牵连运动为平动时点的

1、9.3 牵连运动为平动时点的 加速度合成定理reaaaa 动坐标系固结于某一运动的刚体上动坐标系固结于某一运动的刚体上, ,可能作平动，可能作平动，定轴转动或其他的更为复杂的运动，动坐标系的运动定轴转动或其他的更为复杂的运动，动坐标系的运动不同，加速度合成定理的表达形式不同。不同，加速度合成定理的表达形式不同。 先讨论牵连运动为平动时的加速度合成定理。先讨论牵连运动为平动时的加速度合成定理。1.牵连运动:牵连运动为平动2.动点M的速度证明：一、几何法：t+etAMraB1MM1rrteavvvvvvvAB 设动点设动点 M 在动坐标系上沿曲线在动坐标系上沿曲线AB运动，运动，t+etAMraB

2、B1MAM1rrteavvvvvvv而动坐标系又作平动，而动坐标系又作平动，曲线曲线AB又跟随动坐标系作平动。又跟随动坐标系作平动。MM AB为相对轨迹；为相对轨迹； 为其绝对轨迹。为其绝对轨迹。eravvv 在瞬时在瞬时t，动点位于，动点位于M，其绝对速度，其绝对速度va，相对速度，相对速度vr，牵连速度牵连速度ve，由速度合成定理知，由速度合成定理知:t+etAMraB1MM1rrteavvvvvvvAB 在瞬时在瞬时t+t ，动点位于，动点位于M，其绝对速度，其绝对速度va，相对，相对速度速度vr，牵连速度，牵连速度ve。 由速度合成定理知：由速度合成定理知：eravvv0limaaaa

3、tddtt vvva0limererttt vvvv3.加速度：加速度： 绝对加速度以绝对加速度以 aa表示，它等于绝对表示，它等于绝对 速度对时间的一阶变化率，即：速度对时间的一阶变化率，即： 00limlimaaaererattddtttt vvvvvvvat+eAMraBB1MAM1rrteavvvvvvvt00limlimeerrtttt vvvv0limeett vv(1) 将绝对运动分解为将绝对运动分解为牵连运动牵连运动和和相对运动相对运动两个部分，两个部分， 假如没有相对运动发生，假如没有相对运动发生， 则在瞬时则在瞬时 t+t，动点将因只有牵连运动而位于，动点将因只有牵连运动而

4、位于M1处。处。tt+tA,AB,BMM1,Mev1eve,v00limlimeerratttt vvvva下面研究上式右端各项的意义：下面研究上式右端各项的意义：1ev牵连速度为：牵连速度为：又因为动系平动，又因为动系平动，有：有：1eevv动系平动，有：动系平动，有：1eevv因此有：因此有： ve和和ve1是平动坐标系上同一个点在相隔的两个不同瞬是平动坐标系上同一个点在相隔的两个不同瞬时的速度，时的速度， ( ve1 ve )= ve是速度增量。是速度增量。tt+tA,AB,BMM1,Mev1eve,v100limlimeeeetttt vvvv上式是在瞬时上式是在瞬时t t的牵连点（动

5、坐标与动点的重合点）的的牵连点（动坐标与动点的重合点）的加速度，称为动点的牵连加速度。加速度，称为动点的牵连加速度。100limlimeeeetttt vvva牵连加速度牵连加速度：某瞬时动坐标系上与动点相重合的点的加速度。：某瞬时动坐标系上与动点相重合的点的加速度。0(1) limeett vv0(2) limrrtt vv 动坐标系上的人看不到自己随动坐标系一起运动，动坐标系上的人看不到自己随动坐标系一起运动，即看不出相对轨迹随动坐标系的运动，分辨不出即看不出相对轨迹随动坐标系的运动，分辨不出AB曲线曲线与与AB曲线的不同。曲线的不同。MMBAt+t1M,B,A,trvrvr1v又由于牵连

