高中数学必修四同步练习： 平面向量

1、第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及根本概念班级_姓名_学号_得分_一、选择题1以下物理量中，不能称为向量的是 A质量 B速度 C位移 D力2设O是正方形ABCD的中心，向量是 A平行向量 B有相同终点的向量 C相等向量 D模相等的向量3以下命题中，正确的选项是 A|a| = |b|a = b B|a| |b|a b Ca = ba与b共线 D|a| = 0a = 04在以下说法中，正确的选项是 A两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同;B模为0的向量与任一非零向量平行;C向量就是有向线段; D假设|a|=|b|，那么a=b 5以下各说法中，其中错误的个数为 1向量的长度与向量的长度

2、相等;2两个非零向量a与b平行，那么a与b的方向相同或相反;3两个有公共终点的向量一定是共线向量;4共线向量是可以移动到同一条直线上的向量;5平行向量就是向量所在直线平行A2个 B3个 C4个 D5个 *6ABC中，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段所表示的向量中，与共线的向量有 A2个 B3个 C6个 D7个二、填空题7在(1)平行向量一定相等；(2)不相等的向量一定不平行；(3)共线向量一定相等；(4)相等向量一定共线；(5)长度相等的向量是相等向量；(6)平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的选项是_8如图，O是正方形ABCD的

3、对角线的交点，四边形OAED、OCFB是正方形，在图中所示的向量中，1与相等的向量有_；2与共线的向量有_；3与模相等的向量有_；4向量与是否相等？答：_9O是正六边形ABCDEF的中心，且a，b，c，在以A、B、C、D、E、F、O为端点的向量中：1与a相等的向量有 ；2与b相等的向量有 ；3与c相等的向量有 *10以下说法中正确是_写序号1假设a与b是平行向量，那么a与b方向相同或相反；2假设与共线，那么点A、B、C、D共线；3四边形ABCD为平行四边形，那么=；4假设a = b，b = c，那么a = c ；5四边形ABCD中，且，那么四边形ABCD为正方形；6a与b方向相同且|a| =

4、|b|与a = b是一致的；三、解答题11如图，以13方格纸中两个不同的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？12在如下图的向量a、b、c、d、e中小正方形边长为1是否存在共线向量？相等向量？模相等的向量？假设存在，请一一举出13某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北600走了450m到达C点，最后又改变方向向东走了200m到达D点1作出向量、1cm表示200m；2求的模*14如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马，开始下棋时它位于A点，这只“马第一步有几种可能的走法？试在图中画出来；假设它位于图中的P点，那么这只“马第一步有几种可能的走法

5、？它能否走假设干步从A点走到与它相邻的B点处？2.2. 1 向量加减运算及几何意义班级_姓名_学号_得分_一、选择题1化简所得的结果是 A B C0 D2设a，b且|a|=| b|=6，AOB=120，那么|ab|等于 A36 B12 C6 D 3a，b为非零向量，且|a+ b|=| a|+| b|，那么 Aa与b方向相同 Ba = b Ca =b Da与b方向相反4在平行四边形ABCD中，假设，那么必有 AABCD为菱形 BABCD为矩形 CABCD为正方形 D以上皆错5正方形ABCD边长为1，=a，=b，=c，那么|a+b+c|等于 A0 B3 C D*6设a，而b是一非零向量，那么以下个

6、结论：(1) a与b共线；2a + b = a；(3) a + b = b；(4)| a + b|a |+|b|中正确的选项是 A(1) (2) B(3) (4) C(2) (4) D(1) (3)二、填空题7在平行四边形ABCD中，a， b，那么_，_ 8在a =“向北走20km，b =“向西走20km，那么a + b表示_9假设8，5，那么的取值范围为_*10一艘船从A点出发以km/h的速度向垂直于河岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4km/h，那么河水的流速的大小为_三、解答题11如图，O是平行四边形ABCD外一点，用表示12如图，在任意四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点

7、，求证：13飞机从甲地按南偏东100方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按北偏西700方向飞行2000km到达丙地，那么丙地在甲地的什么方向？丙地距离甲地多远？CABFED*14点D、E、F分别是ABC三边AB、BC、CA上的中点，求证：1；202. 2. 2 向量数乘运算及其几何意义班级_姓名_学号_得分_一、选择题1向量a= e1-2 e2，b=2 e1+e2, 其中e1、e2不共线，那么a+b与c=6 e1-2 e2的关系为 A不共线 B共线 C相等 D无法确定2向量e1、e2不共线，实数(3x-4y)e1(2x-3y)e2 =6e1+3e2 ,那么xy的值等于 A3 B-3 C0 D

