第11章__静电场习题课

1、1. 带电细线弯成半径为带电细线弯成半径为R的半圆形的半圆形,电荷线密度为电荷线密度为式中式中0为一常数，为一常数，为半径为半径R与与x轴所成的夹角，如图所示轴所成的夹角，如图所示试求环心试求环心O处的电场强度处的电场强度sin0 y R x O 3-2 题图 解：在解：在 处取电荷元，其电荷为处取电荷元，其电荷为d sin d dRlq它在它在O点产生的场强大小为点产生的场强大小为 RRqE00204dsin4ddEdqd在在x、y轴上的二个分量轴上的二个分量cosdEdExsindEdEy对各分量分别求和对各分量分别求和000dcossin4REx0 RREy0002008dsin4jRj

2、EiEEyx008 y R x O 3-2 题图 Edqd（由对称性亦可等到该式）（由对称性亦可等到该式）sin0zxRO23220)(41RxxqEEPxxRo均匀带电细圆环的场强：均匀带电细圆环的场强：2一半径为一半径为R均匀带电的半球壳，电荷面密度为均匀带电的半球壳，电荷面密度为 ，求球，求球心处的电场强度的大小。心处的电场强度的大小。解：将半球壳分割为一组平行细圆环解：将半球壳分割为一组平行细圆环d irxxdqEd2/3220)(41任一圆环任一圆环在点在点O激发的电场强度为激发的电场强度为dRdSdqsin22OEdE由于平行细圆环在由于平行细圆环在O激发的电场强度相同，利用几何关

3、系激发的电场强度相同，利用几何关系 cosRx sinRr 统一积分变量，有统一积分变量，有 ddRRRrxxdqdEcossin2sin2cos41)(4102302/3220积分得积分得02/004cossin2dEzxd RO3.真空中一半径真空中一半径R的均匀带电球面带有电荷的均匀带电球面带有电荷Q ( Q0 )今在球面上挖去非常小块的面积今在球面上挖去非常小块的面积 S (连同电荷连同电荷)，如图所，如图所示，假设不影响其他处原来的电荷分布，则挖去示，假设不影响其他处原来的电荷分布，则挖去 S后球后球心处电场强度的大小：心处电场强度的大小：E_，其方向为其方向为_。 O R S Q

4、2-1题图题图40216/RSQ由圆心由圆心O点指向点指向S 解题方法：挖补法解题方法：挖补法因挖去的部分不带电，可以认为带因挖去的部分不带电，可以认为带等量异号电荷，所以可以在挖去的部分等量异号电荷，所以可以在挖去的部分补上等量异号的与原电荷密度相等的电荷补上等量异号的与原电荷密度相等的电荷 O R S Q 2-1题图题图204RqE方向由圆心方向由圆心o点指向点指向S所以整个带电体系可看着为由均匀带正电的球面和所以整个带电体系可看着为由均匀带正电的球面和S部分带负电的、电荷密度和球面相同的电荷组成，部分带负电的、电荷密度和球面相同的电荷组成，因因S很小，所以其可以看着为点电荷。很小，所以其

5、可以看着为点电荷。按场强的叠加原理，所以整个带电体系的场强等于均按场强的叠加原理，所以整个带电体系的场强等于均匀匀带正电的球面的场强和带正电的球面的场强和S部分点电荷的场强的矢量和部分点电荷的场强的矢量和均匀带正电的球面的场强在均匀带正电的球面的场强在o点的场强为点的场强为0。所以整个带电体系的场强等于所以整个带电体系的场强等于S部分点电荷的场强部分点电荷的场强4022021644RSQRQRS204RS4. 有一边长为有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心的正方形平面，在其中垂线上距中心O点点a/2处，有一电荷为处，有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平的正点电荷，如图所示，则通

6、过该平面的电场强度通量为面的电场强度通量为 a a q a/2 O 1-2 题图 03q04q03q06q(A) (B) (C) (D) 以正电荷为中心作一边长为以正电荷为中心作一边长为a/2的立方体形的高斯面的立方体形的高斯面由高斯定理，总通量为由高斯定理，总通量为0q06q则通过一面的电通量为则通过一面的电通量为5. 一半径为一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为的带电球体，其电荷体密度分布为 Ar0 (rR) ， (rR) A为一常量试求球体内外的场强分布为一常量试求球体内外的场强分布Q解：由解：由 可知：可知：电荷分布具有球对称分布，相应地场强分布亦具有球电荷分布具有球对称分布，相应