6、运动是平动，又由于牵连运动是平动，AB曲线与曲线与AB曲线平行，认为：曲线平行，认为：rrvv 1又由于牵连运动是平动，又由于牵连运动是平动，AB曲线与曲线与AB曲线平行，曲线平行，认为：认为：rrvv 1于是：于是： 100limlimrrrrtttt vvvv vr和和vr1分别是动点沿相对轨迹运动时在两不同瞬时的分别是动点沿相对轨迹运动时在两不同瞬时的相对速度，相对速度，MMBAt+t1M,B,A,trvrvr1v vrvr1 是单纯的由于相对运动所引起的，是相对速度在是单纯的由于相对运动所引起的，是相对速度在t内的增量，相对加速度：内的增量，相对加速度： 100limlimrrrrrt

7、ttt vvvva牵连运动为平动时的加速度合成定理：reaaaa该式表明：当牵连运动为平动时，动点的绝对加该式表明：当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于其牵连加速度与相对加速度的几何和。速度等于其牵连加速度与相对加速度的几何和。 100limlimrrrrrtttt vvvva100limlimeeeetttt vvva00limlimeerratttt vvvvat+etAMraBB1MAM1rrteavvvvvvv所以，当牵连运动不是平动时，上述定理不成立。tt+tA,AB,BMM1,Mev1eve,vMMBAt+t1M,B,A,trvrvr1vreaaaa注意：牵连加速度也是有瞬时性

8、的，随牵连点 的不同而不同。 如果牵连运动不是平动，则： rrvv 11eevv 一、动系一、动系Oxyz作平动作平动 （i、j、k均为常矢量）均为常矢量）xozyxyyozzABrrkij,ijk,Mx 设动点设动点M在动系在动系Oxyz中中沿相对轨迹沿相对轨迹AB运动，运动，（解析法）（解析法） 动点动点M在动系中沿相对轨迹在动系中沿相对轨迹AB运动，运动，而动系而动系Oxyz又相对定系又相对定系 Oxyz作平动，如图所示，作平动，如图所示，单位矢量单位矢量i、j、k 均为常矢量。均为常矢量。动点动点M相对动系的相对矢径为相对动系的相对矢径为kzjyirr x动点动点M相对动系的相对速度为

9、相对动系的相对速度为 kzjyivxr动点动点M相对动系的相对加速度为相对动系的相对加速度为kzjyia xrxozyxyyozzABrrkij,ijk,Mx牵连速度：牵连速度：由速度合成定理得由速度合成定理得 kzjyivvvvoeaxr oevv 二、牵连运动：平动二、牵连运动：平动（动系上各点速度、加速度都相等（动系上各点速度、加速度都相等) 牵连加速度牵连加速度： aeaodvo/dt三、绝对运动：三、绝对运动：1、绝对速度、绝对速度xozyxyyozzABrrkij,ijk,Mx由速度合成定理得由速度合成定理得 kzjyivvvvoeaxr三、绝对运动三、绝对运动将上式对时间将上式对

10、时间t求一阶导数，并注意到求一阶导数，并注意到0kji可得：可得：aaer y z xovvvvijkareroaaaaxozyxyyozzABrrkij,ijk,Mx上式表示牵连运动为平动时上式表示牵连运动为平动时点的加速度合成定理：点的加速度合成定理： 当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。 注意：注意：ve、ae具有瞬时性。五、牵连运动为平动时点的五、牵连运动为平动时点的 加速度合成定理加速度合成定理 oreraaaaaa（9.7）xxozyxyy

