mechanics-chap1-2013

1、n关于教学方式关于教学方式：1 1）听大课；）听大课；2 2）习题课；）习题课；3 3）小班讨论课；）小班讨论课；4 4）做好笔记。）做好笔记。n关于具体目标及希望关于具体目标及希望：1 1）大二参加全国部分地区大学生物理竞赛；）大二参加全国部分地区大学生物理竞赛；2 2）大三参加中国大学物理学术竞赛；）大三参加中国大学物理学术竞赛；3 3）好的绩点，为继续深造打好储备；）好的绩点，为继续深造打好储备；4 4）批判性思维，边学边研，滚雪球。）批判性思维，边学边研，滚雪球。关于内容： 运用矢量和微积分：新视角 守恒律：从不变中找到变化的规律 万有引力：自然法则力学典型问题：刚体平面平行运动 振动

2、与波：力学成功的范例 关于任课教师关于任课教师包景东：物理系包景东：物理系2 2级教授、博士生导师、物理学与核科学学位级教授、博士生导师、物理学与核科学学位分会主席。分会主席。19841984年年7 7月本科毕业于武汉大学物理系月本科毕业于武汉大学物理系19921992年博士毕业于中国原子能科学研究院年博士毕业于中国原子能科学研究院19961996年在日本京都大学理论物理研究所博士后出站年在日本京都大学理论物理研究所博士后出站获得的主要奖励：获得的主要奖励：1) 1) 中国青年科技奖中国青年科技奖 （19961996年）年）2) 2) 德国学术交流研究奖德国学术交流研究奖 （20072007年

3、）年）3 3）世界青年气象学家奖提名）世界青年气象学家奖提名 （19941994年）年）4 4）北京市高等学校教学名师）北京市高等学校教学名师 （20132013年）年）5) 5) 全国宝钢优秀教师奖全国宝钢优秀教师奖 （20132013年）年）6 6）教育部跨世纪优秀人才）教育部跨世纪优秀人才 （20002000年）年）7 7）国务院政府特殊津贴专家）国务院政府特殊津贴专家 （20022002年）年）8 8）北京市高等教育教学成果一等奖）北京市高等教育教学成果一等奖 （20122012年）年）9 9）中国气象学会青年科技一等奖）中国气象学会青年科技一等奖 （19931993年）年）1010）

4、中国原子能科学研究院青年论文一等奖）中国原子能科学研究院青年论文一等奖 （19891989年）年）1111）国家精品视频公开课主讲人）国家精品视频公开课主讲人 （20142014年）年）1212）国家级规划教材主编）国家级规划教材主编 （20142014年）年）主要学术任职主要学术任职:1）国家自然科学基金委员会数理学部学科评议组成员）国家自然科学基金委员会数理学部学科评议组成员2）中国核物理学会理事）中国核物理学会理事3）中国计算物理学会理事）中国计算物理学会理事4）中国大学生物理学术竞赛执委）中国大学生物理学术竞赛执委5）全国高等学校统计物理，计算物理教学）全国高等学校统计物理，计算物理教

5、学 两个委员会副主任两个委员会副主任6）全国蒙特卡罗方法委员会副主任）全国蒙特卡罗方法委员会副主任7）大学物理大学物理副主编副主编8）原子核物理评论原子核物理评论编委编委9）计算物理计算物理编委编委10）北京师范大学基础人才培养专家委员会委员）北京师范大学基础人才培养专家委员会委员一、什么是力学？一、什么是力学？这个问题最浅显的答案是：一切运动都有它的原因，这个原因就是力。这个问题最浅显的答案是：一切运动都有它的原因，这个原因就是力。关于运动及其产生运动的原因的学问就是力学。这样，力学有两个含义：关于运动及其产生运动的原因的学问就是力学。这样，力学有两个含义：(1) (1) 对运动本身的表象描

