基于问题与能力培养的数值分析精品资源共享课建设

1、基于问题与能力培养的数值分析精品资源共享课建设 中南大学数学与统计学院韩旭里1.数值分析课程简介 数值分析是研究计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科，数值分析也称为数值计算方法、科学计算。 数值分析属于计算数学的范畴。数值分析课程内容是计算数学学科的基础内容，包括数值逼近、数值代数、微分方程数值解。 该课程是数学类专业（信息与计算科学专业、数学与应用数学专业）的专业基础课，也可作为理工科专业学生的数学基础课。大多数工科研究生将数值分析作为学位课程。 数值分析课程与计算机科学的关系密切，应用性强。 数值计算是当前各门自然科学和工程技术科学研究的重要手段。 2.数值分析精品资源共享课

2、程概况 数值分析课程是数学类专业的重要专业基础课，是注重培养学生创新思维、意识及能力的重要课程。 教学重要目标之一是加强学生科学计算的数学基础，提高学生对算法构造原理的理解能力和算法设计的创新能力。 重要目标之二是提高学生应用科学计算方法和计算机技术分析解决实际问题的能力与技巧，培养从事科学研究的能力和相关素质。 注重计算问题的背景和方法应用的介绍，注重逼近技巧的灵活性、线性化、离散化和后验分析等重要思想方法的教学。 经典性与现代性兼顾，分析与计算并重，突出教学内容的实用性。资源内容体现学习兴趣的培养和探究性学习。 以数值试验为手段，以应用软件为工具，基于数值试验问题和算法，强化科学研究能力、

3、科学计算能力和计算机应用能力的培养。 3.基于问题建设数值分析精品资源共享课 数值分析漫谈：课程特点概貌，涉及的问题。如数学软件工具推荐、从数值分析到艺术设计、随机数据的样条插值、来自微分方程的大型方程组 ，等。 从问题和现象出发 ：每章内容都有实际问题和方法背景的引入。 扩展问题：典型问题的稳定性分析、扰动分析、理论与方法扩展。 计算量问题：求n次多项式的值。 秦九韶算法（即Horner算法）：可写成： 1110( )nnnnnpxa xaxa xa1210( )()nnnnp xa x ax axa x a10,1,2,1,0,( ).nnkkknuauuxaknnp xu 利用公式 的前

4、N项部分和，可以计算ln2的近似值。若要精确到 ，需要十万项求和。 如果改用级数则只要计算9项，截断误差便小于 。11ln(1)( 1)nnnxxn51010103211ln2,1321nxxxxxn 高次插值的效果的例子：给定函数 取等距节点，构造拉格朗日插值多项式 。21( ), -11125f xxx 又如又如h(x)=x/(1+x2)在在-5，5上的次数分上的次数分别为别为3、8、10次的插值多项式。次的插值多项式。 一块铝合金薄板压成其横断面为正弦波的构件(如下图)，要求原材料铝合金板的长度，也就是从到的曲线弧长，可用积分表示为这是一个椭圆积分计算问题 。卫星轨道的计算也一个椭圆积分

5、计算问题。 22001 ( )1 cosbbLfxdxxdx 由三角形结构的平衡条件列方程组： 考虑两环节机器人手臂定位问题 ：求 和 , 使第二臂的端点位于适当的位置, 比如其坐标为 12( ,).p p 特征值问题：在决策评价的层次分析法中,两两比较判断矩阵A的元素满足当A为一致性矩阵时，排序权向量W与判断矩阵的关系是 。 判断矩阵一般不是一致的。当判断矩阵的一致性指标较小时,认为判断矩阵是可以接受的,计算排序向量的问题可以转化为特征值问题 的计算。 10,1.ijjiiiijaaaaAwnwAww4.基于能力培养建设数值分析精品资源共享课 算法实现能力 如均差的计算 ：给定 ， ， ,i

6、ixf0,1,in0 x1x2x3x0f1f2f3f0,1f1,2f2,3f0,1,2f1,2,3f0,1,2,3f只用一维数组，则比如， 第三列：0 x1x2x3x0f1f2f3f1f2f3f2f3f3f11,1,2,1,1iiiiifffinin nxx 11:1:iiiii kforknforinkfffxxendend又如：矩阵的LU分解， ALU1111,1,kkjkjkrrjrkikikirrkikrual ujknlal uuikn1112131nuuuu2 13 11nlll322nll433nll22232nuuu332nuu135246 分析能力 控制误差传播：计算算法I：

7、算法II： 105nnxIdxx0,1,6n 11111005155nnnnnxxIIdxx dxxn115,1,2,6.nnIInn*00.1823I *60.3083I 111,6,5,1.5nnIInn*600.0262,0.1823.II又如：分段三次Hermite插值的表示 设 ，则1,kkxxx31111( )( )( )( )kkkkkukkHxx fx fx mm2111211211112111( )12,(),( )12,()kkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx如果令 ，则 ，易于推广到高次插值。1,kk

8、kkkhxx tx xh0,1t 222211( ) (1 2 )(1) ,( )(1) ( )1 2(1),(1)kkkkkka xttxht taxt txht t2223311132231111( ) (1)(1)(1)2(1)3(1)3(1)33kkkkkkkkkkkkkkkkH xtft t fhmt tfhmt fhht ftfmt tfmt f 还有，分段三次Hermite插值式 与三次样条插值式 的比较 3( )H x3( )s x误 差：连 续 性：对数据的依赖：局部方法非局部方法1C2C44384hm445384hm3( )H x3( )s x结束语 课程资源共享特性之一：科学计算方法与逼近技巧灵活，数值试验工具和内容新颖，培养学生应用数学方法求解实际问