11、ozzABrrkij,ijk, 例例 曲柄曲柄OA绕固定轴绕固定轴O转动，丁字形杆转动，丁字形杆BC沿水平方向往沿水平方向往复平动，如图所示。铰接在曲柄端复平动，如图所示。铰接在曲柄端A的滑块，可在丁字形杆的的滑块，可在丁字形杆的铅直槽铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度内滑动。设曲柄以角速度w作匀速转动，作匀速转动， OA=r，试，试求求杆杆BC的加速度。的加速度。 解：因丁字形杆解：因丁字形杆BC作平作平动，故动，故杆杆BC以及铅直槽以及铅直槽DE上所有各点的加速度完全相上所有各点的加速度完全相同。同。 解：因丁字形杆解：因丁字形杆BC作平动，故作平动，故杆杆BC以及铅直以及铅直槽槽DE上所有

12、各点的加速度完全相同。上所有各点的加速度完全相同。 显然，只要求出铅显然，只要求出铅直槽直槽DE上在这瞬时与上在这瞬时与曲柄端曲柄端A相重合的那一相重合的那一点的加速度即可。点的加速度即可。 动点动点曲柄端曲柄端 A， 动系动系固定在固定在丁字形杆丁字形杆BC 上。上。 绝对运动绝对运动 点点A以点以点O为中心的圆周运动为中心的圆周运动 aarw w2 2相对运动相对运动 点点A沿槽沿槽DE的直线运动的直线运动 ar？ 方向沿方向沿DE 牵连运动牵连运动 槽槽DE作水平直线平动。作水平直线平动。 ae？ 方向沿方向沿CO 根据根据 aa=aear ( (其中有四个要素已知），可作出加速其中有四

13、个要素已知），可作出加速度平行四边形如图所示。由图中三角关系得度平行四边形如图所示。由图中三角关系得aBC=ae aacosf=rw w2 2 cosf 因此，因此，C C点相对于点相对于AB杆的运动是杆的运动是平行于平底的直线运动，即平行于平底的直线运动，即C C点点相对于相对于AB杆的轨迹是一条与平杆的轨迹是一条与平底平行的直线。底平行的直线。 解：解：在整个运动过程中，在整个运动过程中，AB杆的平底始终与杆的平底始终与圆轮相切，所以圆轮中心点圆轮相切，所以圆轮中心点C C至平底的距离保至平底的距离保持不变。持不变。 动点选圆心动点选圆心C点，点， 动系固结在推杆动系固结在推杆AB上。上。

14、 点点C的绝对运动为绕的绝对运动为绕O点的点的 圆周运动。圆周运动。大小为大小为 v va=e=ew w牵连运动：牵连运动：AB杆的铅垂直线杆的铅垂直线平动平动， ve=? =? 铅垂铅垂向上向上由图示速度矢量合成得由图示速度矢量合成得 ve= =vAB= = vacosf f= =ewcosf f此即平底推杆此即平底推杆AB的速度。的速度。 点点C C的相对运动的相对运动: : 沿平行于平底的水平直线运动，沿平行于平底的水平直线运动， vr=? =? 方向方向向左，向左，aa= =aat+ +aan= =ae+ +ar ( (* *) )已知绝对加速度为已知绝对加速度为 aatea a ,

15、aanew w2点的相对加速度沿相对轨迹，设点的相对加速度沿相对轨迹，设指向向左。指向向左。点的牵连加速度沿铅垂线，点的牵连加速度沿铅垂线，设指向向上。设指向向上。aa= =aat+ +aan = =ae+ +ar ( (* *) ) aatea a , aanew w2 在滑块导杆机构中，由一在滑块导杆机构中，由一绕固定轴绕固定轴O作顺时针转动的导作顺时针转动的导杆杆OB带动滑块带动滑块A沿水平直线轨沿水平直线轨道运动，道运动，O到导轨的距离是到导轨的距离是h，已知在图示瞬时导杆的倾角是已知在图示瞬时导杆的倾角是j j ，角速度大小是，角速度大小是 ，角加速，角加速度度a a=0，试求该瞬时

