第18讲 二阶电路

1、12第七章第七章 二阶电路二阶电路7-1 LC电路中的正弦振荡电路中的正弦振荡7-2 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应7-3 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应7-4 GCL并联电路的分析并联电路的分析3l1、了解二阶电路的基本概念；、了解二阶电路的基本概念； l2、了解二阶电路的一般分析方法。、了解二阶电路的一般分析方法。重点重点 RLC串联串联二阶电路的全响应二阶电路的全响应难点难点 微分方程求解微分方程求解4第七章第七章 二阶电路二阶电路二阶电路：用二阶微分方程描述的电路。二阶电路：用二阶微分方程描述的电路。二阶电路的特点：电路中的元件除电阻外，一般含二阶电路的特点：电

2、路中的元件除电阻外，一般含有二个电感或电容或各一个电感和电容。有二个电感或电容或各一个电感和电容。分析二阶电路的方法：首先建立描述电路的二阶分析二阶电路的方法：首先建立描述电路的二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。所以，必要的数学基础是必不可少的。所以，必要的数学基础是必不可少的。57.1 LC振荡电路振荡电路1、LC振荡回路的电量振荡回路的电量CLLCudtdiidtdu 根据图中的参考根据图中的参考方向，容易得出：方向，容易得出： 根据正弦函数、余弦函根据正弦函数、余弦函数的求导公式及电路的数的求导公式及电路的初始值，不难得出：初始值

3、，不难得出：LCLC振荡回路振荡回路ttittuLCsin)(cos)( 结论：具有初始储能的无损耗结论：具有初始储能的无损耗LC电路，将产生按电路，将产生按正弦方式变化的等幅振荡。正弦方式变化的等幅振荡。62、LC振荡回路的能量振荡回路的能量) J (21)cos(sin21)(21)(21)(2222tttCutLitw LC回路的总瞬时储能回路的总瞬时储能 结论：无损耗结论：无损耗LC回路所储存的能量，将以磁场和电回路所储存的能量，将以磁场和电场的形式在电感和电容之间相互交换，永不消失。场的形式在电感和电容之间相互交换，永不消失。LCLC振荡回路振荡回路) J (21210)0(21)0

4、(21)0(22CuLiw LC回路的初始储能回路的初始储能77.2 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应7.2.1 RLC串联电路的数学描述串联电路的数学描述KVL方程方程 元件元件VCR 代入后变换得：代入后变换得： )()()()(SCLRtutututu2c2LcRcCLdddd)( dd)()(dd)()()(tuLCtiLtutuRCtRitutuCtititi)(ddddSCC2C2tuutuRCtuLC8这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。为了得到这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。为了得到电路的零输入响应，令电路的零输入响应，令uS(t)=0，得二阶齐次微分方程

5、，得二阶齐次微分方程 0ddddCC2C2utuRCtuLC其特征方程为其特征方程为 012 RCsLCs由此解得特征根由此解得特征根 LCLRLRs122221 ，)(ddddSCC2C2tuutuRCtuLC9特征根决定电路的响应特点，其实部决定特征根决定电路的响应特点，其实部决定电路能量衰减的快慢，虚部决定电路振荡电路能量衰减的快慢，虚部决定电路振荡的频率。的频率。CLR2 1 时，时，s1,s2为不相等的负实根。为不相等的负实根。 2 时，时，s1,s2 为共轭复数根。为共轭复数根。 CLR2 3 时，时，s1,s2 为相等的负实根。为相等的负实根。 CLR2 当电路元件参数当电路元件

6、参数R,L,C的量值不同时，特征的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况：根可能出现以下三种情况： 101、当两个特征根为不相等的实数根时，称电、当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；路是过阻尼的；3、当两个特征根为相等的实数根时，称电路、当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的。是临界阻尼的。2、当两个特征根为共轭复数根时，称电路是、当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的；欠阻尼的；令令 ， CLRd2由于由于Rd 具有电阻的量纲，是阻尼状态的分具有电阻的量纲，是阻尼状态的分界标准，故称为阻尼电阻。界标准，故称为阻尼电阻。117.2.2 RLC串联电路的零输入响应串

