理论力学14—达朗贝尔原理

1、第十三章 达朗贝尔原理 达朗贝尔原理 刚体惯性力系的简化 达朗贝尔原理为解决非自由质点系动力学问题提供了另一种普遍方法。特点：用静力学平衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题, 又叫动静法。引言 设一质点质量为m, 加速度为a, 作用于质点的主动力为F, 约束反力为FN 。由牛顿第二定律，有将上式改写成令Im Fa13.1 质点的达朗贝尔原理Nm aFF0Nm FFaFI具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为质点的惯性力。它的大小等于质点的质量与加速度的乘积, 方向与质点加速度的方向相反。mFFNFIa即：在质点运动的任一瞬时, 作用于质点上的主动力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式

2、上的平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。则有0NI FFF质点并非处于平衡状态，这样做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。达朗贝尔原理与虚位移原理构成了分析力学的基础。13.1 质点的达朗贝尔原理 例例1 球磨机的滚筒以匀角速度球磨机的滚筒以匀角速度w w 绕水平轴绕水平轴O转动转动, 内装钢球和需要粉碎的内装钢球和需要粉碎的物料物料, 钢球被筒壁带到一定高度脱离筒壁钢球被筒壁带到一定高度脱离筒壁, 然后沿抛物线轨迹自由落下然后沿抛物线轨迹自由落下, 从而从而击碎物料击碎物料, 如图。设滚筒内壁半径为如图。设滚筒内壁半径为r, 试求钢球的脱离角试求钢球的脱离角a a。 解：以某一尚未脱离

3、筒壁的钢球为研究对象解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象, 受力如图。钢球未脱离受力如图。钢球未脱离筒壁前筒壁前, 作圆周运动作圆周运动, 其加速度为其加速度为0a2wran惯性力惯性力FI的大小为的大小为假想地加上惯性力假想地加上惯性力, 由达朗贝尔原理由达朗贝尔原理0:cos0nNIFFmgFOMrwaFFNmgFI2IFmrw)cos(2wgrmgN 这就是钢球在任一位置这就是钢球在任一位置 时所受的法向反力时所受的法向反力, 显然当钢球脱离筒壁显然当钢球脱离筒壁时时, FN0 , 由此可求出其脱离角由此可求出其脱离角a a为为)arccos(2grwa 设质点系由 n 个质点组成,

4、其中任一质点i的质量为mi, 其加速度为ai, 把作用在此质点上的力分为主动力的合力Fi、约束力的合力为FNi，对这个质点上假想地加上它的惯性力FIi-miai , 则由质点的达朗贝尔原理, 有NI0(1,2, )iiiin FFF13.2 质点系的达朗贝尔原理即：质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。 把作用在第i个质点上的所有力分为外力的合力为Fi(e), 内力的合力为Fi(i)，则有(e)(i)I0(1,2, )iiiin FFF13.2 质点系的达朗贝尔原理质点系中第个质点上作用的外力、内力和它的惯性力在形式上组成平衡力系。

5、由静力学知，空间任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即(e)(i)I0iii FFF(i)(e)I()()()0iOOOii MFMFMF因为质点系的内力总是成对出现, 且等值、反向、共线, 因此有Fi(i) = 0和MO(Fi(i) = 0, 于是的有 即：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。这是质点系达朗贝尔原理的又一表述。13.2 质点系的达朗贝尔原理(e)I0ii FF(e)I()()0OiOi MFMF称FIi为惯性力系的主矢， MO(FIi)为惯性力系的主矩。OxydOR例例 2 已知：已知：m ，R， w w。求：轮