6、述；对运动本身的表象描述；(2)(2)对运动原因的内在属性的表述。对运动原因的内在属性的表述。教育部高等学校物理学教学指导委员会对力学课程的定义和要求是：教育部高等学校物理学教学指导委员会对力学课程的定义和要求是：“力学是研究物体机械运动规律的基础课程。通过该课程的学习，学生力学是研究物体机械运动规律的基础课程。通过该课程的学习，学生理解和掌握由实验和观测总结的机械运动基本规律，以及运用数学方法理解和掌握由实验和观测总结的机械运动基本规律，以及运用数学方法进一步导出力学规律，并学会利用基本和导出规律解决力学问题。进一步导出力学规律，并学会利用基本和导出规律解决力学问题。”中国力学学会如是说：中

7、国力学学会如是说：“力学是自然科学中最重要的一门基础学科，也力学是自然科学中最重要的一门基础学科，也是与工程建设联系最为紧密的一门学科。力学在各种科学知识的普及中是与工程建设联系最为紧密的一门学科。力学在各种科学知识的普及中起着最为基础的作用。人们只有对力学有一定程度的理解，才能够深入起着最为基础的作用。人们只有对力学有一定程度的理解，才能够深入理解其他门类的科学知识。理解其他门类的科学知识。”二、力学的分类与地位二、力学的分类与地位力学可以按运动的表象分类：如固体力学、流体力学、空气动力学、生物力力学可以按运动的表象分类：如固体力学、流体力学、空气动力学、生物力学、断裂力学、岩石力学、土力学

8、。也可以按运动原因的内在属性分类：如学、断裂力学、岩石力学、土力学。也可以按运动原因的内在属性分类：如连续介质力学、电动力学、等离子体力学等。在近代，可以按是否有工程属连续介质力学、电动力学、等离子体力学等。在近代，可以按是否有工程属性而分类为：工程力学、纯粹力学、应用力学等。还可以按研究手段分类为：性而分类为：工程力学、纯粹力学、应用力学等。还可以按研究手段分类为：计算力学、理性力学、几何力学等。计算力学、理性力学、几何力学等。力学这个学科的大起是在第一次工业革命后。很多的社科词汇带有那个时代力学这个学科的大起是在第一次工业革命后。很多的社科词汇带有那个时代气息：如，生产力、活力、能力。但是

9、，在第二次工业革命期间，电力、磁气息：如，生产力、活力、能力。但是，在第二次工业革命期间，电力、磁力概念被取代，出现了场的概念，能量守恒概念的地位提高了，而动量守恒、力概念被取代，出现了场的概念，能量守恒概念的地位提高了，而动量守恒、角动量守恒的地位下降了，为了强调这种差别性，有时尽可能不使用力学这角动量守恒的地位下降了，为了强调这种差别性，有时尽可能不使用力学这个词。如，电磁场论取代了电动力学。个词。如，电磁场论取代了电动力学。这样，就抽象面上来说，力学就被贬低为与具体对象或工程相联系的学问。这样，就抽象面上来说，力学就被贬低为与具体对象或工程相联系的学问。另一方面，也是出于物理学研究对象越

10、来越远离日常生活中的现象。在这另一方面，也是出于物理学研究对象越来越远离日常生活中的现象。在这层意义上，力学就是日常生活中常见物体（物质）的物理学。层意义上，力学就是日常生活中常见物体（物质）的物理学。此后，尤其是量子力学、广义相对论建立以后，力学就开始地位大落了。此后，尤其是量子力学、广义相对论建立以后，力学就开始地位大落了。力学，从它的产生之日起就是与工程直接联系在一起，从而，未来的力学力学，从它的产生之日起就是与工程直接联系在一起，从而，未来的力学就是在物理学与工程科学间的基础科学，起桥梁作用。就是在物理学与工程科学间的基础科学，起桥梁作用。基本粒子的碰撞实验，能量守恒基本粒子的碰撞实验

11、，能量守恒+ +动量守恒的结果是：角动量（自旋）动量守恒的结果是：角动量（自旋）守恒并不是它们的导出律。同样的，能量守恒守恒并不是它们的导出律。同样的，能量守恒+ +角动量守恒的结果是，动角动量守恒的结果是，动量守恒也不是它们的导出律。也就是说，三者在哲学上是有独立的基础地量守恒也不是它们的导出律。也就是说，三者在哲学上是有独立的基础地位的。由于这个原因，力学的观点和方法再次地被重视起来。位的。由于这个原因，力学的观点和方法再次地被重视起来。物理学和应用物理学专业的教学规范指出：物理学和应用物理学专业的教学规范指出：“力学是培养学生的逻力学是培养学生的逻辑思维及接受新事物的能力，为后续课程的学

