DSP1_离散时间信号

1、1 1典型离散时间信号典型离散时间信号2 2离散信号的运算离散信号的运算三三. . 信号的分类信号的分类 四四. . 噪声噪声五五. . 信号空间的基本概念信号空间的基本概念六六. . 确定性信号的相关函数确定性信号的相关函数七七. . 与本章内容有关的与本章内容有关的MATLABMATLAB文件文件第第1 1章章 离散时间信号离散时间信号2l单位脉冲序列单位脉冲序列l单位阶跃序列单位阶跃序列l矩形序列矩形序列l实指数序列实指数序列 l正弦序列正弦序列 l复指数序列复指数序列1.1 1.1 典型离散时间信号典型离散时间信号3101( )()000nnknnknnk（Kronecker 函数）函

2、数）（单位取样序列、单位脉冲、（单位取样序列、单位脉冲、单位样值信号、单位函数单位样值信号、单位函数 、 单位冲激单位冲激序列序列）l(n)只在只在n =0时取确定值时取确定值1，其它均为零其它均为零 l(n-k)只在只在n=k时取确定值时取确定值1，其余点取值均为零，其余点取值均为零4性质：性质： 0)()0()()(fnfnnf)()()()()(kfknkfknnfl (n)在离散序号处理中的作用类似于在离散序号处理中的作用类似于连续时间信号处理中的冲激函数连续时间信号处理中的冲激函数(t) l 回忆：单位冲激信号（回忆：单位冲激信号（Drac 函数）函数）0, 00,)(, 1)(tt

3、tdtt5)()()(xdtttx也称也称“筛选特性筛选特性”)0(0)()0(1)(tdtdtt)()(tudt6l奇异信号奇异信号 (t)的有一个总的冲激强度的有一个总的冲激强度，它，它等于等于在整个时间域上的积分（在整个时间域上的积分（面积）面积），采，采用用非常规的非常规的极限定义：极限定义：脉宽趋于脉宽趋于0，幅值，幅值趋于无限大，面积为趋于无限大，面积为1的信号，的信号，是一种纯是一种纯粹的数学抽象，不表示一种实际的信号粹的数学抽象，不表示一种实际的信号l(n)的定义简单精确：的定义简单精确：在在n=0时取值为时取值为1 ，就是就是n=0时的瞬时值（不是面积），是一时的瞬时值（不是

4、面积），是一个真实的物理信号个真实的物理信号注意注意：7( )()kp nnk或写为或写为 p(n) = , 1 , 1 , 1 , 如何如何表达表达8)()()()()()()()()(snsnsnTxdttptxnTttxtptxnTttp连续信号抽样数学模型回忆冲激串：9l理想采样是将理想采样是将xa(t)乘以乘以Ts为周期的冲为周期的冲激串函数，用公式表示为激串函数，用公式表示为l上式中上式中(t-nTs )是单位冲激信号，只是单位冲激信号，只有有t =nTs当时，才可能有非零值，因当时，才可能有非零值，因此采样信号可表达为：此采样信号可表达为：nsaaanTttxtPtxtx)()(

5、)()()(nssaanTtnTxtx)()()(10)(txa)(txa)(),(tPtP)(txa)(txaSt0)(txat0T)(tPt0)(txat0Tt0)(txat0)(txa)(tP对模拟信号进行采样11l抽样器可看作一个电子开关，每隔抽样器可看作一个电子开关，每隔Ts 秒闭合秒闭合一次，闭合时间为一次，闭合时间为秒，秒， Tl产生抽样窄脉冲序列产生抽样窄脉冲序列 p(t)，幅度，幅度 1 /l当当0时，可视为理想抽样，窄脉冲序列时，可视为理想抽样，窄脉冲序列 p(t)变成冲激函数串变成冲激函数串 p(t)，各冲激函数准确，各冲激函数准确地出现在抽样瞬间，面积为地出现在抽样瞬间