6、缘横截面的张力。求：轮缘横截面的张力。解：解： 取上半部分轮缘为研究对象取上半部分轮缘为研究对象22wRRdRmFi02sin0TiyFFFww2sin221220mRdRmFT 例例3 重重P长长l的等截面均质细杆的等截面均质细杆AB, 其其A端铰接于铅直轴端铰接于铅直轴AC上上, 并以匀角速并以匀角速度度w w 绕该轴转动绕该轴转动, 如图。求角速度如图。求角速度w w 与角与角 的关系。的关系。 解：以杆解：以杆AB为研究对象为研究对象, 受力如图。受力如图。 杆杆AB匀速转动匀速转动, 杆上距杆上距A点点x x 的微元段的微元段dx x 的加速度的大小为的加速度的大小为2)sin(wx

7、na 微元段的质量微元段的质量dmPdx x/ /gl。在该微元段。在该微元段虚加惯性力虚加惯性力dFI, 它的大小为它的大小为2ddsindInPm aglw xxFxdxdFIanwBACyxBAxdPFAxFAyFI 于是整个杆的惯性力的合力的大小为于是整个杆的惯性力的合力的大小为220sindsin2lIPPFlglgw xxw设力设力FI 的作用点到点的作用点到点A的距离为的距离为d, 由合力矩定理由合力矩定理, 有有0( cos )( cos )dlIIFdFx即2202sind23sin2lPgldlPlgw xxw假想地加上惯性力假想地加上惯性力, 由质点系的达朗贝尔原理由质点

8、系的达朗贝尔原理()0:cossin02AIlMF dPFBAxdPFAxFAyFI代入代入FI 的数值的数值, 有有0) 1cos32(sin22wglPl)23arccos(2wlg故有故有 0或或 用达朗贝尔原理求解质点系的动力学问题，需要对每个质点加上各自的惯性力，这些惯性力也形成一个力系，称为惯性力系。以FIR表示惯性力系的主矢。由质心运动定理及质点系的达朗贝尔原理13.3 刚体惯性力系的简化(e)I0ii FF得(e)IIRiiCm FFFa此式表明：无论刚体作什么运动, 惯性力系的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积, 方向与质心加速度的方向相反。13.3 刚体惯性力系的简化

9、主矢的大小和方向与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位置有关。 刚体平移时，刚体内任一质点i的加速度ai与质心的加速度aC相同，有ai aC，任选一点O为简化中心，主矩用MIO表示，有1. 刚体作平移a11FI1aiiFIiCOrCaC II()()iOiiiiiiCCCmmm MrFrarara1. 刚体作平移13.3 刚体惯性力系的简化式中，rC为质心C到简化中心O的矢径。若选质心C为简化中心，主矩以MIC表示，则rC0，有I0C M综上可得结论：平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力, 其大小等于刚体的质量与加速度的乘积,合力的方向与加速度方向相反。a11FI1aiiFIiCO

10、rCaC 2. 刚体绕定轴转动 如图所示, 具有质量对称面且绕垂直于质量对称面的轴转动的刚体。其上任一点的惯性力的分量的大小为ttIiiii iFmamrann2Iiiii iFmamrw方向如图所示。该惯性力系对转轴O的主矩为ntIII()()OOiOiMMM FF13.3 刚体惯性力系的简化FIinFIitiOMIOriwa一般证明 由于FIin通过O点, 则有 MO( FIin )= 0, 所以即IOOMJa 13.3 刚体惯性力系的简化ttIII2()()()OOiiii iii iMMFrmrrmraa F 综上：定轴转动刚体的惯性力系, 可简化为过转轴O的一个惯性力FIR和一个惯性

11、力偶MIO。力FIR的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积, 方向与质心加速度方向相反，作用线过转轴；力偶MIO的矩等于刚体对转轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积, 转向与角加速度的转向相反。讨论以下三种特殊情况：2. 当刚体作匀速转动时, a0, 若转轴不过质心, 惯性力系简化为一惯性力FI , 且FI maC, 同时力的作用线通过转轴O。1. 当转轴通过质心C时, aC0, FI0, MICJCa。此时惯性力系简化为一惯性力偶。3. 当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时, FI0, MIC0, 惯性力系自成平衡力系。 13.3 刚体惯性力系的简化3. 刚体作平面运动(平行于质量对称面）

