等的负实根。负实根。 s s1 1=s=s2 2= =- - n n21,21nnns= = 1=特征根分析 （过阻尼） 此时此时s s1 1,s,s2 2为两个负为两个负实根，且实根，且位于复平位于复平面的负实面的负实轴上。轴上。21,21nns= 1拉氏反变换：拉氏反变换：1211211211( )1,(0)/1/1ttTTh teetTTT T= +1

9、1、过阻尼、过阻尼 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应(1)0)1)(1(2s 2122=+=+TsTsnn)1(1,)1(1 2121+=nnTT) 1)(1(1 R(s)C(s) 21+=sTsT板书三、二阶系统的单位阶跃响应 衰减项幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值衰减项幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢；近，衰减速度慢； 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调，但又不同于一阶系统；荡和超调，但又不同于一阶系统； 离虚轴近的

10、极点所决定的分量对响应产生的影响离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。影响小，有时甚至可以忽略不计。1211211211( )1,(0)/1/1ttTTh teetTTT T= +)1(121=nT)1(122+=nTt tc(t)c(t)0 0二阶过阻尼系统二阶过阻尼系统一阶系统响应一阶系统响应1 1二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析0. 2=响应没有振荡0)()(lim. 1= = = = tctretss误差误差st调节时间. 32.2.临界阻尼临界阻尼 二阶系统的单位阶跃响

11、应二阶系统的单位阶跃响应) 1(=22)(C(s) nnss+=)1 (1h(t) tentn+=sssnnn11)( 2+=有重根nnnsss+=1)(1 22at-a)(s ate L +=a3.3.欠阻尼欠阻尼 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应(01)21,21nnsj= dj = =222( )( )2nnnC sR sss=+n=为根的实部的模值；21dn=为阻尼振荡角频率2221( )2nnnc ssss=+22221()()nnndndssss+=+拉氏反变换得：拉氏反变换得：2( )1cos(sin)1ntddc tett= +)sin(1112+=tedtnarc

12、cos12=或arctg)sincos1(11122tteddtn+=22)(cos+=asasteLat21arccos0)0(1)(:)(=振荡滞后角包络线收敛速度，响应特征tnehhthtthncos1 )(, 0 =)sin(111)(2+=tethdtn1C(t)0tsts2111=5t211+tne2111+211tne* *欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析 二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量组成。稳态分量值等于暂态分量组成。稳态分量值等于1 1，暂态分量为，暂态分量为衰减过程，振荡频率为衰减过程，振荡频

13、率为d d。 稳定性（稳定性（ ）21nteA=暂态分量的振幅为：21dn=振荡角频率为：结论：结论：越大，越大，d d越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之，越弱，超调越小，平稳性越好。反之，越小，越小，d d 越大，越大，振荡越严重，平稳性越差。振荡越严重，平稳性越差。当当 0 0时，为零阻尼响应，具有频率为时，为零阻尼响应，具有频率为n n的不衰减的不衰减（等幅）振荡。（等幅）振荡。 准确性准确性从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应稳态误差为零。)sin(111)(

14、2+=tethdtn 快速性快速性从图中看出，对于5误差带，当 时，调节时间最短，即快速性最好。同时，其超调量5，平稳性也较好，故称 为最佳阻尼比。0.707=0.707=16816)(2+=sss例例2 2：二阶系统的闭环传递函数为求 分别为0，0.1，0.2，,1，2时系统的阶跃响应。演示欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标上升时间上升时间 ：令：令 ，则，则( )1rh t=rt0)sin(12=+rdttern, 0, 0112rnte), 2, 1, 0(=+nntrd1)sin(1112=+tedtn所以：所以： 由定义知：由定义知：t tr r为输

15、出响应第一次到达稳态值所需为输出响应第一次到达稳态值所需时间，所以应取时间，所以应取n= =1 1。drt=sin1cos1)(2ttethddtn+=)sin(11)(2+=tethdtn(2)(1)对对(2)式求关于时间的导数，并令其式求关于时间的导数，并令其=0，得：，得：)sin1(cos)(2ttethddtnn+=峰值时间：峰值时间：pttne)cos1sin(2ttdd+d+=)sin1(cos)(2ttethddtnn)cos1sin(2tteddtdn+=tethdtnncos)(tedtnnsin122tedtnncos1122tedtnnsin12+tethdtnnnsi

16、n)11()(222+=0sin12=tedtnn= )(th0sin12=tedtnn), 2, 1, 0(0sin=nnttpdpd取n=1得:21pdnt=0 0超调量：超调量：%将峰值时间将峰值时间 代入下式代入下式/pdt =得: 所以:2/ 1()( )%100%100%( )ph theh=)sin(11)(2+=tethdtn)sin(11)(212+=ddpnneth)sin(11212+=e211+=e21调节时间调节时间st%)sin(12+sdttesn%)()()(hhths1C(t)0tsts2111=5t211+tne2111+211tne05. 01112snt

17、ennst5 . 31ln05. 0ln2=t)(th)(pth1ptst误差带误差带0例例3 3 位置随动系统结构图如图所示，当给定输入为位置随动系统结构图如图所示，当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益单位阶跃时，试计算放大器增益K KA A200200，15001500，13.513.5时，输出响应的性能指标：峰值时间时，输出响应的性能指标：峰值时间t tp p，调，调节时间节时间t ts s和超调量和超调量。)5 .34(5+ +ssKARC输入：单位阶跃输入：单位阶跃)(1)(ttr = =ssR1)(= =系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：AAKssKs55 .345)(2+ + += = (1)(1)当当K KA A 200200时时10005 .341000)(2+ + += =sss 与标准的二阶系统传递函数对照得：与标准的二阶系统传递函数对照得：34.50.5452n=20.121pdnt=峰值时间：秒2113%e=超调量： sradn/6 .311000 =stns1