6、，面积为1l输出的理想抽样信号输出的理想抽样信号xa(t)的面积（积分幅度）的面积（积分幅度）等于输入信号等于输入信号xa(t)在抽样瞬间的幅度在抽样瞬间的幅度)6 . 1 . 1 ()()( )()(ssnsnTxnTxnTttx12将将 用用 来替换来替换snTn()( )sx nTx n离散离散序列序列VV1310)(nu0n的右半轴限定在的自变量0)(nnnxjnjnjnu, 1, 0)() 1)(),()2jnAunAu000)()()()(11nnnxnunxnx0n14 u(t) ：奇异信号，数学抽象函数：奇异信号，数学抽象函数 u(n)：非奇异信号，可实现信号：非奇异信号，可实

7、现信号u(n)作用类似于作用类似于u(t)，但二者有较大差别：但二者有较大差别：lu(t)在在t = 0时常不定义时常不定义lu(n)在在n = 0时为时为u(0)= 1 15) 1()()(, )()(nununknunk1) u(n)可以看作是无数个出现在不同序号可以看作是无数个出现在不同序号上的单位抽样序列之和上的单位抽样序列之和2) 单位抽样序列可表为单位抽样序列可表为u(n)与其延迟之差与其延迟之差关系：与)()(nun16 1,01( )0,NnNRn 其它 NmNmnnR0)()( )( )()NRnu nu nN1710123n44( )R n矩形窗矩形窗 可以可以通过乘法运算

8、把一通过乘法运算把一个无限长或很长序个无限长或很长序列列x(n)变成长度为变成长度为N点的序列点的序列N( )Rn)()()(1nRnxnxN10Nn1( )x n18( )sin(2)sin()x tAf tAt ( : Hz; :模拟角频率，模拟角频率，rad/s; : 抽样频率抽样频率, Hz )( )( )|sin(2/)st nTsx nx tAfn f( )sin()x nAn定义数字域定义数字域角频率角频率 / 圆（周）频率圆（周）频率2/()sffradfsf =/fs (线性关系线性关系 )19010203040506070-1-0.500.51010203040506070

9、-1-0.500.51( )x t( )x n20l连续正弦信号的周期连续正弦信号的周期 T 可以是小数可以是小数l离散正弦序列的周期若为整数离散正弦序列的周期若为整数 N： x (n) 在一个周期内有在一个周期内有 N 个抽样点个抽样点N/221例例: ( )sin(200)x tt则则100Hzf sT01.0令令400sfHz)5 . 0sin()400/200sin()(nnnx则则:则周期则周期4/2N22)sin()(nnxN/201. 0/2)01. 0sin()(Nnnx200N )1.0sin()(nnx201 . 0/2NN无周期无周期2324（无衰减的复指数序列）（无衰减

10、的复指数序列）)sin()cos(njnenjcos()sin()j nnjne 欧拉公式欧拉公式nnxnxenxnj)(arg1| )(|)(，辐角25序列摆动序列发散序列收敛01|1| ,)(|aaaanxn 0 n 2601020304050607000.8101020304050607000.81指数信号指数信号 ( ),( )x tx n( )p n27复指数序列复指数序列为衰减的复正弦若)(, 1)(0, 0,|000nxreranxrreanjnnj287. Chirp 信号：信号：信号频率是时变的，和信号频率是时变的，和 t 成正比成正比FF

11、T，雷达信号处理，雷达信号处理 22( )( )j tj nx tex ne2930序列是稳定的序列是稳定的 绝对可加）（即当且仅当| )(| )(|nxnxn0)(, 0nxn当且仅当311. 移位：移位：（延迟）（延迟）)(nx)()(1knxny)()(2knxny3k 整个序整个序列移动列移动1.2 离散信号的运算给定给定n: 当前时刻当前时刻kn : 过去时刻过去时刻: 将将 来来kn 的单位延迟的单位延迟) 1( nx)(nx是是以后用以后用 表示表示1z3233单位抽样信号的单位抽样信号的“抽取抽取”性质性质kknkxnxknnxkx)()()()()()(样延迟的加权和任一序列

12、可表为单位抽34kknkxnx)()()(例：例： , 0, 0, 3, 0, 5.1, 1 , 0,0knx 235 . 11nnn352. 加加, 减减, 乘乘:),(1nx)(2nx)()()(21nxnxny)()()(21nxnxny注意：时刻对齐注意：时刻对齐在较短的序列后补零，在较短的序列后补零， 使二者长度相同使二者长度相同36( )x t()x at( / )x t a000ttt1a 3. 信号时间尺度变化：信号时间尺度变化：37 离散信号时间尺度的伸缩离散信号时间尺度的伸缩信号的抽取与插值倍高倍的插值，抽样频率提倍低倍的抽取，抽样频率降LLLnxnyMMMnxny)/()