7、地场强分布亦具有球对称分布，即在以带电球体球心为球心，以任意半径对称分布，即在以带电球体球心为球心，以任意半径r的球面上，场强大小相等，方向沿径向。的球面上，场强大小相等，方向沿径向。Ar0 (rR) ， (rR) E在球内取半径为在球内取半径为r球面为高斯面球面为高斯面按高斯定理有按高斯定理有 0214inqrE?inq在半径为在半径为r的球面内包含的总电荷为：的球面内包含的总电荷为：403d4ArrArdVqrVin (rR) 04021/4ArqrEin在球内取半径为在球内取半径为r、厚为、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含的薄球壳，该壳内所包含的电荷为：的电荷为： rrArVqd4dd2得

8、到：得到： 0214/ArE ， (rR) 方向沿径向，方向沿径向，A0时向外，时向外，AR) 方向沿径向，方向沿径向，A0时向外，时向外，A0时向里时向里 4ARqin?inq6如图所示，在电荷体密度为如图所示，在电荷体密度为 的均匀带电球体中，存的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电球心在一个球形空腔，若将带电球心O指向空腔球心指向空腔球心O的矢的矢量用量用a表示，试证明球形空强腔中任意一点的电场强度为表示，试证明球形空强腔中任意一点的电场强度为 aE03解：用解：用“挖补法挖补法”，挖去球形空腔的带电体，挖去球形空腔的带电体，在电学上等效于一个完整的、电荷密度为在电学上等效于一个完

9、整的、电荷密度为 的均匀带电大的均匀带电大球体和一个电荷体密度为球体和一个电荷体密度为 的球心在的球心在O的带电小球体的的带电小球体的组合。小球体的半径等于空腔球体半径。组合。小球体的半径等于空腔球体半径。OOP大、小大、小 球在空腔内球在空腔内P点产生的电场强度为点产生的电场强度为21EEE21EEE腔内腔内P点均属于球内一点，均匀带电球体球内的场强为点均属于球内一点，均匀带电球体球内的场强为rE03所以所以 2021013,3rErE)(321021rrEEE根据几何关系根据几何关系 arr21aE03与与P点在空腔中位置无关。点在空腔中位置无关。oopar1r2EEE07实验表明，在靠近

10、地面处有相当强的电场，电场强度实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度垂直于地面向下，大小约为垂直于地面向下，大小约为100 N/C；在离地面；在离地面1.5 km(已知：真空介电常量已知：真空介电常量8.8510-12 C2N-1m-2)高的地方，高的地方， 也是垂直于地面向下的，大小约为也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C (1) 假设地面上各处假设地面上各处都是垂直于地面向下，试计算从地面都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度到此高度大气中电荷的平均体密度；(2) 假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的电场强度假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的

11、电场强度完全是由均匀分布完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度面密度EE2 S-E1 S(E2-E1) S 高斯面高斯面S包围的电荷包围的电荷qihS由高斯定理由高斯定理(E2E1) Sh S / 0 EEh12014.4310-13 C/m3 S E2 S E1 (1) h 解：解：(1) 设电荷的平均体密度为设电荷的平均体密度为，取圆柱形高斯面如图，取圆柱形高斯面如图(1)(侧面垂直底面，侧面垂直底面， 底面底面S平行地面平行地面)上下底面处的上下底面处的为为E1和和E2，则通过高斯面的电场强度通量为：，则通过高斯面的电场强度通量为： 场

12、强分别场强分别SdEE2 S-E1 S(E2-E1) S (2) 设地面面电荷密度为设地面面电荷密度为 由于电荷只分布在地表面，由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于地面，取高斯面如图所以电力线终止于地面，取高斯面如图(2) ESdi01qS01由高斯定理由高斯定理= -E S= = 0 E8.910-10 C/m3 E (2) OxD8 8图示一厚度为图示一厚度为D的的“无限大无限大”均匀带电平板，电荷体密度均匀带电平板，电荷体密度为为试求板内外的场强分布，并画出场强在试求板内外的场强分布，并画出场强在x轴的投影值轴的投影值随坐标随坐标x变化的图线，即变化的图线，即Exx图线（设原点在带电