7、联电路的零输入响应1、过阻尼响应、过阻尼响应条件：条件： 电路的固有频率电路的固有频率s1, s2不相同的实数，齐次微分方程不相同的实数，齐次微分方程的解为：的解为： tstsAAtu21ee)(21C式中的常数式中的常数A1，A2由初始条件确定。令上式中的由初始条件确定。令上式中的t=0+得得 21C)0(AAu对对uC(t)求导，再令求导，再令t=0+得得 CisAsAttut)0(d)(dL22110CCLR2 12联立求解，可得联立求解，可得: )0()0(1LC2121CiusssA将将A1，A2代入代入uC(t)得到电容电压的零输得到电容电压的零输入响应，再利用入响应，再利用KCL

8、方程和电容的方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。可以得到电感电流的零输入响应。 CiusssA)0()0(1LC121213 -)(2112011202tstsCessUsessUstu当当uC(0+)=U0 ,iL (0+)= 0时时 )-()(d)(d)(21120tstsCeessLUttuCti )s-(dd)(2121120tstsLeesssUtiLtut 014例例1 已知已知R=3 ,L=0.5H, C=0.25F, uC(0+)=2V,iL(0+)=1A，求，求uC(t)和和iL(t)的零的零输入响应。输入响应。 42138331222221LCLRLRs，)0(

9、ee)(4221CtKKtutt则有：则有：解：由解：由R,L,C的值，计算出特征根的值，计算出特征根15利用初始值利用初始值uC(0+)=2V和和iL(0+)=1A，得，得 ：4)0(42d)(d2)0( L210C21CCiKKttuKKut解得解得:K1=6和和K2=-4最后得到电路的零输入响应为最后得到电路的零输入响应为 )0(V)e4e6()(42Cttutt)0(Ae4e3dd)()(42CCLttuCtititt16过阻尼响应曲线（波形图）过阻尼响应曲线（波形图）uC20tiL10t17从波形可看出，在从波形可看出，在t0以后，电感电以后，电感电流减少，电感放出它储存的磁场能流减

10、少，电感放出它储存的磁场能量，一部分为电阻消耗，另一部分量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为电场能，使电容电压增加。转变为电场能，使电容电压增加。到电感电流变为零时，电容电压达到电感电流变为零时，电容电压达到最大值，此时电感放出全部磁场到最大值，此时电感放出全部磁场能。以后，电容放出电场能量，一能。以后，电容放出电场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为部分为电阻消耗，另一部分转变为磁场能。到电感电流达到负的最大磁场能。到电感电流达到负的最大值后，电感和电容均放出能量供给值后，电感和电容均放出能量供给电阻消耗，直到电阻将电容和电感电阻消耗，直到电阻将电容和电感的初始储能全部消耗完为止。的初始储

11、能全部消耗完为止。 物理过程物理过程uC20tiL10t182、临界阻尼响应、临界阻尼响应条件条件 固有频率固有频率s1, s2相同的实数相同的实数s1=s2=- 。齐次解。齐次解 tttKKtuee)(21C式中常数式中常数K1, K2由初始条件由初始条件iL(0+)和和uC(0+) 确定。确定。1C)0(Ku对对uC(t)求导，再令求导，再令t=0+,得到得到 CiKKttut)0(d)(dL210C联立求解以上两个方程，可以得到联立求解以上两个方程，可以得到 CLR2 令令t=0+得到得到 19)0()0( )0(CL2C1uCiKuK代入代入uC(t)表达式，得到电容电压的零输入响应，

12、再表达式，得到电容电压的零输入响应，再利用利用KCL方程和电容的方程和电容的VCR可以得到电感电流的零可以得到电感电流的零输入响应。输入响应。 0t)1 ()(0 tCetUtu当当uC C(0(0+ +)=)=U0 0 , ,iL L (0(0+ +)=)= 0 0时时 L-d)(d)(002ttCteUteCUttuCti 0t) 1(dd)(0 tLetUtiLtu20例例2 已知已知R=1 ,L=0.25H,C=1F, uC(0+)=-1V,iL(0+)=0，求，求电容电压和电感电流。电容电压和电感电流。 22024221222221LCLRLRs，)0(ee)(2221CttKKtu