13、()()(38时间时间翻转（反折，反褶，翻褶）翻转（反折，反褶，翻褶）纵轴为对称轴纵轴为对称轴x(n)nx(-n)n序列的翻褶序列的翻褶3912,1( )0,1nnx nn 12,1()0,1nnxnn40奇对称序列偶对称序列2)()()(2)()()()()()(nxnxnxnxnxnxnxnxnxoeoe414. 信号的分解信号的分解1Nnnnx 12,N 分解的基向量分解的基向量12,N 分解的系数分解的系数信号的离散表示信号的离散表示由, x12,N 12,N 信号的分解，或信号的分解，或 信号的变换信号的变换42 5. 信号的变换：信号的变换： 由一个域（如时域）映射到另一由一个域（

14、如时域）映射到另一个域（如频域）的运算个域（如频域）的运算Z，DFT, DCT，Hilbert，小波变换，小波变换6. 卷积：卷积：12( )( )( )y nx nx n43分类标准分类标准信号类别信号类别变量维数变量维数一维信号，多维信号（矢量信号）一维信号，多维信号（矢量信号）周期性周期性周期信号，非周期信号周期信号，非周期信号随机性随机性确定性信号，随机信号确定性信号，随机信号能量能量 功率功率能量（有限）信号能量（有限）信号功率（有限）信号功率（有限）信号时间离散时间离散连续时间信号，离散时间信号连续时间信号，离散时间信号时间幅度均离散时间幅度均离散数字信号数字信号1.3 信号的分类

15、441. 连续连续, 离散离散2. 周期周期, 非周期非周期3. 确定性信号确定性信号, 随机信号随机信号)(nx表格曲线公式)(nxn )(nxn )sin()(nnx),( :相位：均匀分布的随机变量相位：均匀分布的随机变量1( )2f45确定性函数表现出随机特性确定性函数表现出随机特性 混沌混沌 （chaos，chaotic） 对初值敏感对初值敏感lLogist映射（一类映射（一类 伪随机数发生器）伪随机数发生器）x (n+1) = 4 x (n) 1 x (n) 46TTTdttxTP2| )(|21limNNnNnxNP2| )(|121limdttxE2| )(|nnxE2| )(

16、|4. 功率信号功率信号, 能量信号能量信号47复信号：能量？功率？复信号：能量？功率？)()(*| )(|)3 . 3 . 1 () 1 . 3 . 1 (20P2nxnxnx48例例1.3.1信号信号111( )00nx nnn可求出：可求出：12116xnEn能量信号能量信号X49信号信号211( )00nx nnn可求出：可求出：211xnEn不收敛，非不收敛，非能量信号能量信号例例1.3.150立志考研同学选做：立志考研同学选做：l求信号求信号能量能量（提示：求（提示：求 y2 在在-,的余弦展开，再令的余弦展开，再令 y =）l判断判断 是否功率信号？是否功率信号？111( )00

17、nx nnn信号信号211( )00nx nnn515. 1-D, 2-D, 3-D6. 单通道单通道, 多通道多通道TMnxnxnxnx)(,),(),()(21 52l平稳性（平稳性（Stationarity）:随机信号的主要（或全部）统计特性对于参随机信号的主要（或全部）统计特性对于参量量t保持不变保持不变（与时间起点无关）（与时间起点无关）l平稳信号平稳信号广义平稳（弱平稳、协方差平稳）狭义平稳、宽平稳）、宽平稳）（强平稳、严平稳、严格平稳）（强平稳、严平稳、严格平稳）随机信号（过程）可分为平稳和非平稳两大类随机信号（过程）可分为平稳和非平稳两大类严格地说严格地说, , 所有信号都是非

18、平稳的所有信号都是非平稳的53则则 为宽平稳（或广义）平稳信号为宽平稳（或广义）平稳信号2*12( )1.( )( )2.( ) 3.( ,)()( )xxxxX nnE X nE X nr n nE XnX nmr m 若满足：（ ）( )X n平稳信号的均值和时间无关，为常数；平稳信号的均值和时间无关，为常数；功率有限；功率有限；自相关函数和时间的起点无关，只和两自相关函数和时间的起点无关，只和两点的时间差有关。点的时间差有关。广义平稳广义平稳(Wide-sense stationary, WSS) /弱平稳弱平稳(Weakly stationary)的条件的条件542222( )( )x

