第二节 偏导数

1、第二节第二节 偏导数偏导数一、偏导数的定义及其计算一、偏导数的定义及其计算二、高阶偏导数二、高阶偏导数 设设z = f (x, y)在在U(x0, y0)有定义，给有定义，给x0以增以增量量 x, 且使且使(x0+ x, y0) U(x0, y0)，称称),(),(0000yxfyyxfzy ),(),(0000yxfyxxfzx 为为 f (x, y)在点在点(x0, y0)处关于处关于x的偏增量的偏增量. 为为 f (x, y)在点在点(x0, y0)处关于处关于y的偏增量的偏增量.类似地称类似地称一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法1. 定义定义设函数设函数),(yxfz

2、 在点在点),(00yx的某一邻域内有的某一邻域内有定义，当定义，当 y固定在固定在0y而而 x 在在 0 x处有增量处有增量 x 时，相应地函数有增量时，相应地函数有增量 ),(),(0000yxfyxxf ， 如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，则称存在，则称此极限为函数此极限为函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对 x的偏导数，记为的偏导数，记为 ,00yyxxxz ,00yyxxxf 或或00yyxxxz ),(00yxfx),(00yxfx x,yxf )(00定义定义同理可定义同理可定义函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对 y

3、 的偏的偏导数，导数， 为为 yyxfyyxfy ),(),(lim00000 由定义知由定义知y,yxf )(00记为记为,00yyxxyz ,00yyxxyf 00yyxxyz ),( 00yxfy或或如果函数如果函数),(yxfz 在区域在区域D内任一点内任一点),(yx处对处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数的偏导数都存在，那么这个偏导数就是就是x、y的函数，它就称为函数的函数，它就称为函数),(yxfz 对对自变量自变量x的偏导数，的偏导数， 记作记作xz ，xf ，xz或或),(yxfx. 同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的偏导的偏导数，记作数，记

4、作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 求求(1) 223yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 例例1.)2 (12sin) ,( )2(3处的偏导数处的偏导数，在点在点求求 yxyxf

5、解：解：yxyfyxxf2cos2,2sin332 02sin3212)2, 1( yxyxxf22cos2213)2, 1( yxyxyf设设yxz )1, 0( xx，求求证证 zyzxxzyx2ln1 .证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立例例2. 222的偏导数的偏导数求求zyxu 解：解：22222zyxxxu 222zyxx 同理同理，222zyxyyu 222zyxzzu 例例3已已知知理理想想气气体体的的状状态态方方程程RTpV （R为为常常数数） ，求求证证：1 pTTVVp.证

6、证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 例例4偏导数偏导数xu 是一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分;).0, 0(),0, 0(,),( . 5yxffxyyxfz求求设设例例 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：1. 3.求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 2. 偏导数的计算关键在于：分清变量与常量，偏导数的计算关键在于：分清变量与常量，其本质是一元函数的导数。其本质是一元函数

7、的导数。偏导数存在偏导数存在 连续连续.函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在依定义知在)0 , 0(处，处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.2. 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，例例63. 偏导数的几何意义偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图 tan),(00 xyxf tan),(00 yyxfT2xyz

8、x0y0T1 1 2 M00P0 偏导数偏导数),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处的切线处的切线xTM0对对x轴的轴的斜率斜率. 偏导数偏导数),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处的切线处的切线yTM0对对y轴的轴的斜率斜率.几何意义几何意义:),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高

9、阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.二、高阶偏导数二、高阶偏导数同样可得同样可得n阶偏导数阶偏导数(n=3, 4,)设设13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx例例7原函数图形原函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏二阶混合偏导函数图形导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导

10、函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：例例8 求求.arctan 的二阶偏导数的二阶偏导数xyz 解：解：2222)()(11yxyxyxyxz 2222222)(2)(yxyyxyxz ,)(222222yxxyxz 22222)(yxxy 2222222)(2)(yxxyxxyz 22222)(2yxxyyz 2221)(11yxxxxyyz ，22222)(yxxy 设设byeuaxcos ，求求二二阶阶偏偏导导数数.解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .s

11、in2byabexyuax 例例9 0, 0 0,),( 22222222yxyxyxyxxyyxf设函数设函数)0 , 0(),0 , 0(yxxyff求求解解 0, 0 0,4),(22222222244yxyxyxyxyxyyxfx 0, 0 0,4),(22222222244yxyxyxyxyxxyxfy例例10yfyfxxy )0 , 0(), 0(lim0 )0 , 0(xyf1lim440 yyyyyxfxfyyx )0 , 0()0 ,(lim0 )0 , 0(yxf1lim440 xxxxx )0 , 0(xyf)0 , 0(yxf问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？验证函数验证函数22ln),(yxyxu 满足拉满足拉普拉斯方程普拉斯方程. 02222 yuxu例例11解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限） 纯偏导纯