12、习奠定扎实的物理基辑思维及接受新事物的能力，为后续课程的学习奠定扎实的物理基础础”。三、生活经验与力学知识研究力学的时候，我们会惊奇地发现，在许多很简单的事情上我们的日常感觉研究力学的时候，我们会惊奇地发现，在许多很简单的事情上我们的日常感觉与科学竟然相去甚远。这里有一个明显的例子。假如有一个定常的力作用于一与科学竟然相去甚远。这里有一个明显的例子。假如有一个定常的力作用于一个物体，那么物体应该如何运动呢？个物体，那么物体应该如何运动呢？“常识常识”告诉我们，这个物体应该一直以告诉我们，这个物体应该一直以相同的速度运动，即做匀速运动。不过，力学却告诉我们，完全不是这样的。相同的速度运动，即做匀

13、速运动。不过，力学却告诉我们，完全不是这样的。一个恒定不变的力所产生的不是匀速运动，而是加速运动，因为这个力在原来一个恒定不变的力所产生的不是匀速运动，而是加速运动，因为这个力在原来积累的速度上不断地补充着新的速度。难道说日常生活中的观察结果大错特错积累的速度上不断地补充着新的速度。难道说日常生活中的观察结果大错特错了吗？不！这些观察并非完全错误，只不过它们是在极其有限的范围里发生的了吗？不！这些观察并非完全错误，只不过它们是在极其有限的范围里发生的现象。现象。日常观察的物体是在有摩擦和阻力的情况下运动的。而力学定律说的却是自由日常观察的物体是在有摩擦和阻力的情况下运动的。而力学定律说的却是自

14、由运动的物体。要使物体在有摩擦的情况下保持不变的运动速度，的确是需要向运动的物体。要使物体在有摩擦的情况下保持不变的运动速度，的确是需要向它施加一个恒定不变的力，但是这个力不是用来使物体改变运动速度的，而是它施加一个恒定不变的力，但是这个力不是用来使物体改变运动速度的，而是用来克服运动阻力的，也就是给物体创造自由运动条件的。所以，在有摩擦的用来克服运动阻力的，也就是给物体创造自由运动条件的。所以，在有摩擦的情况下，物体受到一个恒定不变的力的作用而做匀速运动是可能的。情况下，物体受到一个恒定不变的力的作用而做匀速运动是可能的。四、力学黄金律则四、力学黄金律则“力学黄金律则力学黄金律则”告诉我们，

15、任何机器如果在力上讨了巧，则在位移长告诉我们，任何机器如果在力上讨了巧，则在位移长度，亦即用时上失利。达芬奇在四百年前的一句名言所得好，力学的定度，亦即用时上失利。达芬奇在四百年前的一句名言所得好，力学的定律律“制约着工程师和发明家，使他们不能向自己和别人许诺不可能的东制约着工程师和发明家，使他们不能向自己和别人许诺不可能的东西。西。”包景东包景东 彭彭 婧婧12质点运动学13运动学基本概念14,.,.力学：只描述物体的运动情况 而不涉及物体间的相互作用 与运动变化间的关系：探索为什么物体会运动 描述物体运动和受力的运动学动力关系学 参考物：选取的一个有固定大小和形状的物体。相对参考物，可以确

16、定其它物体的位置。参考空间：将参考物沿左右、前后、上下三对方向无限扩展，构成三维平直空间。参考系：参考空间 测量时间的时钟运动学基本概念15:.:.坐标系：在参考空间中任选一点作为原点， 可建立各种坐标系。时间的零点也可任选具有质量而无形状和大小的点 （由繁到简将物体模型化为一个点)几个质点组成的系统质点质点组xzy运动学的研究方法16： 先研究轨迹，再来分析速度。认为轨迹是最基本的，速度则次之。这种方法的特点是先研究运动的大的整体方面，然后再涉及局部细节。这是人们早期研究机械运动所走的一条路，符合人们的认识过程。从大到小： 先研究局部细节，再来分析整体。认为瞬时、局部情况更为基本，弄清瞬时、