12、 工程中，作平面运动的刚体常常有质量对称平面，且平行于此平面运动。当刚体作平面运动时，其上各质点的惯性力组成的空间力系，可简化为在质量对称平面内的平面力系。13.3 刚体惯性力系的简化 取质量对称平面内的平面图形如图所示, 取质心C为基点, 设质心的加速度为aC，绕质心转动的角速度为w，角加速度为a，与刚体绕定轴转动相似，此时惯性力系向质心C简化的主矩为ICCMJa FIRCMICaCwa综上可得结论：有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个力和一个力偶。力过质心；力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积, 转向与角加速度相

13、反。13.3 刚体惯性力系的简化ICCMJa DBA 例例3 如图所示如图所示, 均质杆均质杆AB的质量的质量m40 kg, 长长l4 m, A点以铰链点以铰链连接于小车上。不计摩擦连接于小车上。不计摩擦, 当小车以加速度当小车以加速度a15 m/s2向左运动向左运动时时, 求求D处和铰处和铰A处的约束反力。处的约束反力。 解：以杆为研究对象解：以杆为研究对象, 受力如图受力如图, 建建立如图坐标。立如图坐标。 杆作平动杆作平动, 惯性力的大小为惯性力的大小为FIma。假想地加上惯性力假想地加上惯性力, 则由质点系的达朗贝则由质点系的达朗贝尔原理尔原理()0cos30sin300222ADIM

14、lllmgFFF于是得于是得( cos30sin30 )DFm gaFIlA30DBh1maaFDmgFAxFAyxy 0sin300 xAxIDFFFF0cos300yAyDFFFmg代入数据代入数据, 解之得：解之得：617.9357.8239.47AxAyDFNFNFN DBAFIaFDmgFAxFAyxyBC ABMlC 例例4 均质杆均质杆AB长长l, 重重W, B端与重端与重G、半径为、半径为r的均质圆轮铰接。在圆轮的均质圆轮铰接。在圆轮上作用一矩为上作用一矩为M的力偶的力偶, 借助于细绳提升重为借助于细绳提升重为P的重物的重物C。试求固定端。试求固定端A的的约束反力。约束反力。

15、解：先以轮和重物为研究对象解：先以轮和重物为研究对象, 受力受力如图。假想地加上惯性力如图。假想地加上惯性力2I122BBGaGrMJragrgaICPFag由质点系的达朗贝尔原理由质点系的达朗贝尔原理aMGFBxFByMIBaPFICII()0()0BBCMMMr PFFgPGrrPMa)2()(2代入代入MIB 和和FIC得得 再以整体为研究对象再以整体为研究对象, 受力如图受力如图, 假假想地加上惯性力想地加上惯性力00 xAxFFI00yAyCFFWGPFII()0()()02AABCMlmWGlMMPFlrFBCAaMGFAxFAyMIBPFICaWmA2()(2 )AyMrPFWG

16、PPr GP()2()()2(2 )(2 )AWMrPrGMmlGMGlrPGPr GP代入代入MIB 和和FIC解得解得由质点系的达朗贝尔原理由质点系的达朗贝尔原理jOxyCBA 质量为质量为m, 长为长为l的均质直杆的均质直杆AB的一端的一端A焊接于半径为焊接于半径为r的圆盘边缘上的圆盘边缘上, 如如图。今圆盘以角加速度图。今圆盘以角加速度a a 绕其中心绕其中心O转动。求圆盘开始转动时转动。求圆盘开始转动时, AB杆上焊接杆上焊接点点A处的约束反力。处的约束反力。 解：以杆为研究对象解：以杆为研究对象, 受力如图受力如图, 建立如建立如图坐标。图坐标。t22( )2CClaaOCraa将

