向量组的秩-例题选讲

1、1 = 0 0 , 2l 设有设有n维向量组成的向量组维向量组成的向量组: 1, 2, m(1)包含包含0向量向量线性相关线性相关(2)包含成比例的向量包含成比例的向量线性相关线性相关.(3)线性相关线性相关存在一个向量可由其余的存在一个向量可由其余的 向量线性表示向量线性表示.(4)线性无关线性无关任何向量都不能由其余的任何向量都不能由其余的 向量线性表示向量线性表示.(m 2)增加增加( (减少减少) )个数不改变相个数不改变相( (无无) )关性关性. .(5)(6)增加增加( (减少减少) )维数不改变无维数不改变无( (相相) )关性关性. .3(7) 向量组向量组 1, 2, m线

2、性相关性线性相关性x1 1+x2 2+xm m=0有非零解有非零解齐次线性方程组齐次线性方程组AX=0有非零解有非零解其中其中A=( 1 2 m), X=(x1,x2,xm)T(8)设有设有n个个n维向量维向量 1, 2, nu 1, 2, n线性相关线性相关| 1 2 n|=0u 1, 2, n线性无关线性无关| 1 2 n| 0(9) Rn中中 n+1个向量一定线性相关个向量一定线性相关(10)矩阵判别法矩阵判别法.45设设S S是是n维向量构成的向量组维向量构成的向量组, ,在在S S中中选取选取r个向量个向量 , ,如果满足如果满足r ,21,r 12(1) (1) 线性无关线性无关

3、, 12r(2)(2)任取任取 S S,总有总有 线性相关线性相关. .r ,21则称向量组则称向量组 为向量组为向量组S S的一个的一个( (简称简称).).r 记为记为r 或或= r6 1 = (1, 1, 1)T, 2 =(2,1, 0)T, 3 =(3,2,1)T 1 , 2 1 , 2, 1 , 3 2 , 3. . 1, 2 , 3 =2. 3 = 1+ 27 n 1, 2, m 1, 2, m , 1, 2, m 1, 2, m, 存在不全为零的数存在不全为零的数k1,k2,km,l 11220mmkkkll 08如果如果 l =0k1, k2,km 1, 2, , m l 0

4、11220mmkkk 1212mmkkklll 1, 2, , m9假若假若 有两种表示法有两种表示法, ,设设 1122mmkkk 1122mmlll()()() 1112220mmmklklkl 1, 2, m (1,2,)iiklim 1, 2, m 10n(I)(II)(I)(II).(I)(II)(I)(II).,;12(I) r,12(II) s12()s 11121212221212()ssrrrrskkkkkkkkk n;,(I)21r .,(II)21s rrssssrrrrkkkkkkkkk 22112222112212211111(, , ;, , )1 21 2ijk

5、ir js , ,rsK, , Bns =Anr r sK(II)(I)(I)12,rrm 121(I),r 12(II),(I)131101000rrmii (II)(I) i ( i = 1,2,r) (II)1 1, 2 , mr+1(I)(II) j (I)(I) j=1,r, j 1, 2 , r j=r+1,m, 1, 2 , r , j j ( j=r+1,m) 1, 2 , r 线性表示线性表示(I)(II)14(I) (II)1(I)(II)(I)(II)n : :12,;(I)r 12,(II)s (I)(I)(II) r s .151212( ,) ( ,)rs (I)(

6、II) 111212112211 rrssrsrskkkkkkr s,12 r111212122212rrsssrkkkkkkkkk12( ,)r r() r BK() r Ksr( (I) )(II)16若若(I)、(II)都线性无关都线性无关, ,且且(I)与与(II)等价等价, ,则则 r = s .向量组的向量组的两个极大无关组所含向量个数相等两个极大无关组所含向量个数相等若若(I)可由可由(II)线性表示线性表示, ,则则(I)(II) .(I)(II)r s(I)等价的无关向量组必然等秩等价的无关向量组必然等秩17(I)r(II)s( (I ) ),( (II ) )(I), (I

7、I)( (I ) ), ( (II ) )r s( (I ) )(I) (I)(II)(II)( (II ) ) ( (I ) )( (II ) )4.3r s等价的向量组等秩等价的向量组等. 1, 2, 3 1, 2, 3 1 1, 2 2, , 3 1, 2, 311231()2 21231(),2 31231()2 r( 1 2 3)=3r( 1 2 3 ) =3 1, 2, 3 191231231 0 1() 1 1 00 1 1 =(1 0 11 1 0200 1 112312311 0 1)() 1 1 00 1 1 ( 123123)()3.rr ( 1

