2009学年高三数学推理与证明测试题(文科)

1、2021学年高三数学推理与证明测试题(文科)广州市玉岩中学 吴华东一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比方：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，这样的数为正方形数。以下数中既是三角形数又是正方形数的是 A289 B1024 C1225 D13782在R上定义运算假设不等式对任意实数成立， 那么 A B C D3. 数列满足，那么= A0 B C D4观察式子：，

2、那么可归纳出式子为 A、 B、 HYPERLINK :/ zxxk C、 D、 HYPERLINK :/ zxxk 5. 设为正整数,经计算得观察上述结果,可推测出一般结论( ) A. B. C. 6设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当 成立时，总可推出成立 那么，以下命题总成立的是 假设成立，那么成立 假设成立，那么成立 假设成立，那么当时，均有成立 假设成立，那么当时，均有成立7设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*即对任意的，对于有序元素对，在中有唯一确定的元素与之对应假设对任意的，有，那么对任意的，以下等式中不恒成立的是 A BCD8 是定义在上的非负可导函数，且满

3、足对任意正数，假设，那么必有 AB CD9对于非零实数，以下四个命题都成立： ； ； 假设，那么； 假设，那么那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 A. B.C. D.10.二次函数的导数为，对于任意实数，有，那么的最小值为 二、填空题：本大题共4小题， 每题5分，总分值20分11在平面上，假设两个正三角形的边长的比为1：2，那么它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，假设两个正四面体的棱长的比为1：2，那么它们的体积比为 _ . 12.函数，那么_13在中，射影定理可以表示为，其中分别为角、的对边，类似以上定理，在四面体中，、分别表示、的面积，分别表示面、面、面与底面所成角的大小，

4、请给出一个空间四面体性质的猜测：_14观察以下等式：, 由以上等式推测到一个一般的结论：对于n,_.三、解答题：本大题共6小题，共80分解容许写出文字说明、演算步骤或推证过程15本小题总分值12分用分析法证明：16本小题总分值12分 用三段论证明函数在，1上是增函数17本小题总分值14分：； 通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度都成立的一般性的命题，并给予证明.18本小题总分值14分在平面直角坐标系O中，直线与抛物线相交于、 两点。求证：“如果直线过点，那么是真命题；写出中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。19本小题总分值14分如图，两个正方形ABCD 和DCEF不在

5、同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。I假设CD=2，平面ABCD 平面DCEF，求直线MN的长；II用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20本小题总分值14分椭圆具有性质:假设是椭圆上关于原点对称的两个点,点是椭圆上任意一点,且直线的斜率都存在(记为),那么是与点的类似性质,并加以证明.2021学年高三数学推理与证明(文科) 测试题参考答案一、选择题：本大题主要考查根本知识和根本运算 共10小题，每题5分，总分值50分题 号12345678910答 案CCBDCDABDC1.答案：C解析：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方

6、形数构成的数列通项，那么由可排除A、D，又由知必为奇数，应选C2.答案：C解析：由，得3.答案：B解析：4.答案：C解析：特殊值法，用带入易选C5.答案：C.解析：由此推知6.答案： D解析：当时，从而成立7.答案： A解析：由题设，假设，那么，与 是中唯一确定的元素相矛盾，应选A.8.答案： B解析：构造函数，那么由题设条件知在 上单调递减，假设，那么，即又是定义在上的非负可导函数，所以应选B9答案：D解析：令，那么不成立；由复数的乘法法那么知成立；令，可知不成立；由 得，故或，而，所以，即 成立10答案：C解析：由得；由恒成立，得且，那么， ，得故选C二、填空题:本大题主要考查根本知识和根

7、本运算.本大题共4小题,每题5分,总分值20分11答案：1：8 w12答案：提示：13答案：提示：由面积射影法以及二面角的平面的定义14答案：解析：这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有，二项指数分别为，因此对于，三、解答题：本大题共6小题，共80分15由于均大于0要证：，只需证：只需证：只需证：只需证：168160，此式明显成立16证明：定义：如果满足在其定义域内的某个区间上任取任取、且，如果有，那么称在该区间上是增函数任取、，且，因为，所以；又因为、，所以因此，即于是根据三段论，得函数在，1上是增函数17一般形式: 事实上，证明：左边 = = = = = 将一般形式写

8、成 等均正确.18 解：如果直线轴，那么; 如果直线与轴不垂直，设直线的方程为， 综上，“如果直线过点，那么是真命题。中命题的逆命题：在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于、两点。如果 ，那么直线必过点。 设直线与轴的交点坐标为，那么直线方程为，把它代入得 . 由，即直线必过点。 中命题的逆命题是假命题。19解：取CD的中点G连结MG，NG. 因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2， 所以MGCD，MG=2，. 因为平面ABCD平面DCEF， 所以MG平面DCEF，可得MGNG. 所以 假设直线ME与BN共面， 那么平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，由，两正方形不共面，故平面DCEF.又ABCD，所以AB平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以ABEN.又ABCDEF,所以ENEF，这与矛盾，故假设不成立。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以ME与BN