最大值与最小值190376实用教案

1、会计学1最大值与最小值最大值与最小值190376第一页，共16页。洪泽洪泽(hn z)外国语中学外国语中学 程怀宏程怀宏第1页/共16页第二页，共16页。二、新课二、新课最大值与最小值最大值与最小值x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y y 观察观察(gunch)右边右边一个定义在区间一个定义在区间a,b上上的函数的函数y=f(x)的图象，你的图象，你能找出函数能找出函数y=f（x）在）在区间区间a，b上的最大值上的最大值、最小值吗？、最小值吗？发现发现(fxin)图中图中_是极小值，是极小值，_是是极大值，在区间上的函数的最大值是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最

2、小值是，最小值是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况问题在于如果在没有给出函数图象的情况(qngkung)下，怎样才能判断出下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ 第2页/共16页第三页，共16页。一、是利用函数性质一、是利用函数性质二、是利用不等式二、是利用不等式三、今天三、今天(jntin)学习利学习利用导数用导数 求函数最值的一般求函数最值的一般(ybn)方法：方法：第3页/共16页第四页，共16页。 (2)将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)比较比较(bjio)，其，

3、其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值中最大的一个为最大值，最小的一个最小值 f(x)在闭区间在闭区间(q jin)a,b上的最值：上的最值：(1)求求f(x)在区间在区间(q jin)(a,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)表格法表格法(如果在区间a,b上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值)第4页/共16页第五页，共16页。例例1、求函数、求函数f(x)=x2-4x+3在区间在区间(q jin)-1，4内内 的最大值和最小值的最大值和最小值 法一法一 、 将二次函数将二次函数(hnsh)f(x)=x2-4x+3配配方，利用二次函数方，利用二

4、次函数(hnsh)单调性处理单调性处理第5页/共16页第六页，共16页。例例1 求函数求函数f(x)=x2-4x+3在区间在区间(q jin)-1，4内的最值。内的最值。 故函数故函数(hnsh)f(x) 在区间在区间-1，4内的内的最大值为最大值为8，最小值为，最小值为-1. 解法解法(ji f)二、二、 f (x)=2x-4令令f (x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2x-1 （-1，2）2（2，4）4y，0y-+83-1第6页/共16页第七页，共16页。 一般一般(ybn)地，求函数地，求函数y=f(x)在在a,b上的最大值与最小值上的最大值与最小值的步骤如下：的步骤如下：:求求y=

5、f(x)在在(a，b)内的极值内的极值(j zh)(极大值与极小值极大值与极小值); :将函数将函数y=f(x)的各极值与端点的各极值与端点(dun din)处的处的函数值函数值f(a)、f(b) 比较比较,其中最大的一个为最大值其中最大的一个为最大值,最小最小的一个为最小值的一个为最小值. 求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)函数的函数的极值是极值是在局部范围内讨论问题在局部范围内讨论问题,是一个是一个局部概局部概 念念,而函数的而函数的最值最值是对整个定义域而言是对整个定义域而言,是在整体范围是在整体范围 内讨论问题内讨论问题,是一个是一个整体性的概念整体性的

6、概念.(2)闭区间闭区间a,b上的连续函数一定有最值上的连续函数一定有最值.开区间开区间(a,b)内内 的可导函数不一定有最值的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值但若有唯一的极值,则此极则此极 值必是函数的最值值必是函数的最值.第7页/共16页第八页，共16页。 (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值而函数的极值(j zh)则可能不止一个则可能不止一个,也可能没有极值也可能没有极值(j zh),并且极大值并且极大值(极小值极小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小值最小值),但除但除端点外在区间内部的最大值端点外在区

7、间内部的最大值(或最小值或最小值),则一定是极大值则一定是极大值(或极小值或极小值). (4)如果函数不在闭区间如果函数不在闭区间a,b上可导上可导,则在确定函数的最值时则在确定函数的最值时,不仅比较不仅比较(bjio)该函数各导数为零的点与端点处的值该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比还要比较较(bjio)函数在定义域内各不可导的点处的值函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题在解决实际应用问题(wnt)中中,如果函数在区如果函数在区间内只有一个极值点间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即那么要根

8、据实际意义判定是最大值还是最小值即可可,不必再与端点的函数值进行比较不必再与端点的函数值进行比较.第8页/共16页第九页，共16页。练习练习(linx)P77 1、2第9页/共16页第十页，共16页。解解:当当x变化时变化时, 的变化情况如下表的变化情况如下表:yy , 从上表从上表(shn bio)可知可知,最大值是最大值是,最小值最小值是是0.令令 ,解得解得0)( xf.34,3221 xxx 0f(x) )(xf )32, 0( )34,32( 32 34 )2 ,34( 2+-+000第10页/共16页第十一页，共16页。练习练习(linx)1:求函数求函数f(x)=2x3+3x2-

9、12x+14在区间在区间-3,4上的最上的最 大值和最小值大值和最小值.答案答案(d n):最大值为最大值为f(4)=142,最小值为最小值为f(1)=7.第11页/共16页第十二页，共16页。延伸延伸1:设设 ,函数函数 的最的最 大值为大值为1,最小值为最小值为 ,求常数求常数a,b. 132 a) 11(23)(23 xbaxxxf26 解解:令令 得得x=0或或a.033)(2 axxxf当当x变化时变化时, ,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:)(xf x-1(-1,0)0 (0,a) a(a,1) 1f(x) + 0 - 0 +f(x) -1-3a/2+b b -a3/2+

10、b 1-3a/2+b由表知由表知,当当x=0时时,f(x)取得极大值取得极大值b,而而f(0)f(a),f(0)f(-1),f(1)f(-1).故需比较故需比较(bjio)f(1)与与f(0)的大小的大小.f(0)-f(1)=3a/2-10,所以所以(suy)f(x)的最大值为的最大值为f(0)=b,故故b=1.第12页/共16页第十三页，共16页。又又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/21,0 x1,求函数求函数f(x)=xp+(1-x)p的值域的值域.说明说明:由于由于f(x)在在0,1上连续上连续(linx)可导可导,必有最大值必有最大值与最小值与最小值, 因此求函数因此求函

11、数f(x)的值域的值域,可转化为求最值可转化为求最值.解解:.)1()1()(1111 ppppxxpxppxxf令令 ,则得则得xp-1=(1-x)p-1,即即x=1-x,x=1/2.0)( xf而而 f(0)=f(1)=1,因为因为p1,故故11/2p-1.,21)21(1 pf所以所以f(x)的最小值为的最小值为 ,最大值为最大值为1.121 p从而函数从而函数f(x)的值域为的值域为.1 ,211 p第13页/共16页第十四页，共16页。练习练习(linx)2:求函数求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数是正数)在在0,1上的最上的最 大值大值.解解:.)2(2)1()(12xpxxpxfp 令令 ,解得解得.22, 1, 00)(321pxxxxf 在在0,1上上,有有f(0)=0,f(1)=0,)2(4)22(2 ppppf 故所求最大值是故所求最大值是.)2(42ppp 练习练习(linx)1:求函数求函数f(x)=2x3+3x2-12x+