19、xxxnDnD由此还可导出：由此还可导出：*cov ( )( ) ()xyxymEX nY nm方差和均方也方差和均方也与时间无关与时间无关（常数）。（常数）。互协方差函数也和互协方差函数也和时间的起点无关。时间的起点无关。实际中的大部分信号都可看作实际中的大部分信号都可看作是宽平稳的。处理方便。是宽平稳的。处理方便。55 应用与研究最多的是广义平稳信号：应用与研究最多的是广义平稳信号： 相关理论相关理论(一二阶矩一二阶矩)能给出有关平均功率的几个能给出有关平均功率的几个主要指标：如果随机过程代表噪声电压信号，主要指标：如果随机过程代表噪声电压信号，那么一二阶矩可给出直流分量、交流分量，平那么

20、一二阶矩可给出直流分量、交流分量，平均功率及功率在频域上的分布均功率及功率在频域上的分布(功率谱密度功率谱密度)等等 电子系统中遇到最多的是正态随机过程，它的电子系统中遇到最多的是正态随机过程，它的任意维分布都只由它的一、二阶矩来确定任意维分布都只由它的一、二阶矩来确定56严格平稳：时间平移时，随机过程的任意严格平稳：时间平移时，随机过程的任意n n维分布、任意的维分布、任意的n n维概率密度不变维概率密度不变严格平稳性因要求太严格平稳性因要求太“苛刻苛刻”，更多地用于，更多地用于理论研究中理论研究中 57平稳信号的各态遍历性平稳信号的各态遍历性 这种平均称为这种平均称为“集总平均（集总平均（

21、Ensemble Average)”，需要无穷多样本。，需要无穷多样本。2221( )1( , )limxNNxxiE X nx n iN11( )( , )limNxNiE X nx n iN对样对样本求本求和和58221( )211 ( )211( )( ) ()21limlimlimMxnMMxxnMMMMxnMMx nMx nMr mx n x nmMKhintchineKhintchine证明了：在具备一定的条件下，观察证明了：在具备一定的条件下，观察时间足够长的平稳过程的一个样本函数时间足够长的平稳过程的一个样本函数 的的“时间平均（时间平均（Time Average)Time A

22、verage)”等于其集总平均等于其集总平均, ,于是，可以用其任一个样本来得到其数字特征。于是，可以用其任一个样本来得到其数字特征。此性质称为此性质称为“各态遍历性（各态遍历性（Ergodic)Ergodic)”。对时间求和( , )x n i59定义：定义：如果如果 的集总均值和其单一样本的时间的集总均值和其单一样本的时间均值依概率均值依概率1相等，则称相等，则称 的均值具有各的均值具有各态遍历性。态遍历性。如果如果 的集总自相关和其单一样本的时的集总自相关和其单一样本的时间自相关依概率间自相关依概率1相等，则称相等，则称 的自相的自相关函数具有各态遍历性。关函数具有各态遍历性。如果如果

23、的均值和其自相关均具有各态遍的均值和其自相关均具有各态遍理性，则称理性，则称 为为 各态遍历随机过程。各态遍历随机过程。( )X n( )X n( )X n( )X n( )X n( )X n21( )( )201limMnMMEx nE X nM时间均值集总均值1.白噪声：白噪声：频谱为一直线；频谱为一直线；自相关函数为自相关函数为 函数函数各点之间互不相关各点之间互不相关White Noise（一）噪声的种类：（一）噪声的种类：白噪声是信号处理中最常用的噪声模型白噪声是信号处理中最常用的噪声模型！1.4 噪声（Noise）6002040608010000.81u(n)(a

24、) n=1- 10000.81050010001500histogram of u(n)(b) bins of x axis 均匀分布白噪声均匀分布白噪声直方图直方图61020406080100-1-0.500.511.5u(n)(a)-1.5-1-0.500.511.52012345x 104histogram of u(n)(b)高斯分布白噪声高斯分布白噪声直方图直方图62Colored Noise3. 脉冲噪声脉冲噪声4. 工频噪声工频噪声2.有色噪声：有色噪声： 特点：频谱不是直线特点：频谱不是直线（二）噪声与信号的关系：（二）噪声与信号的关系：)()()(nunsn