17、局部的变化情况之后再来讨论整体运动。这是牛顿创建的方法，也是现代物理学的一个基本方法。从小到大质点运动的矢量描述17OrOPrrerre （1） 在参考系上选一个定点作为远点 ，位置矢量 其大小为 ，沿位置矢量 运动方向的单位矢量 矢量的描述不需要借助任何坐标系学方程 轨道=trrr r （随时间变化的函数关系为质点运动学方程 质点运动的轨道极为其位置矢量 的矢端曲线）质点运动的矢量描述1800()- ( )0limlimddttPtrr ttr tsrrstrsrs（2） 质点 在时间 内的位移：该时间间隔内位置矢量的增量 描述了质点位置的改变（大小、方向）路程是一个恒正的标量是位移的大小，

18、一般情况下 当时，有即位移 路程质点运动的矢量描述190000()- ( )=0()- ( )d=lim=lim=dsd=lim=lim= d ttttrr ttr tPttttrr ttr trrtttrssttt（3）质点 在时间 内的平均速度 如果，则可以精确描述质点运动的快慢和方向沿轨道切线指向质点运动前方速度矢量大小曾为平均速度 瞬时速度 速率速率质点运动的矢量描述20220=()- ( )=0dd=lim=dd tPtttttatttrarttta （4）质点 的速度是时间平均加速度 瞬时加速的矢量函数（）定义平均加速度为速度的平均变化率 瞬时加速度为平均加速度当时的极限 指向轨道

19、凹侧度质点运动的矢量描述210=d=lim=d tt=tra raar rrr ratt （5）描述任意时刻质点位置，其矢端曲线为质点运动轨迹；且，；所以包含质点运动的全部信息，成为运动方程。思考：判断以下表达式的正误（1），（2） ，（运动学方程（ ）（）3，（4）2.3,2.4 质点的直线运动22=tr rra r 运动学方程，：（，）；( )x t()x ttx( ) ,( ),()( )(xxxxOxrx t iv ix t iara ix t ixx t vx tax tx研究直线运动，沿质点运动轨迹建立坐标系则运动学方程简化为，；只有 方向的运动，简化，0000( )( )( )(

20、)xxxxxtxtttxvavx taxavxv tva t dtx txv t dtt求导数；， ， 积分质点的直线运动23 直线运动可按加速度为零、常量和变量分为： 匀速 匀加速 变三加速类直线运动00202cos()sin()cos()xAtvAtaAtx 例简谐振动：质点的直线运动2400000(,) ()tx vaab ttt例 物体在 时刻的初始运动状态为，加速度求 时刻的位置和速度先求 t 时刻的速度dvadt微分关系式 00000()vttvttdvadtab ttdt两边积分 0200022000 0001() 211() () 22ttvva tb tta tb tta t

21、b tt质点的直线运动25200001()()2vva ttb tt即：再求 t 时刻的位置dxvdt微分关系：000200001()() 2xttxttdxvdtva ttb ttdt两边积分2300000011()()()26xxv tta ttb tt物体运动的初始状态与积分常数是一一对应的质点的直线运动26(t)rvaavr解题步骤：（1）建立合适的坐标系（2）根据已知条件给出运动方程，求导数得出 和 ； 或给出加速度 ，通过积分求得 和02kk例：跳水运动员沿竖直方向入水，入水速度为，入水后浮力与重力抵消，受水的阻力而减速，其加速度的大小为， 为常数，求入水后运动员速度随时间的变化规

22、律。质点的直线运动27OOy建立坐标系：取水面 点，竖直向下为正方向建立轴2-yyakv加速度来自阻力2d=-kdyyvvt入水时t=0，vy=v00t220dd=-d=-kdkyvyyyyvvttvv00011-=1+kyyvvvvtv质点的直线运动2821=0.4kkm例：跳水运动员沿竖直方向入水，入水后浮力与重力抵消，受水的阻力而减速，其加速度的大小为，求运动员速度减为入水速度的1/10时，其入水深度？OOy建立坐标系：取水面 点，竖直向下为正方向建立轴2-yyakv加速度来自阻力2d=-kdyyvvt分析：求深度，试图在深度与速度之间建立联系质点的直线运动29=( ),( )yyyyv

