《信号与系统》连续时间信号与系统的S域分析 (1)

1、信号信号 以以傅里叶变换傅里叶变换为基础的频域分析方法有清楚的为基础的频域分析方法有清楚的物理意义物理意义 ，但是，但是 )(d21)(1jtfFeFtft * * 另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。行的无穷积分求解困难。* * 傅里叶变换只能处理符合傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件狄利克雷条件的信号，的信号，对不满足绝对可积条件的信号分析受到限制；对不满足绝对可积条件的信号分析受到限制； 为解决上述问题，本章将介绍为解决上述问题，本章将介绍拉普拉斯变换拉普拉斯变换法，法，以扩大信号变换的范围、简化逆变换的运算。以扩大信

2、号变换的范围、简化逆变换的运算。信号信号第四章第四章 连续时间信号与系统的连续时间信号与系统的S S域分析域分析$ 拉普拉斯变换的定义与收敛域拉普拉斯变换的定义与收敛域$ 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质$ 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换$ 连续时间系统的模拟连续时间系统的模拟 本章首先由本章首先由傅氏傅氏变换引出变换引出拉氏拉氏变换，然后对拉变换，然后对拉氏氏正正变换、拉氏变换、拉氏反反变换及拉氏变换的变换及拉氏变换的性质性质进行讨论。进行讨论。 注意与傅氏变换的注意与傅氏变换的对比对比，便于理解与记忆。，便于理解与记忆。 信号信号* * 从傅立叶变换到拉普拉斯变换从傅立叶变换到拉普拉斯变

3、换4.2 拉普拉斯变换的定义与收敛域拉普拉斯变换的定义与收敛域* * 拉普拉斯变换的收敛拉普拉斯变换的收敛* * 一般函数的拉普拉斯变换一般函数的拉普拉斯变换信号一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换f (t) = eat u(t) a 0的傅里叶变换？的傅里叶变换？ 不存在！不存在！将将 f(t) 乘以衰减因子乘以衰减因子 t0)()()(dteedteetfetfFtjttjtt0)(dtetsjs令s1若推广到一般情况推广到一般情况dtetfdteetfetfFtjtjtt)()()()()()(sFdtetfstjs令X拉氏变换对拉氏变换对起因信号：起因信号：考虑

4、到实际信号都是有考虑到实际信号都是有 jj1 dej21 detstsssFtfLtfttftfLsF逆变换逆变换正变换正变换 sFtf:记记作作 ,0 相应的单边拉氏变换为相应的单边拉氏变换为系统系统采用采用 jj10dej21detstsssFtfLtfttftfLsF 称为象函数。称为象函数。称为原函数，称为原函数，sFtf ttfFtdej0 X二拉氏变换的收敛二拉氏变换的收敛 0 0e)(limtftt 收敛域：收敛域：使使F(s)存在的存在的s的区域称为收敛域。的区域称为收敛域。记为：记为：ROC(region of convergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；实际上就是

5、拉氏变换存在的条件；Oj0收敛坐标收敛坐标收敛轴收敛轴收收敛敛区区X说明说明 ；的信号成为指数阶信号的信号成为指数阶信号满足满足00e)(lim. 1tftt 0 0elim. 3 tntt ttt 0eelim. 46.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。进行拉氏变换。进行拉氏变换。为非指数阶信号，无法为非指数阶信号，无法，长快，找不到收敛坐标长快，找不到收敛坐标等信号比指数函数增等信号比指数函数增2e . 5t氏变换一定存在；氏变换一定存在；有界的非周期信号的拉有界的非周期信号的拉. 2X三一些常用函数的拉氏变换三一些常用函数的拉氏变

6、换 0de1)(ttuLst1.阶跃函数2.指数函数 0deeetLstttssst1e10 0estss 1 全全s域平面收敛域平面收敛 1de0 tttLst 0ede000ststtttttL 3.单位冲激信号X4tnu(t) 0 detttLst201e11sssst 0detttLstnn 0 1dettsnstn 0 de1stts 0 0dee1ttsstst2 n 3222122ssstLstL 3 n 43236233ssstLstL 1 nntLsntL 0estnst 0 1dettsnstn 1! nnsntL 1 n所所以以所所以以X4.3 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯

7、变换的性质线性线性 原函数微分原函数微分原函数积分原函数积分 延时（时域平移）延时（时域平移）s域平移域平移 尺度变换尺度变换初值初值 终值终值卷积卷积 对对s域微分域微分对对s域积分域积分X一线性一线性 )()()()( ,),()( ),()( 22112211212211sFKsFKtfKtfKLKKsFtfLsFtfL 则则为为常常数数，若若 ttttfj jee21)cos()( sstLj1j121cos22ss 已知已知则则 sLt 1e同理同理 22 sinstL 例例1X二原函数微分二原函数微分 )0()(d)(d),()( fssFttfLsFtfL则则若若 )0()0()

8、( )0(0d)(d22 fsfsFsffsFsttfL 10)(1)0()(d)(dnrrrnnnfssFsttfL推广：推广：X电感元件的电感元件的s s域模型域模型 )()(),()(sVtvLsItiLLLLL ttiLtvLLd)(d)( )0()()0()()( LLLLLLisIsLissILsV)(tiL )(tvLL sILLs 0LLi sVL 电感元件的电感元件的s模型模型应用原函数微分性质应用原函数微分性质设设X三原函数的积分三原函数的积分 ，则，则若若)()(sFtfL sfssFfLt)0()(d)(1 )()( ),()(sVtvLsItiLCCCC 设设 tcC