8、23假设=3a, =5a ,且,那么四边形ABCD是 A平行四边形 B菱形 C等腰梯形 D不等腰梯形4AD、BE分别为ABC的边BC、AC上的中线，且=a ,=b ,那么为 Aab Bab Cab D ab 5向量a ,b是两非零向量，在以下四个条件中，能使a ,b共线的条件是 2a -3b=4e且a+2b= -3e存在相异实数 ，使a -b=0 xa+yb=0 (其中实数x, y满足x+y=0)梯形ABCD，其中=a ,=bA B C D*6ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，假设，那么 AP在ABC 内部 BP在ABC 外部 CP在AB边所在直线上 DP在线段BC上二、填空题7假设|a

9、|=3,b与a方向相反,且|b|=5,那么a= b 8向量e1 ,e2不共线，假设e1e2与e1e2共线,那么实数= 9a,b是两个不共线的向量，且=2akb ,=a3b ,=2ab ,假设A、B、D三点共线，那么实数k的值可为 *10四边形ABCD中，=a2c,=5a6b8c对角线AC、BD的中点为E、F，那么向量 三、解答题11计算：(7)6a= 4(ab)3(ab)8a=(5a4bc)2(3a2bc)=12如图，设AM是ABC的中线，=a , =b ,求13设两个非零向量a与b不共线,假设=ab ,=2a8b ,=3(ab) ,求证：A、B、D三点共线;试确定实数k，使kab和akb共线

10、.*14设,不共线,P点在AB上,求证:=+且+=1(, R).2. 3. 1平面向量根本定理及坐标表示1班级_姓名_学号_得分_一、选择题1以下向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 Ae1=(0,0), e2 =(1,2) ; Be1=(-1,2),e2 =(5,7); Ce1=(3,5),e2 =(6,10); De1=(2,-3) ,e2 =2向量a、b，且=a+2b ,= -5a+6b ,=7a-2b,那么一定共线的三点是 AA、B、D BA、B、C CB、C 、D DA、C、D3如果e1、 e2是平面内两个不共线的向量，那么在以下各说法中错误的有 e1e2(, R)可

11、以表示平面内的所有向量；对于平面中的任一向量a,使a=e1e2的, 有无数多对；假设向量1e1+1e2与2e1+2e2共线,那么有且只有一个实数k,使2e1+2e2=k(1e1+1e2)；假设实数, 使e1e2=0，那么=0.A B C D仅4过ABC的重心任作一直线分别交AB、AC于点D、E，假设=x,=y,xy0，那么的值为 A4 B3 C2 D15假设向量a=(1,1),b=1,-1) ,c=(-2,4) ,那么c= ( )A-a+3b B3a-b Ca-3b D-3a+b*6平面直角坐标系中，O为坐标原点，两点A(3,1),B(-1,3),假设点C(x, y)满足=+，其中,R且+=1

12、，那么x, y所满足的关系式为 A3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C2x-y=0 Dx+2y-5=0二、填空题7作用于原点的两力F1 =(1,1) ,F2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F3= ;8假设A(2,3)，B(x, 4),C(3,y),且=2,那么x= ，y= ;9A(2,3),B(1,4)且=(sin,cos), ,(-,),那么+= *10a=(1,2) ,b=(-3,2),假设ka+b与a-3b平行，那么实数k的值为 三、解答题11.向量b与向量a=(5,-12)的方向相反，且|b|=26,求b12如果向量=i-2j ,=i+mj ,其中i、j分

13、别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线。13A、B、C三点坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2,求证：*14A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，假设，试求为何值时，点P在第三象限内？ 平面向量的根本定理及坐标表示(2) 班级_姓名_学号_得分_一、选择题1三点A(x1, y1),B(x2, y2),C(x3, y3)共线的充要条件是 ( )Ax1y2x2y1=0 Bx1y3x3y1=0 C( x2x1)(y3y1)=(x3x1)(y2y1) D(x2x1) (x3x1) = (y2y1) (y3y1)2A, B, C三点共线,且A (3,-6)

14、,B(-5,2),假设点C横坐标为6,那么C点的纵坐标为 ( ) A-13 B9 C9 D133假设三点P(1,1)，A(2,4)，B(x,9)共线，那么 ( )Ax =1 Bx=3 Cx= D514以下各组的两个向量，共线的是 ( )Aa1=(2,3), b1=(4,6) Ba2=(2,3), b2=(3,2) Ca3=(1, -2), b3=(7, 14) Da4=(3, 2), b4=(6, 5)5设a=(,sin)，b=(cos,)，且a/ b，那么锐角为 ( )A30o B60o C45o D75o*6ABC的两个顶点A(3,7)和B(-2,5)，假设AC的中点在x轴上，BC的中点在

