高等代数(第三版)82

1、一、一、 矩阵的初等变换矩阵的初等变换三、三、 等价等价 矩阵矩阵 二、二、 矩阵的初等矩阵矩阵的初等矩阵四、四、 矩阵的对角化矩阵的对角化 矩阵的矩阵的初等变换初等变换是指下面三种变换是指下面三种变换: 矩阵两行矩阵两行（列）（列）互换位置互换位置； 矩阵的某一行（列）乘以非零常数矩阵的某一行（列）乘以非零常数 c ；是一个多项式是一个多项式.( ) 矩阵的某一行矩阵的某一行（列）（列）加另一行加另一行（列）（列）的的 倍倍， ( ) 一、一、 矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义定义：代表第代表第 行乘以非零数行乘以非零数 c ； ( )i ci( ( )ij 代表把第代表把第 行行( (列列

2、) )的的 倍加到第倍加到第j( ) i为了书写的方便为了书写的方便，我们采用以下记号我们采用以下记号代表代表 两行两行( (列列) )互换；互换； , i j, i j注：注：行行( (列列).).将单位矩阵进行一次将单位矩阵进行一次矩阵的初等变换所得的矩阵的初等变换所得的 矩阵称为矩阵称为 矩阵的矩阵的初等矩阵初等矩阵. 二、二、 矩阵的初等矩阵矩阵的初等矩阵定义定义：注：注： 全部初等矩阵有三类：全部初等矩阵有三类：i行行 j行行 11011011 ( , )P i j 11( )( , ( ( )11p i j i 行行 j行行 11( ( )11p i cc i 行行 初等矩阵皆可逆

3、初等矩阵皆可逆. 1( , )( , )p i jp i j 11( ( )( ( )cp i cp i 1( , ( ( )( , ( )p i jp i j 对一个对一个 的的 矩阵矩阵 作一次初等行变换作一次初等行变换 sn ( )A 就相当于在就相当于在 在的左边乘上相应的在的左边乘上相应的 的初等矩的初等矩 ( )A ss 阵；对阵；对 作一次初等列变换就相当于在作一次初等列变换就相当于在 的右的右( )A ( )A 边乘上相应的边乘上相应的 的初等矩阵的初等矩阵.nn 为矩阵为矩阵 ，则称，则称 与与 等价等价.( )B ( )B ( )A 矩阵矩阵 若能经过一系列初等变换化若能经

4、过一系列初等变换化 ( )A 1) 矩阵的等价关系具有矩阵的等价关系具有: 反身性反身性: 与自身等价与自身等价. ( )A 对称性对称性: 与与 等价等价 与与 等价等价. ( )A ( )A ( )B ( )B 传递性传递性: 与与 等价等价, , 与与 等价等价( )A ( )B ( )B ( )C 与与 等价等价.( )A ( )C 三、等价三、等价 矩阵矩阵定义定义：性质性质：2) 与与 等价等价 存在一系列初等矩阵存在一系列初等矩阵 ( )A ( )B 11,StPP QQ使使11( )( ).StAPP BQQ 1.（引理）引理）设设 矩阵矩阵 的左上角元素的左上角元素 ( )A

5、 11( )0,a 且且 中至少有一个元素不能被它整除中至少有一个元素不能被它整除，那么一定那么一定( )A 可以找到一个与可以找到一个与 等价的矩阵等价的矩阵 ，它的左上它的左上( )A ( )B 角元素角元素 ，且且 . 11( )0b 1111( )( )ba 四、四、 矩阵的对角化矩阵的对角化证：根据证：根据 中不能被中不能被 除尽的元素所在的除尽的元素所在的( )A 11( )a 位置，分三种情形来讨论位置，分三种情形来讨论:i) 若在若在 的第一列中有一个元素的第一列中有一个元素 不能被不能被 ( )A 1( )ia 11( )a 除尽除尽，其中余式其中余式 ，且且 11( )(