25、x加法性噪声加法性噪声)()()(nunsnx乘法性噪声乘法性噪声去除噪声是信号处理的永恒话题！去除噪声是信号处理的永恒话题！6364|max | ( )|,|max | ( )|,xx ttxx nn （一）范数（一）范数: Norm信号的最大幅度信号的最大幅度序列序列高维向量高维向量1.5 信号空间6511|( )| ( )|nxx t dtxx n12221222|( )| ( )|nxx tdtxx n信号的绝对和信号的绝对和信号能量之方根信号能量之方根（以前称（以前称“模模”）66LP范数的统一定义范数的统一定义如：如： wwwdttx/1)(x)(max) 1 () 1 ()2(1

26、) 1 (lim)2() 1 (lim|0)2() 1 (),2(),1 (11nxxxxxxxxxxxwwwwwwwwxx设67范数的性质范数的性质：0,0,ifthenxxxxxxyxy全零信号全零信号（三角不等式）（三角不等式）（非负性质）（非负性质）（数乘性质）（数乘性质）只要满足以上三条性质，均可称为范数！只要满足以上三条性质，均可称为范数！（范数三公理）（范数三公理）68,|Llx 空间：111,|L lx 空间：222,|L lx 空间：的的x的集合的集合的的x的集合的集合的的x的集合的集合（二）信号空间定义（二）信号空间定义Lp: 连续连续; lp: 离散离散 均为线性空间均为

27、线性空间692:xl是能量信号是能量信号( )x n是稳定信号是稳定信号( )x n是有界信号是有界信号( )x n:1lxlx70= =Z ZN NR RR RC C整数的集合正整数的集合实数的集合正实数的集合复数的集合( )Z ZZ Z711222( , ) |( )( )nd x yxyx ny n（三）两个信号之间的距离（三）两个信号之间的距离(1) 欧氏（欧氏（Euclidean）距离）距离 d2 ，dE以二维空间为例，与以二维空间为例，与O点的点的dE距离小于等距离小于等于某个值于某个值D的向量，组成以的向量，组成以O为中心，以为中心，以D为半径的实心圆为半径的实心圆(1.5.7a

28、)72其它距离量度函数其它距离量度函数(2) 城区（城区（city-block）距离）距离d1 以二维空间为例，与以二维空间为例，与O点的点的d1距离小于等于某个值距离小于等于某个值D的向量，的向量，组成以组成以O为中心的菱形为中心的菱形nnynxyxyxd)()( |),(11d1距离距离等距离轮廓图等距离轮廓图73其它距离量度函数其它距离量度函数(3) 棋盘（棋盘（chessboard）距离）距离 d与与O点的点的d距离小于等于某个距离小于等于某个值值D的向量，组成以的向量，组成以O为中心为中心的正方形的正方形: )()( max|),(n -nynxyxyxdd距离距离等距离轮廓图等距离

29、轮廓图74wnwwwnynxyxyxd1)()( |),(LP距离的统一定义：距离的统一定义：Minkowski 距离距离 750( , )( , )0,( ), ( )?( , )( , )( , )( , )( , )d x yifd x ythenx ny nd x yd y xd x yd x zd z y 距离的性质距离的性质：满足满足距离三公理距离三公理，均可称距离！，均可称距离！（三角不等式三角不等式：最短距离沿直线最短距离沿直线）（非负性质非负性质）（对称性质对称性质）（距离与起终点选择无关）（距离与起终点选择无关）)()(nynx7611：均值：均值：方差矩阵：方差矩阵22：

30、均值：均值：方差矩阵：方差矩阵 集合集合1 集合集合2样本样本x1d2d21ifddthenx集合集合2 “距离距离”的应用：的应用：模式识别模式识别77距离计算示例距离计算示例dE = 5 d1 = 7 d = 4 78（四）内积（四）内积内积三公理：共轭对称性，内积三公理：共轭对称性，线性性，线性性，正定性。正定性。由内积规定范数：由内积规定范数：xxx,|79如果如果,0 x y则则yx,正交正交222( )( )( )( )nnnx n y nx ny n,( )( ),( )( )nx t y t dtx n y n x yx y许瓦兹不等式许瓦兹不等式( L2 )( l2 ) yy

