理解SVPWM坐标变换公式本质参考模板

1、常用坐标变换公式理解证明坐标变换的物理模型是各种电机，为了分析方便或者解耦控制，把复杂的电机模型转换成简单的电机模型，如3s坐标异步电机的三相定子ABC，2s指直流电机，2r指两相电机。 3/2变换的主要目标是得到当前的相位信息、电压电流信息，但要是相位信息。坐标变换的两原则：功率守恒&磁动势矢量守恒，功率指的是复功率，两者的关系：功率P是标量，电压U、电流I是矢量，两个矢量之积是标量 即 p=ui。（复功率下p指复功率，也是标量，电路中复功率=各支路的ui相加）功率守恒和磁动势矢量守恒的关系等价于标题守恒和矢量守恒，坐标变换前后部功率不变被称为绝对变换，同一标量可由不同矢量之积得到，显然坐标

2、变换前后功率不变，但单个矢量可能变化，总的矢量积又不变，如在定子ABC上输入时域三相电压电流（输入时域功率）uA、uB、uC；iA、iB、iC。时域表达式：uA=Uphasecosw1t，变换成空间矢量表达式后就成了单独的矢量：uAej0o、 uBej120o、 uCe-j120o；iAej0o、 iBej120o、 iCe-j120o，最终合成两个电压电流矢量，其矢量和为uAej0o+ uBej120o+ uCe-j120o；iAej0o+ iBej120o+ iCe-j120o但是，在功率守恒的约束下，矢量和要乘以系数为k=23才是最终的矢量。（后面的3/2变换总的来说，是在功率守恒下得到

3、等效的磁运势，然后再在磁动势矢量守恒下得到得到不同坐标系下的各个矢量，磁动势是电流i与匝数的函数，代表标量，磁动势不是功率） 见证明一。如果要求最终的矢量不是以三相定子ABC的矢量和给出，而是以静止坐标系或者复平面a+jb中的两个矢量和给出，则在功率约束下，系数k发生变化k=32，见证明二。一、 三相电压电流时域信号变换成三相定子空间矢量表达式时，系数为23，即三个单独电压矢量uAej0o、 uBej120o、 uCe-j120o合成的空间矢量为u1=k( uAej0o+ uBej120o+ uCe-j120o )并不是简单的单独矢量之和，电流同理。证明一：定义变换前，三相电压、电流分别为：u

4、A、uB、uC；iA、iB、iC定义空间电压矢量：u1=k( uAej0o+ uBej120o+ uCe-j120o )定义空间电流矢量i1=k( iAej0o+ iBej120o+ iCe-j120o )此处两个矢量系数都为k，是系数归算，即线性下u i变化倍数相等电压、电流变换为空间矢量前后有功率守恒，则p=uAiA+uBiB+uCiC=u1Ti1 后者为空间矢量形式的描述，此描述下的功率求法：通过KCL、KVL把电压、电流矢量折合到同一轴上求功率，同一轴上的电压电流之积表示功率（可以是复功率）类似于同一器件上的u* i=pejxo仅仅代表旋转因子。（此处B C两相反了，不过没关系） =k

5、2(uAej0o+ uBej120o+ uCe-j120o)T( iAej0o+ iBej120o+ iCe-j120o ) =k2 32uAej0o+32uB-uCei90oT 32iAej0o+32iB-iCei90o =k2 94uAiA+34(uB-uC)(iB-iC) =k2 94uAiA+34( uBiB+uCiC-uCiB-uBiC = k294uAiA+34 uBiB+uCiC-uC(-iA-iC)-uB-iA-iB =k2 94uAiA+34 2uBiB+2uCiC+uCiA+uBiA =k2 94uAiA+64 uBiB+64 uCiC+34uCiA+34uBiA =k2（

6、 64uAiA+64 uBiB+64 uCiC）k232=1k=23 此处显然取了特例：电压电流同相位，当有角差时，只须i1=k( iAej0o+ iBej120o+ iCe-j120o )ejo最后ABC三相整件旋转ej120o，结果不变其中，34uCiA+34uBiA=-34uAiAuAiA：复功率，uA、iA均是时间轴上的标量，任一时刻有uA+uB+uC=0 iA+iB+iC=0，基于此将uCiA、uBiA进行转换证明二：坐标变换的约束条件（原则）：功率守恒、磁动势守恒。功率、能量矩阵形式的欧姆定律：u=Z iZ表示复阻抗，对于同一电路，Z不变，所以u i呈线性关系。即u i的变换矩阵C

7、相同：(C可逆)u=Cui=C i相当于欧姆方程的变换u=Zi-u=Zi即u=C-1u=C-1ZCi=Zi Z=C-1ZC功率不变原则下iTu=iTu这就要求CTC=I.因为u-u i-i的变换是在变换矩阵C下实现的，显然在功率约束条件下C要被约束成CTC=I，这个条件也可以当作任何功率约束下的坐标变换系数。（参考：控制电机、现代交流调速系统、现代电机控制技术、电机与运动控制技术）3s/2s 2s/2r变换见书：杨耕-电机与运动 交流调速技术、现代电机等二、 求相交流空间矢量电压uAej0o、 uBej-120o、 uCej120o合成复平面坐标系a+jb下的二矢量时的系数1.）将时域表达式u

8、A=Uphasecosw1t、uB=Uphasecos(w1t-23）、uC=Uphasecos(w1t-43)代入下面的ABC极坐标系，A超前B、B超前C、C超前A，把ej0oej-120oej120o等作为单位向量的旋转因子，分解到实轴和虚轴上分别为1+j0、-12-j32、-12+j32，进行展开 u2=uBej120o+ uBej120o+ uCe-j120o 可得 u2=32（cosw1tej0o+sinw1tej90o）如果此处的三相功率和证明一中的功率一样，则先由下式成立， u1=k( uAej0o+ uBej120o+ uCe-j120o )然后有u=u1=ku2=3223()

9、=32() 此处的u1、u是矢量可将t=0时的向量代入验证。2）同理，如果是滞后电压o的电流，则i2=32（cosw1tej0o+sinw1tej90o）ejoi=i1=ki2=3223()=32()ejo三、瞬时功率的定义与系数计算三相静止坐标系ABC的相电压矢量VABC和相电流矢量IABC指定子上三相电压、电流的矢量和形式，即上面的u1、i1。相应的瞬时值表示成VABC=ua ub uc、IABC=ia ib ic，矢量形式的模定义为：VABC=ua2+ub2+uc2IABC=ia2+ib2+ic2将时域表达式uA=Uphasecosw1t、uB=Uphasecos(w1t-23）、uC=

10、Uphasecos(w1t-43)代入得VABC=32UphaseIABC=32Iphase显然这与同功率下，三相到两相的电压矢量系数相同，总结为一名话：同功率下，转化到三相ABC下的两个矢量的系数为23、同矢量下即矢量守恒下，三相转换到两相的系数是32。则同功率下的一个矢量从三相ABC到两相静止复平面，系数为2332=32，一个功率标量包含两个矢量。（电路书中不的系数为1，这是书中的峰值为2U、2I的缘故，这里的峰值为U、I）*基于上面的结论，三相中输入瞬时电压信号uA=Uphasecosw1t、uB=Uphasecos(w1t-23）、uC=Uphasecos(w1t-43)和电流信号iA=iphasecos(w1t-)等，电压与电流有角差，则得到一标题信号功率p=uAiA+uBiB+uCiC展开后有(此处UI仍是峰值，若取有效值则和电路书上一致)p=32UIcos+12UIsin如果此处是32UIsin则和张兴书上P236有功无功对应上，中是三相瞬时值的和，