23、vyvvyyy t随着运动员的入水深度的增加， 也相应的发生变化因而将 看成 的函数，ddddd=dddyyyyvvvvttyyy导数运算法则2d=-kdyyyvvvy01ln |ydxxCvvx利用积分公式和初始条件t=0,-k0= eyyvv0/105.67yvvym当时，质点的直线运动30000000002000002200( )()1( )( )()()22-2 ( -)xxtttttvxaavxv tvadtva ttx txv t dtxv tta ttvva x x初始时间为 初始速度为 ，初始位移为 ，加速度为的匀变速直线运动方程, 积分，消去上 式中的时间得本题中建立坐标系为

24、本题中建立坐标系为y y方向，因而上式中方向，因而上式中x x用用y y取代取代20000001( )-g()( )()-g()2v tvtty tyv tttt，质点的直线运动31统一坐标法：对于一个问题中不同质点，不同运动阶段建立统一的时空坐标。关键是利用坐标系来研究问题。00m=19.6m/s1,121例：甲立于9.8 的高台上，以的速度竖直上抛小球秒后乙从地面地沿同一竖直线以相同速度上抛小球 ，忽略空气阻力。求：(1)小球 相对于甲上升的最大高度；(2)1、2两球相遇时相对于甲的高度；(3)小球2由抛出到相遇走过的路程。质点的直线运动3210Oyt 建立坐标法：以小球1抛出点为远点，竖

25、直向上为正方向建立坐标系，小球 抛出时为计时起点10101 0020202 000(1)10,0,(2)21 ,-9.8 ,-yytyvts ymvvg分析：已知条件小球 的初始条件为小球 的初始条件为小球以 为初速度， 为加速度做匀变速直线运动质点的直线运动332101011( )-g( )-g2v tvty tv tt对小球 ：，210120012( )-g(1)( )(1)-g(1)2v tvty tyv tt对小球 ：，1102101( )0( )-0121( )-19.62v tv tvgttsy tv tgtm（）小球上升到最大高度是，利用得到带入球 的位移公式1222020012

26、2( )=( )11-(1)-g(1)3.5=8.575m22y ty tv tgtyv tttsyy （ ）2小球相遇时上升，即，质点的直线运动34132( )0 2(3)9.8 (19.6 )23.520.5(9.8-8.575)19.6(9.8-8.575)20.825v tstsmmssmmmm（ ）小球 上升到最大高度是， 后 即时到达最高点位移为实际走过的路程为；球相遇于时刻，即在球 到达最高点回落阶段，这内走过总路程为计算质点的路程需要分析质点实际的运动轨迹！计算质点的路程需要分析质点实际的运动轨迹！质点的直线运动35作业作业: P56 2.2.6, 2.3.5, 2.4.3;

27、2.4.5,2.4.7要求：统一坐标法要求：统一坐标法计算过程中尽量不要使用已经推导出来的直线运计算过程中尽量不要使用已经推导出来的直线运动的位移和速度方程，从最原始的动的位移和速度方程，从最原始的=tr rra r 运动学方程，：（，）；出发，推出所需要的位移，速度和时间关系，通出发，推出所需要的位移，速度和时间关系，通过练习，掌握微积分思想。过练习，掌握微积分思想。2.6,2.7平面曲线运动36直角坐标系直角坐标系自然坐标系自然坐标系极坐标系极坐标系平面曲线运动37在质点运动的平面上建立直角坐标系Oxy位置矢量rxiyj( )rr t质点的平面曲线运动方程这个运动方程有两个分量式( ),(

28、 )xx tyy t平面曲线运动可正交地分解为两个直线运动平面曲线运动可正交地分解为两个直线运动质点的位置与坐标(x, y)一一对应( )( )( )r tx t iy t jxyO( )r tP平面曲线运动38速度drdxdyvijrdtdtdt22yxdvdvdvd raijrdtdtdtdtt 时刻质点位于P处，位置矢量t + dt 时刻质点运动到Q处，位矢( )r t()r tt位移()( )rr ttr t 加速度xyO( )r t()r ttrxiyjPQ平面曲线运动39cossin,(1)(2)(3)ratibtjabaa例：已知质点运动学方程为其中 、 、 均为正值常量，试求质