31、xxyx,|,|280线性空间：线性空间： 即即 向量空间；向量空间；赋范线性空间：定义了范数的线性空间；赋范线性空间：定义了范数的线性空间；度量空间（度量空间（Metric Space): 定义了距离的空间，定义了距离的空间， 赋范线性空间也是度量空间；赋范线性空间也是度量空间；内积空间：内积空间： 定义了内积的赋范线性空间；定义了内积的赋范线性空间；Hilbert空间：空间： 完备的内积空间称为完备的内积空间称为Hilbert空间空间空间的概念81空间的概念度量空间度量空间 赋范空间赋范空间 内积空间内积空间 Hilbert空间空间比度量空间更一般的空间：比度量空间更一般的空间：拓扑空间拓

32、扑空间 不定义不定义“距离距离”，只定义，只定义“邻域邻域” 柔性的空间柔性的空间82完备性定义：完备性定义：若度量空间若度量空间 X 中每个基本序列收敛于中每个基本序列收敛于X 中一个元素，则称中一个元素，则称 X 为完备的。为完备的。基本序列定义：基本序列定义：基本序列。基本序列。中的任意收敛点列必是中的任意收敛点列必是基本序列。基本序列。中的中的为为则称则称，对一切，对一切若若，度量空间度量空间设设XXX)()(|)()(|. ., 0), 2 , 1()(CauchynxmxnxtsNmnNnnx83有理数空间：有理数空间：不完备不完备实数空间：实数空间： 完备完备完备的赋范线性空间：

33、完备的赋范线性空间：Banach空间空间完备的内积空间：完备的内积空间：Hilbert空间空间 （特殊的（特殊的Banach空间：范数由内积规定）空间：范数由内积规定）84欧式空间：欧式空间：有限维实内积空间有限维实内积空间（也是完备的）（也是完备的）Hilbert空间：空间：可以是无限维的复内积空间；可以是无限维的复内积空间；是欧式空间的推广。是欧式空间的推广。Fourier变换的基函数是变换的基函数是Hilbert空间的空间的一组基。一组基。85l 相关是研究两个信号之间，或一个信号和其移位后的相似性，是信号分析、检测与处理的重要工具；在随机信号的理论中起到了中心的作用。1.6 1.6 确

34、定性信号的相关函数确定性信号的相关函数如何表征相似性？如何表征相似性？ 一个信号经过多少次变换一个信号经过多少次变换可以变为另一个信号可以变为另一个信号86两个向量的相似性两个向量的相似性可以用夹角来度量可以用夹角来度量|,cosyxyx两个向量线性相关？两个向量线性相关？87( ),x n)(ny , 0n1222( ) ( )( )( )nxynnx n y nxnyn1|xy相关系数相关系数l能量有限的确定性因果信号能量有限的确定性因果信号|,yxyx88相关系数的又一个定义：相关系数的又一个定义：nxynynxr)()(注意，注意， xyr 相关系数不能反映信号内在的相关性，相关系数不

35、能反映信号内在的相关性，所以引入相关函数。包含自相关函数和互相所以引入相关函数。包含自相关函数和互相关函数：关函数：1|xy89( )( ) ()() ( )xynnrmx n y nmx nm y n, x y 之间之间的互相关的互相关( )( ) ()yxnrmy n x nm 之间之间的互相关的互相关, y x所以所以( )( )xyyxrmrm( )()yxxyrmrm即相关与即相关与次序次序有关有关90( )() ()()()()xynxyxyrmx ni y njrnjnirji相关函数中的时间变量：相关函数中的时间变量：1.1.保持保持 不动，将不动，将 往左往左 移动移动 个抽

36、样间隔，然后将个抽样间隔，然后将 和和 对应相乘与相加，即对应相乘与相加，即得得 ；2.2. 和和 的长度应一样长；的长度应一样长；3. 3. 可正可负。可正可负。( )x n( )y nm( )x n( )x n()y nm( )xyrm( )y nm含 意ijm91n( )x nn( )y nn( )x nn( )y nn(2)y nn(2)x n( )( ) ()() ( )xynnrmx n y nmx nm y n92( )( ) ()yxnrmy n x nmn( )x nn( )y nn(2)x nn( )x nn( )y nn(2)x n( )yxrm( )xyrm93( )(