15、y轴上，那么顶点C的坐标是 ( )A(2,7) B(7,2) C(3,5) D(5,3)二.填空题7ABC的三条边的中点分别为(2,1)和(-3,4),(-1,-1)，那么ABC的重心坐标为_8向量a=(2x,7), b=(6,x+4)，当x=_时，a/b9假设|a|=2，b =(1,3)，且a/b，那么a =_*10设点M1(2,2), M2(2,6)，点M在M2M1的延长线上，且| M1M|=|M M2|，那么点M的坐标是_三.解答题11设向量=(k,12),=(4,5),=(10,k)，当k为何值时，A,B,C三点共线？12点(1,0)是向量a的终点，向量b, c均以原点为起点，且b=(

16、3,4), c=(1,1)与向量a的关系为a=3b2c，求向量a的起点坐标13三个力F1=(3,4), F2=(2,5), F3=(x, y)的合力F1+F2+F3=0,求F3的坐标*14A(-1, -1),B(1,3),C(4, 9)(1)求证：A,B,C三点共线；(2)求1=和2=，并解释1，2的几何意义。.2.4 平面向量的数量积班级_姓名_学号_得分_一、选择题：1|a|=，|b|=4，且a与b的夹角为，那么ab的值是 A1 B1 C2 D22ABC中， ,那么ABC是 A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形3|i|=|j|=1,ij,且a2i+3j,b=ki-4j

17、,假设 ab，那么k的值是 A6 B6 C3 D34a，b，c为非零向量，t为实数，那么以下命题正确的选项是 A|ab|=|a|b| B(ab)c=a(bc) Ct ab=t ba Dab= ac=bc5两个力F1,F2的夹角为900，它们的合力的大小为10N，合力与F1的夹角为600，那么 F1的大小为 A B5N C10N D*6a21，b22，ab a0，那么a与b的夹角为 A300 B450 C600 D900二填空题：7以下各式：|a|2=a2=(ab)2=a2b2ab2=a2+2ab+b2,其中正确的等式的序号是_8|a|=2,|b|=4,ab=3,那么(2a3b)(2a+b)=_

18、9向量(-1,2), (8,m),假设,那么m =_*10假设a=(,4),b=(-3,5),且a与b的夹角为钝角,那么的取值范围是_三.解答题:11a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.12.向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7,求a,b的夹角.13.以原点和点A(3,1)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,B=90o,求点B的坐标.*14.向量a=(,1),b=(,),假设存在非零实数k,t使得x=a+(t2-3)b, y=-ka+tb,且xy,试求：的最小值.2. 5平面向量应用举例班级_姓名_学号_得分

19、_一、选择题1.如果ABC的顶点坐标分别是A(4,6),B(-2,1),C(4,-1),那么重心的坐标是 ( )A.(2,1) B.(2,2) C.(1,2) D.(2,4)2.人骑自行车的速度为v1,风速为v2,那么逆风行驶的速度大小为 ( )A. v1- v2 B. v1+ v2 C. |v1 |- |v2 | D.3.在菱形ABCD中,以下关系中不正确的选项是 ( )A. B.C. D.4.某人在高为h米的楼上水平抛出一石块，速度为v，那么石块落地点与抛出点的水平位移的大小是 Av B |v| Cv D|v| 5.两个大小相等的共点力F1、F2，当它们间夹角为900时合力大小为20N，那

20、么当他们的夹角为1200时，合力的大小为 A40N BN CN DN二、填空题7.某人以时速akm向东行走,此时正刮着时速akm的南风,那么此人感到的风向是 ,风速为 .8.=a-b,=2a-b,|a|=3,|b|=4, a与b的夹角为600,那么ABC的三边的长分别是 , , .9.一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，那么船实际航行的速度的大小和方向是 .10.向量a=(x1，y1),b=(x2，y2),c=(x3，y3)，定义运算“*的意义为a * b=(x1y2，x2y1).那么以下命题：.假设a=(1,2),b=(3,4)，那么a * b=(6，4)；.a