29、点轨迹方程质点 、 随时间的变化规律证明 指向坐标原点cossincos,sinratibtjxat ybt消去t，得到轨迹方程22221xyab质点的轨迹为椭圆平面曲线运动40cossinratibtj对求导可得(sin )cos(cos )sinxxxx 利用导数公式 -sincosratibtj22-cossinaatibtj2222-cossin=( cossin)aatibtjatibtjr ar可知 与 反向，指向坐标原点平面曲线运动41例：讨论不考虑空气阻力的斜向上抛体运动，求其运动学方程，轨迹方程，水平射程和射高？g0分析：斜抛运动，质点加速度大小为 ，方向竖直向下，初始速度，

30、与水平轴夹角为OxyOOxOy建立坐标系：运动平面为平面，抛出点为原点 ，轴沿抛出方向，轴竖直向上0;xxaxag 0000000,0,cos ,sinxytxyvvvv初始条件平面曲线运动420;xyaxag 对积分2001cos,sin2xt ytgt 22202tan2cosgtyxx消去上 式中的（轨迹方程）0yx水平射程即：位移时，水平位移 (最大值)201sin02ytgt 02sintg 200sin2cos=xtg此时平面曲线运动430y射高即竖直方向速度为 时对应的 方向的位移yag 对积分0sinyvgt0sin=0yvgt令0sin=0yvgt令201sin2ytgt 代

31、入220sin2yg平面曲线运动442tantan100例：讨论不考虑空气阻力的斜向上抛体运动:由倾斜角为 的斜面底部，以向斜面上方抛出一个小球，与斜面夹角为 ，若小球垂直击中斜面，证明OxyOOxOyOxOxy运动平面为平面，抛出点为原点 ，轴沿斜面向上，轴垂直于轴向上建立直角坐标系平面曲线运动45sincosaggigj 加速度为0000( )( )( )( )ttxxttavxv tva t dtx txv t dt 积分: ，220011cossin,sincos22xtgtytgt 0,0 xy垂直击中斜面，即00cossin,sincosxygtgt2001cossin0,sinc

32、os02xgtytgt ,2tantan1t消掉 得v平面曲线运动4612例：空心入篮，抛射角2211cossin2xvtgt2211sincos2yvtgt0y 212 sincosvtg22111cossin(2)sinAgxv无极大值，但有极小值10452极小值对应的抛射角xy水平线12xAA作业作业: P58 2.5.1, 2.5.3平面曲线运动47自由度：确定物体的运动状态所需的独立坐标的数目。质点在Oxy平面内运动，如果已知轨迹方程为f(x,y)=0(限定在一条曲线上运动)，这时的独立变量只有一个，可选用自然坐标描述平面曲线运动48在质点运动的轨迹上任选一点O作为原点(弧长起算点)

33、，沿轨迹规定一个弧长正方向，则可用由原点到质点所在地的弧长s(可正可负)来描述质点的位置s=s(t)弧长方程弧长方程与轨迹方程一起等效于运动方程，给出了质点运动学的全部信息。tnee沿轨道切线方向建立单位矢量 ，指向于弧长正方向一致，沿垂至于切线的法线方向建立单位矢量 ，指向轨道凹侧。平面曲线运动49, ,P(tni j kee 不同于直角坐标系的单位矢量()为恒矢量,的方向随质点 的运动，)而改变。,0tntaeeasse把沿单位矢量 ， 的方向作正交分解，得到的自然坐标表达式， 沿轨道切线方向，其大小当时， 与 同向，反之反向,tttttnnv ese aa ea etnaa其中 称为切线

34、加速度，为法向加速度平面曲线运动50以O1为原点，规定弧长正方向如图示，建立自然坐标01200=lim=lim+limtttatttOAB和ACD均为等腰三角形，顶角AOB= CAD= 平面曲线运动511 ABOABACDR 21100=limlim ttABatRtR1210,ntaaeR当时，沿法向方向，为法向加速度或向心加速度222220d=(t+ t)-(t)=limdttttaaatt：22d0,=d=ttttttttaeaesea et，当时， 沿切线方向即，平面曲线运动5222td+=dtntnaeeseetRR +2tnseeR切向加速度是因为速度的大小发生变化而产生的加速度分

