组合与组合数公式2

1、组合与组合数公式（二）98100210242322)2(1CCCCC）（计算：!) 1()2)(1( mmnnnnPPCmmmnmn! )( ! mnmnCmn一、组合的定义二、组合数公式复习例.11CmnmCmnmn:求证,! :）（！证明mnmnCmn)!1()!1(! 111mnmnmnmmnmCmn)!1)(! )!1(1mnmnnmm.! )( !Cmnmnmn 写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有组合。aabc ， abd ， acd ， bcd .bcddbccdabc abd acd bcd d c b a434C414C34434 CC 从从4个不

2、同元素中每次取出个不同元素中每次取出3个的一个组合，个的一个组合，和剩下的（和剩下的（4-3）个元素的组合是一一对应的。）个元素的组合是一一对应的。推广推广: 从从 n个不同元素中取出个不同元素中取出 m个元素的每个元素的每一个组合，与剩下的一个组合，与剩下的n-m个元素的每一个个元素的每一个组合一一对应，所以从组合一一对应，所以从 n个不同元素中取个不同元素中取出出 m个元素的组合数，等于从这个元素的组合数，等于从这n 个元素个元素中取出中取出n-m 个元素的组合数，即个元素的组合数，即 ccmnnmn组合数的两个性质.1CCmnnmn : 定理,! :）（！证明mnmnCmn! ! )(

3、）（！mnnmnnCmnn! )( ! mnmn！.CCmnnmn 3、性质1的应用(1)当m 时，利用这个公式，可使 的计算简化2ncmn如：如：3621892979979ccc49502199100210098100cc（2）当）当m=n时时, 有有 所以规定所以规定10ccnnn10cn1、（课本、（课本101例例4）一个口袋内装有大小相同的）一个口袋内装有大小相同的7个白球和个白球和1个黑球个黑球 从口袋内取出从口袋内取出3个球，共有多少种取法？个球，共有多少种取法？ 从口袋内取出从口袋内取出3个球，使其中含有个球，使其中含有1 1个黑球，个黑球，有多少种取法？有多少种取法？ 从口袋内

4、取出从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有个球，使其中不含黑球，有多少种取法？多少种取法？5638C 2127C 3537C解：解：（1） 性质性质2 我们可以这样解释：我们可以这样解释：从口袋内的从口袋内的8个球中所取出的个球中所取出的3个球，可以分为个球，可以分为两类：一类两类：一类含有含有1个个黑球，一类不含黑球，一类不含有黑球因此根据分类计数原理，有黑球因此根据分类计数原理，上述等式成立上述等式成立 我们发现：我们发现：38C27C37C为什么呢为什么呢到一个怎样的公式？）从上面的结果可以得（的？个是不含有）在这些组合里有多少（的？个是含有）在这些组合里有多少（组合？）可以有多少个不同

5、的（个元素。每次取出个不同元素中，这从43211,111321aamnaaaan推广推广:从从 这这n+1个不同个不同的元素中，取出的元素中，取出m个元素的组合数个元素的组合数 ，这些组合，这些组合可以分成两类：一类含可以分成两类：一类含 ，一类不含，一类不含 。含。含 的组的组合是从合是从 这这n个不同元素中取出个不同元素中取出m-1个个元素的组合数为元素的组合数为 ；不含；不含 的组合是从的组合是从 这这n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m个元素的组合数为个元素的组合数为 ，再由加法原理，得再由加法原理，得aaan121,a1a1a1aaan132,cmn1a1aaan 132,cmn

6、cmn1cccmnmnmn11性质性质2.211CCCmnmnmn : 定理CCmnmn1 :证明)!1()!1(!)!( !mnmnmnmn)!1( !) 1( !mnmmnmnn)!1( !)1(mnmnmmn!) 1(!)!1(mnmn.1Cmn 注:1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用cccmnmnmn11例计算：;198200)1( C;299399)2(CC .2283938)3( CCC)1990012199200(2

7、200 C16170012398991003100 C563828283838)(2CCCCC;11111)1( CCCCmnmnmnmn.21211)2( CCCCmnmnmnmn例2 求证:.111111)1(CCCCCCmnmnmnmnmnmn 证明:.)()(2121111111)2( CCCCCCCCCCmnmnmnmnmnmnmnmnmnmn 计算：计算：69584737CCCC 求证：求证：nmC2nmC+12nmC+2nmC 解方程：解方程：3213113xxCC 解方程：解方程：333222101xxxxxACC 计算：计算：554535251505CCCCCC 推广：推广：

8、nnnnnnnnCCCCC21210 练习:例3平面内有12个点，任何3点不在同一直线上,以每3点为顶点画一个三角形,一共可画多少个三角形?220123101112312 C答:一共可画220个三角形.思考交流1. 从9名学生中选出3人做值日,有多少种不同的选法?2. 有5 本不同的书,某人要从中借2本,有多少种不同的借法?)84123789(39 C)101245(25 C例4有13个队参加篮球赛,比赛时先分成两组,第一组7个队,第二组6个队.各组都进行单循环赛(即每队都要与本组其它各队比赛一场),然后由各组的前两名共4个队进行单循环赛决出冠军、亚军,共需要比赛多少场?)4261521242627(CCC 例5 在产品检验时,