《理论力学》第七章 点的复合运动

1、12 71 复合运动的概念复合运动的概念 72 速度合成定理速度合成定理 73 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理 74 牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理第七章第七章 点的复合运动点的复合运动3复合运动问题：研究物体相对于不同参考系 的运动之间的关系。复合运动不是一种新的运动形式，只是一种研究运动学问题的思路和方法。45固结在地面的参考系固结在地面的参考系相对于地面有运动的相对于地面有运动的 参考系参考系1、二个参考系、二个参考系2、三种运动、三种运动 动点相对于静系的运动动点相对于静系的运动动点相对于动系的运动动点相对于动

2、系的运动动系相对于静系的运动动系相对于静系的运动6重物重物地面地面起重机起重机直线运动直线运动直线运动直线运动平动平动71、直升飞机匀速直线下降、直升飞机匀速直线下降螺旋桨上一点螺旋桨上一点地面地面机身机身曲线运动曲线运动圆周运动圆周运动平动平动82、汽车在水平路面行驶、汽车在水平路面行驶车轮轮缘上一点车轮轮缘上一点地面地面车身车身曲线运动曲线运动圆周运动圆周运动平动平动93、车床车外圆、车床车外圆车刀刀头上一点车刀刀头上一点地面地面工件工件直线运动直线运动曲线运动曲线运动定轴转动定轴转动10分析三种运动时要明确：分析三种运动时要明确：11如果没用牵连运动，如果没用牵连运动，那么相对运动就是绝

3、对运动那么相对运动就是绝对运动如果没用相对运动，如果没用相对运动，动点随动系所做的运动动点随动系所做的运动就是绝对运动就是绝对运动=+12 动点相对于静系的速度动点相对于静系的速度av 动点相对于动系的速度动点相对于动系的速度rv ev相对于静系的速度相对于静系的速度13某瞬时在动系上和动点相重合的那一点某瞬时在动系上和动点相重合的那一点14151617动点相对于静系的加速度动点相对于静系的加速度aa 动点相对于动系的加速度动点相对于动系的加速度ra 牵连点相对于静系的加速度牵连点相对于静系的加速度ea相当于此瞬时假想动点固结相当于此瞬时假想动点固结在动系上随动系一起运动所具有的速度、加速度。

4、在动系上随动系一起运动所具有的速度、加速度。18MM：绝对轨迹绝对轨迹MM ：绝对位移绝对位移1M M1M M ：相对轨迹相对轨迹：相对位移相对位移MM 1M M 1MM ？1MM M1点为点为t瞬时的牵连点瞬时的牵连点1MM 为为t瞬时牵连点的位移瞬时牵连点的位移19t将上式两边同除以将上式两边同除以 ，0t时取极限，得：时取极限，得：01100limlimlimtttMMtM MMMtt 0limatMMvt 10limrtM Mvt 10limetMMvt 20arevvv速度合成定理：速度合成定理：任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对

5、速度的矢量和。的矢量和。说明：说明：va：动点的绝对速度：动点的绝对速度；vr：动点的相对速度：动点的相对速度；ve：牵连速度，是：牵连速度，是 牵连点的速度牵连点的速度2 2、动系作转动时，、动系作转动时， ve是该瞬时动系上与动点是该瞬时动系上与动点 相重合点的速度。相重合点的速度。1 1、动系作平动时，动系上各点速度都相等。动系作平动时，动系上各点速度都相等。21 222324Oxy，2526aervvv00cotcot600.577aevvvv 2728293031323334353637y x38vavevr aervvv39vavevrsineavvavr22sinrlr222er

6、vlr12122eO ArvO Alr221O Alr1222O Arlraervvv40动点、动系和静系选择的原则：动点、动系和静系选择的原则：41OxyzOxyz( )r tijk( )r t( )OrtM( )rr t( )rr t( )( )( )Or tr trt( )Ort其中：其中： 为为 42OxyzOxyz( )r tijk( )r t( )OrtM相对速度：相对速度：设动点设动点M在动系下的在动系下的坐标为坐标为( ,)x y zrx iy jz k ()rdrdvx iy jz kdtdtdxdidydjdzdkixjykzdtdtdtdtdtdt0didjdkdtdtd

7、t相对运动是站在动系上观察，看不到动系的运动。相对运动是站在动系上观察，看不到动系的运动。rdxdydzvijkdtdtdt43rvx iy jz k rax iy jz k 同理：同理：OxyzOxyz( )r tijk( )r t( )OrtMaervvv由由动系作平动，动系作平动，动系上各点速度相同。动系上各点速度相同。OevvaOvvx iy jz k 44两边对时间两边对时间t求导：求导：aOaax iy jz k OxyzOxyz( )r tijk( )r t( )OrtMaOvvx iy jz k 动系作平动，动系单位动系作平动，动系单位向量方向始终不变。向量方向始终不变。Oea

8、a又又aeraaannnaaeerraaaaaa一般形式：一般形式：4546Oxy，47加速度合成定理：加速度合成定理：naerraaaaaeraaaaa：方向：竖直方向方向：竖直方向大小：未知大小：未知ea：方向：水平向左方向：水平向左大小：已知大小：已知ra：方向：沿凸轮切线方向方向：沿凸轮切线方向大小：未知大小：未知raeaaanra：方向：方向：大小：已知大小：已知nra分析：分析：48aervvvsinsinervvvraeaaanranaerraaaa222sinnrrvvaRR nsincos naeraaa23cotsinavaaR49加速度合成定理：加速度合成定理：aeraa