21、 * b=b * a；. (a*b)*c=a*b*c；.a+b*c=(a * c)+(b * c)中，正确的命题序号是_*_三、解答题11.M为ABC的边BC的中点,求证:AB2+AC2=2(AM2+BM2).12.在等腰ABC中,BD、CE是两腰上的中线，且BDCE，求顶角A的余弦值.13.某一天,一船从南岸出发,向北岸横渡.根据测量,这一天水流速度为3km/h,方向正东,风的方向为北偏西300,受风力影响,静水中船的漂行速度为3km/h,假设要使该船由南向北沿垂直与河岸的方向以km/h的速度横渡,求船本身的速度大小及方向.数学必修4同步练习参考答案2.1 平面向量的实际背景及根本概念一、A

22、DCBAD二、7(1)(2)(3)(5)(6) 8(1)；(2)；(3)；(4)不相等 ABCD6009(1)；(2) ；(3) *10(4)三、11有6种大小不同的模，有16种不同的方向12有共线的向量：a与d ；b 与e；没有相等的向量；有模相等的向量：|a|=|c|=|d|13(1)如下图 _A_B_P(2)由题意可知，ABCD是平行四边形， 450m*14假设开始时位于A点，那么它的第一步有3种可能的走法； 假设开始时位于P点，那么它的第一步有8种可能的走法； 能从A点走到与它相邻的B点 向量加减运算及几何意义一、CDABCD二、7(a+b)； ba 8向西北走km93,13 *102

23、 km/h三、11 ，又，12 甲乙丙700100 13由题可知，甲、乙、丙三地构成正，丙地距离甲地2000km，由图可得，丙地在甲地的南偏西500方向*14(1) CABFED 由向量加法的平行四边形法那么可得：= 02. 2. 2 向量数乘运算及其几何意义一、BACAAD二、7; 8.1 ; 9.8 ; 10.3a3b5c 三、11.42a 7a7b ac12(ba，那么(ab)13=5ab=5 、共线，又它们有公共点， 所以A、B、C三点共线依题：存在实数，使kab=(akb) 即(k-)a=(k-1)bk-=k-1=0 k=1*14证明：P在AB上, 令=1-t , =t 故2. 3.

24、 1平面向量根本定理及坐标表示1一、BABBCD二、7-3，-4； 8 4 , ； 9或 - ； 10-三、11. |b|=|a| ，= -2 ，那么b=(-10,24)12.A、B、C三点共线,存在实数=,即(1,-2)=(1,m),m= -213设E(x1, y1),F(x2, y2) , (x1+1, y1)=(), x1=, y1=, 又,(x2-3, y2+1)=(-,1), x2=, y2=0, 那么由于,所以14设P(x,y),那么=(x-2,y-3), 而，即，因为P在第三象限，所以5+50且4+70, -1. 平面向量的根本定理及坐标表示(2) 一、CCBCCA二、7.； 8

25、.3或-7 ； 9. ； 10.三、11.由=(4-k,-7), =(10-k, k-12)得, (4-k)(k-12)-(-7)(10-k)=0,k=-2或k=1112.设a的起点坐标为A(x,y) ,那么=(1-x,-y)=(-11,-14),解得x=12, y=14.13.F1+F2+F3=0得F3=-(F1+F2)=(-5,1)14. (1)由得,所以A,B,C共线；(2) 1=,2=.2.4 平面向量的数量积一、ABACBB二、7； 8- 44 ； 94； 10三、11.由得,.又,代入可得=600.12. a+b+c=0,a2+2ab+b2=c2cos=600.13.设B(m,n)

26、,那么=(m,n), =(3-m,1-n), ,又=0,|=|,可得或14.由|a|=2，|b|=1，ab =0，xya+(t2-3)b(-ka+tb)=0，化简得k=(t0,). =(t2+4t-3)= (t+2)2-(t0,).当t=-2时有最小值-2. 5平面向量应用举例一、BCDBBA二、7.西南，; 8. ; 9. ; *10. 2三、11.设=a,=b,那么=b-a, =,=a2+b2, 2()=2()2+()2= a2+b2 AB2+AC2=2(AM2+BM2) 12.设=a,=b,那么=b-a BD、CE为两腰上的中线=,=，BDCE，即5 ab=2a2+2b2 |a|=|b|

27、 5cosA=4即cosA=avv3v2av113.如下图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1+ v2= a易求得a的方向是北偏东300，a的大小是3km/h，设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为km/h，船本身的速度为v3，那么a+ v3= v即v3= v- a，数形结合知v3的方向是北偏西600，大小是km/h.14.(1)0.5 (2) 0.5袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈

28、莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂

29、薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