13、tt利用初始值，得利用初始值，得则有：则有：0)0(2d)(d1)0( L210C1CCiKKttuKut解：先求特征根解：先求特征根21求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1=-1和和K2=-2。)0(V)e2e()(22Ctttutt电感的电流为：电感的电流为： )0(Ae4 )e4e2e2(dd)()(2222CCLttttuCtititttt电容的电压为：电容的电压为：22临界阻尼响应曲线临界阻尼响应曲线iL0t物理过程：物理过程：电感初始储能为电感初始储能为0，电容放电，一部分，电容放电，一部分能量变成磁场能量，另一部分被电阻消耗；电感储能能量变成磁场能量，另一部分被电

14、阻消耗；电感储能达到最大值后，电容、电感都释放能量，这些能量全达到最大值后，电容、电感都释放能量，这些能量全部消耗到电阻上，直至耗尽。部消耗到电阻上，直至耗尽。uC-10t233、欠阻尼响应、欠阻尼响应条件条件 特征根特征根s1,s2为两个共轭复数根，即：为两个共轭复数根，即： CLR2 d20 jj1222221 LCLRLRs，其中其中 称称为为衰衰减减谐谐振振角角频频率率称称为为谐谐振振角角频频率率称称为为衰衰减减系系数数2200 1 2 dLCLR24齐次微分方程的解为：齐次微分方程的解为：(用欧拉公式用欧拉公式) )cos(e)sincos(e)(dd2d1CtKtKtKtutt式中

15、式中 122221KKarctgKKK 由初始条件由初始条件iL(0+)和和uC(0+)确定常数确定常数K1,K2后，后，可以得到电容电压的表达式，再利用可以得到电容电压的表达式，再利用KCL和和VCR方程，可以得到电感电流的表达式。方程，可以得到电感电流的表达式。 25例例3已知已知R=6 ,L=1H, C=0.04F, uC(0+)=3V, iL(0+)=0.28A，求电容电压和电感电流的零，求电容电压和电感电流的零输入响应。输入响应。j4353312222221LCLRLRs，于是有于是有 )0()4sin4cos(e)(213CttKtKtut利用初始值利用初始值uC(0+)=3V和和

16、iL(0+)=0.28A得得: 解：先求特征根解：先求特征根7)0(43d)(d3)0( L210C1CCiKKttuKut26解得解得 K1=3和和K2=4。)0( V)1 .534cos(e5)4sin44cos3(e)(33Ctttttutt电容电压和电感电流的表达式分别为：电容电压和电感电流的表达式分别为： )0( A )74.734cos(e)4sin244cos7(e04. 0dd)(33CLtttttuCtitt27(a) =3的电容电压波形的电容电压波形 (b) =3的电感波形的电感波形(c) =0.5的电容电压的波形的电容电压的波形 (d) =0.5的电感电流的波形的电感电流

17、的波形欠阻尼波形欠阻尼波形图图28物理过程物理过程 ：欠阻尼情况的特点欠阻尼情况的特点是能量在电容与电是能量在电容与电感之间交换，形成感之间交换，形成衰减振荡。电阻越衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗小，单位时间消耗能量越少，曲线衰能量越少，曲线衰减越慢。减越慢。本例中，当电阻由本例中，当电阻由R=6减小到减小到R =1，衰减系数由，衰减系数由3变为变为0.5时，可以看出电容电压和电感电流的波形时，可以看出电容电压和电感电流的波形曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅为零时，电容电压和电感电流将形成无衰