9、a是否成立？是否成立？aeraaa 一圆盘以匀角速度一圆盘以匀角速度 绕定轴绕定轴顺时针转动，盘上圆槽内有一点顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以大小不变的速度以大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运沿槽作圆周运动，那么动，那么M点的绝对加速度应是多点的绝对加速度应是多少？少？50选选M点为动点，动系固结在圆盘上点为动点，动系固结在圆盘上。则则牵连运动牵连运动为匀速转动为匀速转动, evR2 eaR2,rrrvvaR=常 数=相对运动相对运动为匀速圆周运动为匀速圆周运动由速度合成定理由速度合成定理:常数rreavRvvv所以所以绝对运动绝对运动也为匀速圆周运动也为匀速圆周运动2222()2arrarv

10、RvvaRvRRR512 eaR2rrvaR=222rarvaRvRaeraaa当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。于牵连加速度和相对加速度的矢量和。earaaa1、 之间的关系是什么？之间的关系是什么？eraaaa,2、为什么会出现、为什么会出现2 vr ？52OxyzOxyz( )r tijk( )r t( )OrtMaervvv将速度合成定理对时间将速度合成定理对时间t求一阶导数求一阶导数,无论动系作什么运动都成立。无论动系作什么运动都成立。aerdvdvdvdtdtdtaadvadt但但rrdvadtee

11、dvadt设动系设动系 作绕作绕z轴作轴作定轴转动，定轴转动，转动的角速度为转动的角速度为 ,角加速度为角加速度为 。O x y z eeee53研究研究 ：rdvdt()rdvdx iy jz kdtdt didjdkx iy jz kxyzdtdtdt rax iy jz k 是在动系内观察，单位向量方向不变时是在动系内观察，单位向量方向不变时 对对t的导数，的导数，称为局部导数。称为局部导数。rv,didjdkdtdtdt由于动系作转动，在静系中观察，单位向量方向要随由于动系作转动，在静系中观察，单位向量方向要随时间改变。所以时间改变。所以 不为零不为零54OxyzOxyzArkOre,

12、didjdkdtdtdt研究研究动系动系 作绕作绕z轴作轴作定轴转动，定轴转动，转动的角速度为转动的角速度为 ,角加速度为角加速度为 。O x y z eeedkdt分析分析设 矢端点A的矢径为kArAOrrkAAdrvdteAr将上式代入将上式代入有：有：OeOedrdkrkdtdtA55又由动系原点又由动系原点 亦为定轴转动刚体上一点，所以亦为定轴转动刚体上一点，所以OOOeOdrvrdtOeOedrdkrkdtdtedkkdt同理有：同理有：eediidtdjjdt泊桑公式泊桑公式56rrdvdidjdkaxyzdtdtdtdteeediidtdjjdtdkkdteeeraxykzij(

13、)()()reax iy jz k ()rx iy jz kv 又rrerdvavdt57研究研究 ：edvdtOxyzOxyz( )r tijk( )r t( )OrtMee牵连速度牵连速度 为动系上与动为动系上与动点相重合的那一点的速度，点相重合的那一点的速度，动系作定轴转动。动系作定轴转动。eveevr()eeeedvdddrrrdtdtdtdteeddtadrdtveeeadvrvdt58()eeeerdvrvvdtaervvveeeeerdvrvvdt即：eeeevar其中：eeerdvavdtaereerrerdvdvdvavavdtdtdt2aereraaav即：592ercva

14、令：ca科利奥里加速度（简称科氏加速度）科利奥里加速度（简称科氏加速度）科氏加速度的计算：科氏加速度的计算：2cerav大小：大小：2sincerav方向：垂直于方向：垂直于 和和 构成的平面构成的平面,右手螺旋法则确定右手螺旋法则确定erv0180 ( / ),0ercva当或时90(),2ercervav当时年由科学家科利奥里发现，由此命名年由科学家科利奥里发现，由此命名60为什么会出现科氏加速度？为什么会出现科氏加速度？由于动系做转动时，牵连运动与相对运动相互影响而产生由于动系做转动时，牵连运动与相对运动相互影响而产生例：设有已知杆例：设有已知杆OA在图示平在图示平面内以匀面内以匀 绕轴

15、绕轴O转动，套筒转动，套筒M（可视为点（可视为点M）沿直杆作变）沿直杆作变速运动。速运动。取套筒取套筒M为动点，动为动点，动系固结于杆系固结于杆OA上。上。612rv1、若若OA杆不转动杆不转动， t+t瞬时相对速度为瞬时相对速度为 ，动系转动动系转动使相对速度方向发生变化，变为使相对速度方向发生变化，变为 ，相对加速度是在动，相对加速度是在动系上观察，只反映由系上观察，只反映由 到到 的变化。的变化。 rv2rvrv2rv621Mv2、若若没有相对运动没有相对运动， t+t瞬时瞬时M点移到点移到M1点，牵连速度点，牵连速度应为应为 ，由于有相对运动，使由于有相对运动，使t+t瞬时的牵连速度变为瞬时的牵连速度变为 。牵连加速度是动系上。牵连加速度是动系上M点的加速度，点的加速度，只反映由只反映由 到到 的变化。的变化。 ev1Mvev1Mv63例：北半球，河流向北流动例：北半球，河流向北流动646566加速度合成定理：加速度合成定理：aercaaaannaeercaaaaaaa：方向：指向方向：指向O大小：已知大小：已知nea：方向：指向方向：指向O1大小：已知大小：已知ea：方向：沿凸轮切线方向方向：沿凸轮切线方向ra：方向：方向：大小：未知大小：未知分析：分析：xyO1OAB大小：未知大小：未知ca：大小方向：已知大小方向：已知6722122