广东省广州市学大教育技术有限公司佛山分公司高中数学《第一章 解三角形》基础知识和经典例题详解 新人教A版必修5

1、学大教育广州技术佛山分公司高中数学必修5第一章 解三角形基础知识和经典例题详解1、正弦定理：在中，、分别为角、的对边，为的外接圆的半径，则有2、正弦定理的变形公式： = 1 * GB3 ，； = 2 * GB3 ，； = 3 * GB3 ； = 4 * GB3 3、三角形面积公式：4、余弦定理：在中，有，5、余弦定理的推论：，6、简单的判断三角形设、是的角、的对边，则： = 1 * GB3 若，则； = 2 * GB3 若，则； = 3 * GB3 若，则7解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素

2、还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.8三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在ABC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，

3、统一成边的形式或角的形式.9.讨论三角形解的情况分析：先由可进一步求出B；则从而1当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。2当A为锐角时，如果，那么只有一解；如果，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若，则有两解；（2）若，则只有一解；（3）若，则无解。（以上解答过程详见课本第910页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。随堂练习1（1）在ABC中，已知，试判断此三角形的解的情况。（2）在ABC中，若，则符合题意的b的值有_个。（3）在ABC中，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。（答案：（1）

4、有两解；（2）0；（3）二、典例解析题型1：正、余弦定理例1（1）在中，已知，cm，解三角形；解析：（1）根据三角形内角和定理，；根据正弦定理， ；根据正弦定理，（2）在中，已知cm，cm，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。根据正弦定理，因为，所以，或当时， ，当时， ，点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器例2（1）在ABC中，已知，求b及A；解析：（1）=COS=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又，即（2）在ABC中，已知，解三角形解析：由余弦定理的推论得：

5、cos；cos；点评：应用正弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。* 2010年高考题的三个内角满足，则（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得，所以角C为钝角（2010湖南文数）ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C=120，c=a，则A.ab B.abC. ab 【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题（2010天津理数）（7）在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则A=（A） （

6、B） （C） （D）【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由由正弦定理得，所以cosA=，所以A=300【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。（2010湖北理数）3.在中，a=15,b=10,A=60，则=A B C D 3【答案】D【解析】根据正弦定理可得解得，又因为，则，故B为锐角，所以，故D正确.（2010山东理数）（2010广东理数）11.已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .解：由A+C=2B及A+ B+ C=180知，B =60由正弦定理知

7、，即由知，则，题型2：三角形面积例3在中，求的值和的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。 又, , 。 解法二：由计算它的对偶关系式的值。 = 1 * GB3 , = 2 * GB3 = 1 * GB3 + = 2 * GB3 得。 = 1 * GB3 = 2 * GB3 得。从而。以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？例4（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ， 的取值范围为 . 解析 设由正弦定理得由锐角得，又，故，例5（2009全国卷理）在中，内角A、B

8、、C的对边长分别为、，已知，且 求b 分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法：在中则由正弦定理及余弦定理有:（角化边） 化简并整理得：.又由已知.解得. 题型3：三角形中的三角恒等变换问题例6在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值。分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求A，需找A与三边的关系，故可用余弦定理

9、。由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值。解法一：a、b、c成等比数列，b2=ac。又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。在ABC中，由余弦定理得：cosA=，A=60。在ABC中，由正弦定理得sinB=，b2=ac，A=60，=sin60=。解法二：在ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB。b2=ac，A=60，bcsinA=b2sinB。=sinA=。评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。例7在ABC中，已知A、B、C成等差数列，求的值。解析：因为A、B、C成等差数列，又ABC180，所以AC120，从而60，故tan

10、.由两角和的正切公式，得。所以。点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。题型4：正、余弦定理判断三角形形状例8在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（ ）答案：C解析：2sinAcosBsinC =sin（AB）=sinAcosB+cosAsinBsin（AB）0，AB另解：角化边点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径例9（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。 解（I）为锐角， , （II）由（

11、I）知， 由得，即又 题型5：正余弦定理的实际应用例10（2009辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到，1.414，2.449） 解:在ABC中，DAC=30, ADC=60DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， 在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距离约为。 点评：解三角形等内容提

12、到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。* 2010年高考题（2010陕西文数）17.（本小题满分12分）在ABC中，已知B=45,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.解在ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos=,ADC=120, ADB=60在ABD中，AD=10, B=45, ADB=60，由正弦定理得,AB=.（2010辽宁文数）（17）（本小题满分12分）在中，分别为内角的对边，且（）求的大小；（

13、）若，试判断的形状.解：（）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故 （）由（）得又，得因为，故所以是等腰的钝角三角形。（2010辽宁理数）（17）（本小题满分12分） 在ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （）求A的大小；（）求的最大值.解：（）由已知，根据正弦定理得即 由余弦定理得 故 ，A=120 6分（）由（）得： 故当B=30时，sinB+sinC取得最大值1。 三、思维总结1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C