18、减的等幅振荡。振荡。 29例例4 已知已知R =0,L=1H, C=0.04F, uC(0+)=3V, iL(0+)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。求电容电压和电感电流的零输入响应。j551222221 LCLRLRs，则：则： )0()5sin5cos()(21CttKtKtu利用初始条件得：利用初始条件得： 7)0(5d)(d3)0( L20C1CCiKttuKut解：先求特征根：解：先求特征根： 30解得：解得：K1 1=3=3和和K2 2=1.4=1.4，得电容电压和电感，得电容电压和电感电流的零输入响应电流的零输入响应 )0(A)655cos(66. 0)5cos75

19、sin15(04. 0dd)()0(V)255cos(31. 3)5sin4 . 15cos3()(CLCtttttvCtitttttu波形图波形图 31 当电阻为0时，由于电路中没有损耗，能量在由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成等电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡。振幅振荡。物理过程物理过程 电容电压和电感电流的相位差为电容电压和电感电流的相位差为90 ，当电容电，当电容电压为零时，电场储能为零，此时电感电流达到最大压为零时，电场储能为零，此时电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零时值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零

20、时，磁场储能为零，此时电容电压达到最大值，全部，磁场储能为零，此时电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。能量储存于电场中。 32RLC二阶电路的零输入响应一揽二阶电路的零输入响应一揽331.过阻尼情况，过阻尼情况，s1和和s2是不相等的负实数，响应按指是不相等的负实数，响应按指数规律衰减。数规律衰减。2.临界阻尼情况，临界阻尼情况，s1=s2是相等的负实数，响应按指数是相等的负实数，响应按指数规律衰减。规律衰减。3.欠阻尼情况，欠阻尼情况，s1和和s2是共轭复数，响应是振幅随时是共轭复数，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减

21、，衰减系数，衰减系数 越大，衰减越快。衰减振荡的角频率越大，衰减越快。衰减振荡的角频率 d 越大，振荡周期越小，振荡越快。图中按越大，振荡周期越小，振荡越快。图中按Ke- t画出的画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。4.无阻尼情况，无阻尼情况，s1和和s2是共轭虚数，是共轭虚数， =0，振幅不再衰，振幅不再衰减，形成角频率为减，形成角频率为 0的等幅振荡。的等幅振荡。可以推断，当特征根的实部为正时，响应的振幅将随可以推断，当特征根的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的。也就是说，只有当特征时间增加，电路是不稳定的。也就是说，只有当

22、特征根具有负实部时，电路才是稳定的。根具有负实部时，电路才是稳定的。 347.3 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应1、直流激励的、直流激励的RLC串联电路串联电路 对于直流激励的对于直流激励的RLC串联电串联电路，当路，当uS(t)=US时，可以利用时，可以利用初始条件初始条件uC(0+)=U0和和iL(0+)=I0来求解以下非齐次微分方程来求解以下非齐次微分方程,从而得到全响应。从而得到全响应。 )0(ddddSCC2C2tUutuRCtuLC电路的微分方程：电路的微分方程：352、 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应 全响应由对应齐次微分方程的通解与微分全响应由对应齐次微分方程的

23、通解与微分方程的特解之和组成方程的特解之和组成 )()()(CpChCtututu电路的特征根为电路的特征根为 LCLRLRs122221 ，当当s1 s2时，对应齐次微分方程的通解为时，对应齐次微分方程的通解为 tstsKKtu21ee)(21Ch特解为特解为 SCp)(Utu36全响应为全响应为 利用初始条件，可以得到利用初始条件，可以得到联立求解，得到常数联立求解，得到常数K1和和K2后，就可得到后，就可得到电容电压的全响应，再利用电容电压的全响应，再利用KCL和电容元和电容元件件VCR可以求得电感电流的全响应。可以求得电感电流的全响应。StstsUKKtututu21ee)()()(21CpChCCisKsKtdudUKKuLCSC)0()0()0(22112137类似地，当类似地，当s1=s2时，全响应为时，全响应为 StstsCUteKeKtu1121)(CiKsKtdudUKuLCSC)0()0()0(2111求两个待定系数的方法也类似：求两个待定系数的方法也类似： 于是，电容电压确定。再根据元件的于是，电容电压确定。再根据元件的VCR或或KVL，计算其它响应。计算其它响应。 38类