9、iCtv d)(1)( sissICsVCCC)0()(1)()1()0(d)(1)0(10)1(CCCviCiC)0(1)(1 CCvssIsC tiC tvCCX电容元件的电容元件的s 域模型域模型 tcCiCtv d)(1)( sissICsVCCC)0()(1)()1()0(1)(1 CCvssIsC tiC tvCCsC1 01Cvs sIC sVC电容元件的电容元件的s模型模型X四延时（时域平移）四延时（时域平移） 0e)()()( )()(00stsFttuttfLsFtfL ，则则若若Xjhjh时移特性例题时移特性例题 22211111ssssssF 。求求已知已知)(,4co

10、s2)(sFtuttf 1111 tututLttuLsF例例2 2 sFttutf求求,1 已知已知例例3 3 tttttfsincos4sinsin24coscos2 sss e112X例例4 4 2020)(cos:sstutL 已知已知 2020)(cose sstutt 所以所以 20200)(sine:stutt 同理同理的的拉拉氏氏变变换换求求tt0cose 五五s域平移域平移)(e)( )()(sFtfLsFtfLt，则若)(e)( )()(sFtfLsFtfLt，则若)(e)( )()(sFtfLsFtfLt，则若X六尺度变换六尺度变换时移和标度变换都有时时移和标度变换都有时

11、: : 0, 0 e1)()( baasFabatubatfLabs若若证明略证明略(同傅氏变换同傅氏变换)(lim)0()(lim ),()(d)(d)(0ssFftfsFtfttftfst 则则可以进行拉氏变换，且可以进行拉氏变换，且及及若若七初值定理七初值定理Xjhjh例例6?)0(,12)( fsssF求求 21212 ssssF因因为为12lim)(lim)0( 1ssssFfss所以2112lim12lim sssss 项项中中有有ttf 2 应化为真分式：应化为真分式：不是真分式不是真分式若若,sFksFsF)()(1)(lim)0()(lim)0(11ssFfksFsfss 项

12、。项。中有中有中有常数项，说明中有常数项，说明ttfsF例例5 5?)0(,1)(: fssF求求已已知知1)(lim)(lim)0 (0 ssFtffstX终值存在的条件终值存在的条件: ，则，则的拉氏变换存在，若的拉氏变换存在，若设设)()(d)(d),(sFtfLttftf )(lim)(lim0ssFtfst 上上无无极极点点。原原点点除除外外轴轴在在右右半半平平面面和和) ( j ssF八终值定理X九卷积 )()()()(2121sFsFtftfL )()(j21)()(2121sFsFtftfL 则则为有始信号，为有始信号，若若)(),()()()()(212211tftfsFtf

13、LsFtfL X十对十对s微分微分 ssFttfLd)(d)( 常用形式：常用形式：取正整数，则若nssFtftLsFtfLnnnnd)(d) 1()( )()(十一对十一对s积分积分 sssFttfLsFtfLd)()()()(，则则若若信号信号4.4 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换(1)(1)利用像函数直接求原函数利用像函数直接求原函数(2)(2)部分分式法部分分式法(3)(3)利用留数定理利用留数定理围线积分法围线积分法(4)(4)数值计算方法数值计算方法利用计算机利用计算机信号信号* * 找找F(s)的极点的极点部分分式法部分分式法 求拉普拉斯逆变换求拉普拉斯逆变换* * 部分分式展开法

14、部分分式展开法* * 两种特殊情况两种特殊情况* * 求拉普拉斯逆变换求拉普拉斯逆变换拉氏逆变拉氏逆变换的过程换的过程X一找一找F(s)的极点的极点01110111)()()(bsbsbsbasasasasBsAsFnnnnmmmm ai,bi为实数，为实数，m,n为正整数。为正整数。 , 为有理真分式为有理真分式当当sFnm :式式具有如下的有理分式形具有如下的有理分式形通常通常sF)()()()()()()(2121nnmmpspspsbzszszsasBsAsF 分解分解零点零点极点极点 0)(0)( sFsA因为因为 的零点的零点称为称为的根的根是是sFsAzzzzm,0,321 的极点的极点称为称为的根的根是是sFsBppppn,0,321 )(0)(sFsB因为因为X二部分分式展开法二部分分式展开法(m0的信号，所以收敛域在收敛轴的信号，所以收敛域在收敛轴右右边。对边。对F(s)分解因式，分解因式，找出极点。收敛域中不应有极点，最找出极点。收敛域中不应有极点，最右右边的极点为收敛边的极点为收敛坐标坐标。 :)(j的的关关系系和和FsF nnnsksFF j 则则 ssFFsj0, 0 则则平面的左半平面平面的左半平面收敛轴位于收敛轴位于 不存在不存在则则平面的右半平面平面的右半平面收敛轴位于收敛轴位于Fs, 00 收敛轴位于虚轴收敛轴位于虚轴, 00 X傅氏