17、惯性力系向转轴简化将惯性力系向转轴简化, 惯性力的大小为惯性力的大小为aOrABlamgaCFIMIOFAxFAymA22( )2IClFmam ra2I22222()11()()1243OOCMJJm OClmlm rmlmraaaa 由质点系的达朗贝尔原理由质点系的达朗贝尔原理0sin0 xAxIFFFj0cos0yAyIFFFmgjCBAamgaCFIMIOFAxFAymAjOxyI()0sin02AAOIlMmMmgFrjF22sin4rlrj22cos24llrj将已知数值代入以上三式将已知数值代入以上三式, 解之得解之得AxFmra2AylFmgma21123AmmglmlarC

18、例例6 重重P、半径为、半径为r的均质圆轮沿倾角为的均质圆轮沿倾角为 的斜面向下滚动。求轮心的斜面向下滚动。求轮心C的加的加速度速度, 并求圆轮不滑动的最小摩擦系数。并求圆轮不滑动的最小摩擦系数。 解：以解：以圆轮圆轮为研究对象为研究对象, 受力如图受力如图, 建立如图坐标。建立如图坐标。 圆轮作平面运动圆轮作平面运动, 轮心作直线运动轮心作直线运动, 则则Cara将惯性力系向质心简化将惯性力系向质心简化, 惯性力和惯性力偶矩的大小为惯性力和惯性力偶矩的大小为IPFrga22IPMrgaCrFSFIMIFNPaxyaC则由质点系的达朗贝尔原理则由质点系的达朗贝尔原理0cos0 xNFFPcos

19、NFP ()00CSIMF rMF解之得解之得2sin3Cagsin3SPF由于圆轮没有滑动由于圆轮没有滑动, 则则Ff N, 即即sincos3Pf P由此得由此得1tan3f所以所以, 圆轮不滑动时圆轮不滑动时, 最小摩擦系数最小摩擦系数min1tan3f0sin0ySIFPFFrCFSFIMIFNPaxyaC例题例题 9 已知已知两均质直杆自水平位置无初速地释放。两均质直杆自水平位置无初速地释放。求求两杆的两杆的角加速度和角加速度和O、A处的约束反力。处的约束反力。解解: (1) 取系统为研究对象取系统为研究对象ABOMI1MI2mgmgFI2FI1BAOa1a20232320)(221

20、lFlmglmgMMMOF12111312aamlMlmF222212121)2(aaamlMllmF(2) 取取AB 杆为研究对象杆为研究对象MI2mgFI2FAFAxBAa20220)(22lFlmgMMAFlg32321aalglg73,7921aalg1251121aa(3) 取取AB 杆为研究对象杆为研究对象MI2mgFI2FAyFAxBAa a200002FmgFFFFAyyAxxmgFFAyAx1410 (4) 取系统为研究对象取系统为研究对象MI1MI2mgmgBAOa a1000021FFmgmgFFFFOyyOxxmgFFOyOx720 例例7 均质杆的质量为均质杆的质量为

21、m, 长为长为2l, 一端放在光滑地一端放在光滑地面上面上, 并用两软绳支持并用两软绳支持, 如图所示。求当如图所示。求当BD绳切断的绳切断的瞬时瞬时, B点的加速度点的加速度AE绳的拉力及地面的反力。绳的拉力及地面的反力。 解：以解：以AB杆为研究对象杆为研究对象,杆杆AB作平面运动作平面运动, 如如图图, 以以B点为基点点为基点, 则则C点的加速度为点的加速度为tnCBCBCBaaaa其中其中tCBalan20CBalw将惯性力系向质心将惯性力系向质心C简化简化, 得惯性力得惯性力FIFIeFIr , 其其中中FIe maB , FIr matCB mla a 和惯性力偶和惯性力偶, 其力