16、滑块，试求该瞬时滑块A的绝的绝对加速度。对加速度。jOAByxyxh例例 题题 8-13jOAByxh1. 选择动点，动系与定系。相对运动沿导杆OB的直线运动。牵连运动 导杆OB绕轴O的匀速转动。绝对运动 沿导轨的水平直线运动。动系 Axy固连于导杆。动点取滑块动点取滑块A为动点。为动点。 2. 运动分析。jjwjjwj2ersincoscotsincothhvvvevrvayxreavvv应用速度合成定理速度合成图如图所示。求得求得:例 题 解：解： 牵连加速度ae： , 方向沿BO 指向O。3. 加速度分析。Casinaajjjwj32Casincos2sinhaaCreaaaaa投影到O

17、y轴上，得绝对加速度aa：大小待求，方向水平。wj sinhea相对加速度ar：大小未知，方向沿BO。 科氏加速度aC： , 方向OB 偏上方。r0C2vaw根据加速度合成定理求得滑块A的加速度jOAByxhyxaearacaavr例例 题题 图示一往复式送料机，曲柄图示一往复式送料机，曲柄OA长长l，它，它带动带动导杆导杆BC和和送料槽送料槽D作往复运动，借以运作往复运动，借以运送物料。送物料。 设某瞬时曲柄与铅垂线成设某瞬时曲柄与铅垂线成q q角。曲柄的角。曲柄的角速度为角速度为w w0，角加速度为，角加速度为a a0，方向如图所示，方向如图所示，试求此瞬时送料槽试求此瞬时送料槽D的速度和

18、加速度的速度和加速度。 例例 题题 8-12DBCAOw 0a 0DBCAOw 0a 0解：解：1. 选择动点，动系与选择动点，动系与定系定系。动系O xy，固连于导杆BC。2. 运动分析。运动分析。 绝对运动以O为圆心的圆周运动。 相对运动沿导杆滑槽的铅垂直线运动。 牵连运动导杆BC 沿水平直线的平动。动点滑块滑块A 。Oxy例例 题题 8-12求送料槽D的速度和加速度。DBCAOw 0a 0Oxy3. 速度分析。 绝对速度va：va= l 0 ，方向与OA垂直。 相对速度vr：大小未知，方向 沿导杆滑槽向上。 牵连速度ve：所求的送料槽的速度，方向 水平向右。vevavrreavvv应用速

19、度合成定理应用速度合成定理evvD求得：例例 题题 8-12qwqcoscos0alv求送料槽D的速度和加速度。4. 加速度分析。加速度分析。绝对加速度法向分量aan： aan = l 02 ，沿着AO。相对加速度ar：大小未知，方向沿O y 轴牵连加速度ae：大小未知，为所要求的量， 方向水平，假设向右。绝对加速度切向分量aat： aa t= l0，方向与 OA 垂直，指向左下方。DBCAOw 0a 0Oxyaeaataanar例例 题题 8-12求送料槽D的速度和加速度。应用加速度合成定理retanaaaaa投影到O x轴，得到 enatasincosaaaqq于是，求得 )sincos(

20、200eqwqala即为导杆和送料槽D的加速度aD，例例 题题 8-12DBCAOw 0a 0Oxyaeaataanar求送料槽D的速度和加速度。其中负号表示在此瞬时ae的指向与图中所假设的相反。 作业910, 12、13、14例例9.109.10动画动画例例3.3.图示曲柄滑杆机构图示曲柄滑杆机构(1)求滑杆求滑杆BC的速度的速度vBC运动分析运动分析已知：已知：OA=R， =300求：图示瞬时滑杆求：图示瞬时滑杆BC的的速度速度vBC和加速度和加速度aBC。动点：曲柄动点：曲柄OA上的销钉上的销钉A动系：滑杆动系：滑杆BC，作直线平动，作直线平动静系：地面静系：地面avevrv600600avRw解：解：(1)求滑杆BC的速度vBC运动分析动点：曲柄OA上的销钉A动系：滑杆BC，作直线平动