复合函数和初等函数

1、1.1.4 复合函数、初等函数复合函数、初等函数基本初等函数基本初等函数 1、常数函数、常数函数 2、幂函数、幂函数 3、指数函数、指数函数 4、对数函数、对数函数 )( 是常数是常数CCy )1, 0( aaayx)1, 0(log aaxya)(0,aaxya是常数课前复习课前复习6、反三角函数、反三角函数 xyarcsinxyarccosxyarctanxycotarc 5、三角函数、三角函数 xysin xycos xytan xycot xysec xycsc 1.1.复合函数复合函数例如例如：2arcsinxy 可看作由可看作由uyarcsin 复合而成。复合而成。2xu 和和注意

2、：注意：其中，其中，uyarcsin 为外层，为外层，2xu 为内层。为内层。而而 )(xfg x2sin 。 2)( ,sin)(xxgxxf ， 4 4、注意复合次序：、注意复合次序： 则则 )(xgf 2sin x ， 3、不是任何函数都可以复合成一个函数。、不是任何函数都可以复合成一个函数。不能复合。不能复合。,arcsin)(uufy22xu如如复合后的函复合后的函数要有意义数要有意义 5、复合可以、复合可以多次多次进行，也就是说，中间变量可以进行，也就是说，中间变量可以有多个。有多个。例例1 1例例2 2,uy ,lgvu ,sinwv 2xw 的复合。的复合。2lnyv2ln (

3、cos2)x例例3 3 指出下列各函数的复合过程：指出下列各函数的复合过程：(1)sinyx21(2)xye2(3)cos (39)yx2(4)lg(11)yx 重要问题：重要问题：把一个复杂的函数分解为几个把一个复杂的函数分解为几个简单函数简单函数（基本初等函数或基本初等函数的（基本初等函数或基本初等函数的四则运算式）四则运算式）的复合的复合。sin ,yu复合而成的复合而成的 ,uye,uv21vx 复合而成的复合而成的 2,cos ,yu uv复合而成的复合而成的 lg ,yu1,uv ,vz复合而成的复合而成的 2,cos ,yu uvxy2sin1e ： uye ， 321xxy ：

4、 ,3uy , wxu , tw .1 2xt 例例4 4例例5 5* *例例6 632(1)ln ln ln(1)yx23(2)lnln ln (1)yx3,yuln ,uv2,vwln ,wzln ,zt复合而成复合而成 ln ,yu2,uvln,vw3,wzln ,zt复合而成复合而成 定义定义1.71.7 由基本初等函数经过由基本初等函数经过有限次有限次的的四则运算四则运算或或复合运算复合运算构成的，并可用构成的，并可用一个式子一个式子表示的函数，称表示的函数，称为为初等函数初等函数. . 例如，例如，21xy ，xy2sin ，)sin1ln(xy 等等。等等。本课程讨论的函数绝大多

5、数都是初等函数本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数. .xexy2ln2.2.初等函数初等函数1.1.5 分段函数分段函数如如0,0,|xxxxxy2xyxy1xy12（3 3）-243不是初等函数；不是初等函数；10sgn0010 xyxxx符号函数符号函数0|000 xxyxxxx因为因为2|.yxx 分段函数一般不是初等函数，但也有例外。分段函数一般不是初等函数，但也有例外。如果如果分段函数能用分段函数能用一个解析式一个解析式表示，那么它就是初等函数表示，那么它就是初等函数而而是初等函数，是初等函数，思考：思考： 分段函数是初等函数吗？分段函数是初等函数吗？课堂练习课堂练习D DD DA AB B21tanxx2tan3149 x12 x2,arccos,lnxvvuuy221,sin,xvvuuyxuayu2,21,xvvuuxy1,ln2xwwvvxuuy课后小结课后小结 1. 复合函数复合函数2. 初等函数初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为初等函数. 本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.3. 分段函数分段函数 分段函数是其定义域内的一个函数.