22、偶其力偶的矩为的矩为AECBxy30oBCAED30oFTFNmgFIeFIrMIaBaBa tCBa a2211(2 )123ICMJmlmlaaa在在BD绳切断的瞬时绳切断的瞬时, 受力如图受力如图, 建立如图坐标。建立如图坐标。由质点系的达朗贝尔原理由质点系的达朗贝尔原理II0cos300 xTerFFFFI0sin300yNrFFFmgsin300(2)NFmlmga()0cos30sin300CTNIMF lF lMFcos300(1)TBFmamla21cos30sin300(3)3TNF lF lmlaAECBxy30oFTFNmgFIeFIrMIBA30ox x以以B为基点为基

23、点, 则则A点的加速度为点的加速度为tntnAABABABaaaaa其中其中n2n2020AAABavAEalw将上式投影到将上式投影到x x 轴上得轴上得t0cos30BABaa 2cos30(4)Bala联立求解（联立求解（1）（4）式）式, 得得ggaB833302sin4332 cos308Baglla13 3216TBFmamg113tan30216NBFmgmamgaBaBa tCBa aa tA 例例8ABrRO 如图所示, 均质杆AB长为l, 重为Q, 上端B靠在半径为R的光滑圆弧上（R=l ）, 下端A以铰链和均质圆轮中心A相连, 圆轮重P, 半径为r, 放在粗糙的地面上,

24、由静止开始滚动而不滑动。若运动开始瞬时杆与水平线所成夹角 , 求此瞬时A点的加速度。45raAA 轮和杆均作平面运动轮和杆均作平面运动, 将惯性力系分别向质心简化将惯性力系分别向质心简化, 则惯性力和惯性则惯性力和惯性力偶的矩的大小分别为力偶的矩的大小分别为ABrROCAaACxaCyaBa 解：设系统运动的初瞬时解：设系统运动的初瞬时, 圆轮中心的加速度圆轮中心的加速度为为 , 角加速度为角加速度为 ；AB杆的角加速度为杆的角加速度为 , 质心质心C的加速度为的加速度为 、 。如图。如图。AaACxaCya ABrROCAaACxaCyaAgAagPFrargPMAgA221CxgCxagQ

25、FCygCyagQF2121lgQMgC 先以整体为研究对象先以整体为研究对象, 受力如图。假想地加上惯性力和惯性力偶受力如图。假想地加上惯性力和惯性力偶, 则则由质点系的达朗贝尔原理由质点系的达朗贝尔原理ABCAaACxaCyaFANKBNPQgAFgAMgCyFgCxFgCM0)(FmK0)sin2(cos2cos2)sin(gAgAgCgCxgCyBMrFMlrFlQlFrlN(1) ABCCxaCyaBNQgCyFgCxFgCMAXAY 再以再以AB为研究对象为研究对象, 受力如图。假想地加上受力如图。假想地加上惯性力和惯性力偶惯性力和惯性力偶, 则由质点系的达朗贝尔原理则由质点系的达

26、朗贝尔原理0)(FmA0sin2cos2cos2gCgCxgCyBMlFlFlQlN（2） AB杆作平面运动杆作平面运动, 先以先以B点为基点点为基点, 则则A点的加速度为点的加速度为nABABnBBAaaaaa其中其中02RvaBnB02wlanABlaAB其加速度合成矢量图如图所示。其加速度合成矢量图如图所示。ABaAaABax 将其投影于 轴, 得xlaaABAcos（3） 再以再以A为基点为基点, 则则C点的加速度为点的加速度为CAACaaa其中其中2laCA , 加速度合成矢量图如图。加速度合成矢量图如图。CCAaAaCxaCyax 将其投影于将其投影于 、 轴轴, 得得xcos2coslaaaaACAACx（4）sin2sinlaaCACy（5） 由式（由式（3）、（）、（4）、（）、（5）可将）可将 、 、 都化为都化为 的函数的函数, 即即CxaCyaAacoslaA)cos211 (2ACxaaACyaacossin21 将其代入式（将其代入式（1）、（）、（2）, 并取并取 , 联立该两方程可解得联立该两方程可解得45gPQQaA)94(2300 xIxRxBxAxFFFFF 13-4 13-4 绕定轴转动刚体的