35、量，法向加速度是由于速度的方向发生变化产生的加速度分量=t平面曲线运动531P质点做一般曲线运动时，在轨道上， 点的曲率圆对于的半径为曲率半径 曲率，曲线可以看成无数个曲率圆组成22td+=dtntnaeeseeRtRR将+中 用每点曲率半径替代22td+=dtntnaeeseet推广得+2ne一般而言，法向加速度指向曲率圆中心平面曲线运动54计算曲率半径的运动学方法计算曲率半径的运动学方法（1）假设一种沿曲线的简单运动（2）计算各点的速度（3）计算各点的加速度（4）计算与速度方向垂直的加速度分量，即向心加速度（5）计算曲率半径2va心平面曲线运动55例例 椭圆半长轴和半短轴处的曲率半径椭圆半

36、长轴和半短轴处的曲率半径假设一沿轨道的运动假设一沿轨道的运动cos,sinxAtyBt求速度和加速度（求导）求速度和加速度（求导）22sin,coscos,sinxyxyvAtvBtaAtaBt 求向心加速度求向心加速度在(A, 0)处2aA心，cos t=1在(0, B)处2aB心,sin t=1带入曲率半径公式?,2BAABBA2AB心av2自然坐标系中，向心加速度取其大小，而方向总是指向曲率圆中心平面曲线运动5613302(3) - 0.21tORmOsm stm stts例：质点于时自 点进入的圆形轨道，以 为自然坐标原点规定弧长正方向如图，弧长方程试求时质点的速度和加速度。2,ttt

37、tnsv ese aseeR +1323132 2(3)(0.6) (-1.2)3)(0.6) 2ttnm sm st eam stem sm ste代入t=1s122(2.4)( 1.2)(2.9)tttttnv esem seam sem se 平面曲线运动570,0;0,0;0,0;0,0;tntntntntn思考：如果质点的切向加速度a 和法向加速度a 为以下情况，试问质点做何种运动？（1）aa（2）aa（3）aa（4）aa2tnseeR切向加速度是因为速度的大小发生变化而产生的加速度分量，法向加速度是由于速度的方向发生变化产生的加速度分量作业：P58 2.6.1,2.6.2平面曲线运

38、动58极坐标系( ( ), ( )r tt基矢( ,)re e 任意矢量的分解( , , )rrA rtA eA e与直角坐标系的变换cossin xryr选定参考点和参考方向质点的位置到参考点的距离r到参考点的连线与参考方向的夹角( )r tree平面曲线运动59正交基矢只依赖 ，与 r 无关，质点P处于不同位置，基矢量不同= ( )=( )rreeee, ,P,),rrrae er arae e 在我们定义的极坐标系下，对矢量做正交分解：指沿 点所在处的(进行正交分解，因此根据定义求时，必须要考虑就地的变化平面曲线运动60,=cossin,sincosrreei jeij eij 将 和

39、沿方向正交分解，得d=-sincosddcossindrreijeeije 平面曲线运动61dd=,ddrreeee dddd()+ddddrrrrrreerererrerrer ettt,rrr22dddd()dddd-=( -)(2)rrrrrreearer ererr er erttrer er er e rer rerrett22-,1 d2()drar rarrrrt平面曲线运动62222,xyRsa 质点做圆周运动，其运动轨迹方程为，只需要一个独立变量描述质点的运动。前面选取了弧长 为基本变量，从而得线到，称为量描述。-也可以选取角量 为基本变量，用 和 描述圆周运动 角量描述22/ttnrsvvsRaavtsRaaRR 建立极坐标系和自然坐标，规定弧长 正方向与极角 正方向一致 22,-,1 d2()drrrrar rarrrrt平面曲线运动63-也可以选取角量 为基本变量，用 和 描述圆周运动 角量描述222/ttnrvvsRaavtsRRRaaRRR 角速度ddt角加速度22dddtdt平面曲线运动64ESa例：地球 受万有引力作用，绕太阳 作平面椭圆轨道运动，已知地球的加速度 恒指向太阳，试证明：由太阳指向地球的位置矢量在单位时间内扫过的