8、, 2, 3 20m ,21r(Anm)=Ar(A)=r,r, m ,21 r. .m ,21r(A)= rAr Dr 012,riii Dr r 是是r 维维线性无关向量的接长线性无关向量的接长, ,仍线性无关仍线性无关. .riiij ,21, jA21 j 不不在在 i1 , i2 , ,ir 中中, , j 在在 i1 , i2 , ,ir 中中; ; 线性相关线性相关. .riiij ,21r+1r+1列对应的子矩阵记为列对应的子矩阵记为A1 ,r(A1) r(A)= r r +1riiij ,21 线性相关线性相关, ,12,riii 是一个极大无关组是一个极大无关组. .12(,

9、)( )m rrr Ar(A)= A= A由由 , ,又有又有 A 的行秩的行秩. . ( )()Tr Ar A( ) r A22AB=0B = 0l若若B的行向量组线性无关的行向量组线性无关, ,则则A 0.B 0 则则A的列向量组线性相关的列向量组线性相关. .l若若A 0 则则B的行向量组线性相关的行向量组线性相关. .B=(B1,B2,Bm), AB=0ABi=0.A的列向量组线性无关的列向量组线性无关AX=0Bi=0, i=1,mB=0其余情况可以类似得到其余情况可以类似得到23将将),(21m ),(21m A=B行行秩秩等等; ;极大无关组的位置对应相同极大无关组的位置对应相同;

10、 ;表示系数表示系数对应相同对应相同当当 时时, ,1mijjjj ik 1mijjjj ik n维列向量组维列向量组S:12,m 则则向量组向量组 与与12,m 12,m A24A123412 1 014 1 413 0 2 AA12 1 012 1 014 1 402 2 413 0 201 1 2A2512 1 012 1 0022 4011 2011 2000 012342r 32142132412, 1 0 3 41 03401 1 20 11200 0 00 000B261 1 10 01 10 0=，=2 1 11 10 00 03 =2 21 11 10 04 =0 00 01

11、 11 1， 求向量组的求向量组的(1)(1)秩秩;(;(2)2)极大无关组极大无关组; ;(3)(3)表示系数表示系数. .设设1 1 2 01 1 2 00 1 1 00 1 1 01 0 1 11 0 1 10 0 0 10 0 0 1),(4321 A=432, 是该向量组的一个极大无关组是该向量组的一个极大无关组. . 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 10 0 1D=1010由由而而|A|=0知秩知秩=3, ,27设设),(4321 A=1 1 2 01 1 2 00 1 1 00 1 1 01 0 1 11 0 1 10 0 0 10 0 0 1=1 1 2

12、 01 1 2 00 1 1 00 1 1 00 0 0 10 0 0 10 0 0 00 0 0 0行行A1 0 1 01 0 1 00 1 1 00 1 1 00 0 0 10 0 0 10 0 0 00 0 0 0行行),(4321 =B=421, (2) 是该向量组的一个极大无关组是该向量组的一个极大无关组, ,431, 432, ( ( 和和 也是也是) ). .31240 (3)(1) 秩秩 = 3; ;),(4321 28一、一、A=BC二、二、 S(1)(1)(2) (2) S, , (3) (3) S 极大无关组极大无关组(4) (4) S的各的各极大无关组含向量个数相等极大

13、无关组含向量个数相等 -秩秩三、三、重要结论重要结论Th4.2Th4.3(I)(II)(I)r s(I)(II)(I), ,(II)r = s推推2推推3(I)(II)秩秩(I)秩秩(II)组组(I)与与(II)等价等价秩秩(I) = 秩秩(II)四、四、Th4.42930e1,e2,2e2e1 e2, 2e2eii31 1, 2 1, 2 1+ 1, 2+ 2(1,0), (2,0)(0,1),(0,3)(1,1), (2,3) 1, 2, 3 3+ 1 1 2, 3 1+ 2, 2+ 3, 3+ 1 2, 332 1, 2, m 1, 2, m ,123101011 ,312, 123所以

14、所以 线性相关线性相关. 反例反例33 , , , , , , , , , , , , 34设向量组设向量组 与与 1, 2, m, 1, 2, m的秩相等的秩相等,证明两向量组等价证明两向量组等价. ( (I):): ( (II):): 1, 2, m, 1, 2, m ,R( (I)= )= R( (II)=)=r 1, 2, r( (I) )( (I) )( (II) ), 1, 2, r ( (II) ), , 1, 2, r 也能由也能由( (I) )所以所以( (I) )与与( (II) )等价等价.( (I) )能由能由( (II) ) ( (I) )35 1, 2, m 1, 2, s 1, 2, m 1, 2, s,. 设设( (I):): ( (II):): 1, 2, s 1, 2, m ,R( (I)=)=R( (II)=)=r( (I) )能由能由( (II) )( (I ) ) ( (II ) )( (I ):): 1, 2, r为为