6、)r xa ( )0r 对对 作下列初等行变换作下列初等行变换:( )A 11111( )( )( )1( )( )( )iaaAiqar 111( )( ) ( )( ),iaaqr则有则有 1, 11( )( ).( )irBa ( )B 的左上角元素的左上角元素 符合引理的要求符合引理的要求，( )r ( )B 故故 为所求的矩阵为所求的矩阵.ii) 在在 的第一行中有一个元素的第一行中有一个元素 不能被不能被 ( )A 1( )ia 11( )a 除尽除尽，这种情况的证明这种情况的证明i)与类似与类似.iii) 的第一行与第一列中的元素都可以被的第一行与第一列中的元素都可以被 ( )A

7、 11( )a 除尽除尽，但但 中有另一个元素中有另一个元素 ( )A ( ) (1,1)ijaij 被被 除尽除尽. 11( )a 对对 作下述初等行变换作下述初等行变换:( )A 1111( )( )( )( )( )jiijaaAaa 1111( )( )0.( )( ) ( ) .jijjaaaa 111( )( ) ( ).iaa 我们设我们设 1( )i 1111( )( )(1( )( )0( )( ) ( )ijjijjaaaaa 1( )A 矩阵矩阵 的第一行中的第一行中，有一个元素：有一个元素： 1( )A 1( )(1( )( )ijjaa 不能被左上角元素不能被左上角元

8、素 除尽除尽，转为情形，转为情形 ii) .11( )a 证毕证毕. 1i 2.（定理定理2）任意一个非零的任意一个非零的 的的 一矩阵一矩阵sn ( )A 都等价于下列形式的矩阵都等价于下列形式的矩阵 12( )( )( )00rddd 其中其中 1,( ) (1,2, )irdir 是首项系数为是首项系数为1的的多项式多项式，且且1( )( ) (1,2,1).iiddir 称之称之为为的的标准标准形形.( )A 证证: 经行列调动之后经行列调动之后，可使可使 的左上角元素的左上角元素( )A 11( )0a , ,若若 不能除尽不能除尽 的全部元素，的全部元素， 11( )a ( )A

9、由引理，可以找到与由引理，可以找到与 等价的等价的 ，且，且 ( )A 1( )B 由引理，又可以找到与由引理，又可以找到与 等价的等价的 ，且，且1( )B 2( )B 如此下去，将得到一系列彼此等价的如此下去，将得到一系列彼此等价的 矩阵：矩阵：左上角元素左上角元素 ，1( )0b 111( )( ) .ba 1( )B 若若 还不能除尽还不能除尽 的全部元素，的全部元素，1( )B 1( )b 左上角元素左上角元素 ， 21( )( ) .bb 2( )B 2( )0b 但次数是非负整数但次数是非负整数，不可能无止境地降低不可能无止境地降低. 因此在有限步以后因此在有限步以后，将终止于一

10、个将终止于一个 矩阵矩阵( )sB 它的左上角元素它的左上角元素 ，而且可以除尽而且可以除尽 ( )0sb ( )sB 的全部元素的全部元素 即即( ),ijb ( )( )( ),1,2, ;1,2, .ijsijbbqjisjn对对 作初等变换作初等变换:( )sB 12( ),( ),( ),.ABB 它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低. 213121132 1(),3 1(),2 1(),3 1(),1( )000( )( )0sqqqqbBA 中中的的全部元素都是可以被全部元素都是可以被 除尽的，除尽的，1( )A ( )sb 因为它们都

11、是因为它们都是 中元素的组合中元素的组合. ( )sB 如果如果 ，则对于则对于 可以重复上述过程可以重复上述过程， 1( )0A 1( )A 进而把矩阵化成进而把矩阵化成 122( )000( ),00( )00ddA 其中其中 与与 都是首都是首1多项式多项式(与与 1( )d 2( )d 1( )d ( )sb 只差一个常数倍数只差一个常数倍数），），而且而且12( )|( ),dd2( )d 能除尽能除尽 的全部元素的全部元素.2( )A 如此下去如此下去， 最后就化成了标准形最后就化成了标准形.( )A 例例 用初等变换化用初等变换化 矩阵为标准形矩阵为标准形.2232121( )11A23 1231211( )0