37、 ) ()xnr mx n x nm( )( ) ()xnr mx n x nm( )( ) ()xynrmx n y nm实序列实序列复序列复序列94 实实函数的函数的自自相关是相关是偶偶函数函数 rx(0)为信号的为信号的能量能量 若能量信号相对自身移至若能量信号相对自身移至无穷远无穷远，二者已，二者已无无相关性相关性自相关函数性质自相关函数性质( )(),( )()(0)( )( )0Limxxxxxxxmr mrmr mrmrr mr m；95 不不是是偶偶函数，但函数，但 能量信号的互相关能量信号的互相关互相关函数性质互相关函数性质)()(mrmryxxy)0()0(| )(|yxx

38、yrrmr0)(limmrxym96功率信号相关函数的定义：功率信号相关函数的定义：NNnNxmnxnxNmr)()(121lim)(自相关自相关NNnNxymnynxNmr)()(121lim)(互相关互相关对于能量信号对于能量信号 ：nxmnxnxmr)()()(自相关自相关对于周期信号？对于周期信号？97 1. 若若 是周期的是周期的, 周期是周期是 , 则则)(nxN)()(Nmrmrxx2. 若若 是实的是实的, 则则)(nx)()(mrmrxx3. 取最大值取最大值, 为信号功率为信号功率)0(xr(0)xxrP4. 若若 是复信号是复信号, 则则)(nx)()(mrmrxx功率信

39、号自相关函数的性质：功率信号自相关函数的性质：982|222202)2(0)2()2()2()(10,10,110,0,0,0,0, )(0, )()()()()()(eemeeemeemeemeemememmnuemnuemnunueemrnuenxmmmmmnnmnnmmnmnnmnnmnnmnnmnnxn例例1.6.1 99)sin()(nnx1, 1 , 0,2 NnN10120101( )sin()sin()1cos()sin ()1sin()sin()cos()1cos()2NxnNnNnr mnnmNmnNmnnNm同频率余弦同频率余弦例例1.6.2 100周期函数的自相关函数周

40、期函数的自相关函数总是在周期的整数倍总是在周期的整数倍 nT 处取得最大值处取得最大值101 中有无中有无)(nx如果有如果有, 功率是多少功率是多少?周期呢周期呢?( )( )( )x ns nu n例例：信号的检测信号的检测（白噪声）（白噪声）( ) ( )( ) ()()xnr ms nu ns nmu nm( )( )( )( )( )( )susuussur mr mrmrmr mr m0)(ns10201020304050-4-2024-50050-1-0.500.511.501020304050-2-1012-50050-1-0.500.511.5正弦白噪声正弦白噪声 SNR=

41、-3dB正弦白噪声正弦白噪声 SNR=7dB自相关函数自相关函数自相关函数自相关函数例例1.6.3( )( )sur mr m 103用自相关函数用自相关函数检测检测非正弦信号的准周期非正弦信号的准周期 0 m T8 f(n)f(n-m)(mRf(a)(b)mnn10410( ),0,1,11( )( ) (),1Nmxnx nnNr mx n x nmNmMMMN 实际计算有限长信号的相关函数时：实际计算有限长信号的相关函数时：所以所以，( )xr m的最大长度为的最大长度为21N 105关于关于MATLAB106MATLAB是美国是美国MathWorks公司开发的公司开发的一种功能极其强大的高技术计算语言和一种功能极其强大的高技术计算语言和内容极其丰富的软件库。它以内容极其丰富的软件库。它以矩阵矩阵和向和向量的运算以及运算结果的量的运算以及运算结果的可视化可视化为基础，为基础，把广泛应用于各个学科领域的数值分析、把广泛应用于各个学科领域的数值分析、矩阵计算、函数生成、信号、图形及图矩阵计算、函数生成、信号、图形及图像处理、建模与仿真等诸多强大功能集像处理、建模与仿真等诸多强大功能集成在一个便于用户使用的交互式环境之成在一个便于用户使用的交互式环境之中，为使用者提供了一个高效的编程工中，为使