13、平板的图线（设原点在带电平板的中央平面上，中央平面上，Ox轴垂直于平板）轴垂直于平板）解：根据电荷分布对板平面的对称性，可知电场分布解：根据电荷分布对板平面的对称性，可知电场分布 具有这种对称性。具有这种对称性。 由此可选底面（由此可选底面（S） 与平板平行的立方盒高斯面。如图。与平板平行的立方盒高斯面。如图。 S1S222220001011dxdxExExSdqSEdSExxxS由高斯定理有：由高斯定理有：xddExddEdEdSdqSEdSExxxxS22222200002022OxdS1S2xy02d02d2d2do9.两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别两个带有等量异号电荷

14、的无限长同轴圆柱面，半径分别为为R1、R2（R1R2），单位长度上的电荷为），单位长度上的电荷为 。求离轴线。求离轴线为为r的电场强度的电场强度。解：作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理解：作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理R2R1r0/2qrLEL00212rlElrlER1rr 或或 rR2时时,。（2）设把电量）设把电量Cq80100 . 1241/102 . 1mC252/100 . 2mC243/101 . 1mC，10.三个互相平行的均匀无限大带电平面，面电荷密度为三个互相平行的均匀无限大带电平面，面电荷密度为A点与平面点与平面相距相距5.0cm，B点与平面点与平面相距相距7.0cm

15、（1）计算）计算A、B两点的电势差；两点的电势差；的点电荷从的点电荷从A点移到点移到B点，点，外力克服电场力作多少功？外力克服电场力作多少功？3-2题图题图AB 2 3 1解：（解：（1）平面）平面、之间的电场为之间的电场为)(21321012E平面平面、之间的电场之间的电场)(21321023EVlllElEUBABAAB4232123210223212140 . 9)()(21JUqAAABABAB40109(2) 3-2题图题图AB 2 3 111. 如图所示，两个同心球壳内球壳半径为如图所示，两个同心球壳内球壳半径为R1，均匀带有，均匀带有电荷电荷Q；外球壳半径为；外球壳半径为R2，壳

16、的厚度忽略，原先不带电，壳的厚度忽略，原先不带电，但与地相连接设地为电势零点，则在内球壳里面，距离但与地相连接设地为电势零点，则在内球壳里面，距离球心为球心为r处的处的P点的场强大小及电势分别为：点的场强大小及电势分别为： (A) E0，U104RQ(B) E0，U 210114RRQ204rQrQ04(C) E，U204rQ104RQ(D) E， U O R1 R2 P r Q 1-3 题图 解：解： O R1 R2 P r Q 1-3 题图 22d)(RrRrpEdrlErU)(4)0(021201RrRrQERrE由高斯定理可得场强分布为：由高斯定理可得场强分布为：)11(4)(4021

17、020211RRQrUdrrQdrpRRRr12一均匀细杆，长为一均匀细杆，长为l，线电荷密度为，线电荷密度为 ，求：，求： （1）细杆延长线上一点与杆一端相距）细杆延长线上一点与杆一端相距a处的电势；处的电势； （2）细杆中垂线上与细杆相距）细杆中垂线上与细杆相距b处的电势。处的电势。解：（解：（1）沿杆取）沿杆取x轴，杆的轴，杆的x反向端点取作原点，由电势反向端点取作原点，由电势叠加原理可得延长叠加原理可得延长 线上一点的电势，如图所示线上一点的电势，如图所示 细杆的电荷线密度细杆的电荷线密度lq / (l),在在x处取电荷元处取电荷元dq = ldxqdx /l，它在它在P点产生的电势为

18、点产生的电势为 x P a O l x dx xalxxalqUP004d4dd整个杆上电荷在整个杆上电荷在P点产生的电势点产生的电势llxallqln80allq1ln40bxzlzdzP（2） 2/2/2/4/ln4)(4222202/2/2/1220llbllbzbdzUllP13. 图示为一边长均为图示为一边长均为a的等边三角形，其三个顶点分别放置的等边三角形，其三个顶点分别放置着电荷为着电荷为q、2q、3q的三个正点电荷，若将一电荷为的三个正点电荷，若将一电荷为Q的正的正点电荷从无穷远处移至三角形的中心点电荷从无穷远处移至三角形的中心O处，则外力需作功处，则外力需作功A_aqQ02/

19、33以无限远处为零势能点，则由电势叠加原理，以无限远处为零势能点，则由电势叠加原理，中心中心o处电势为：处电势为：aQaqqqUo002333432将将Q从无限远处移到从无限远处移到o点，电场力的功为：点，电场力的功为：QUoUoUQoA)(外力的功为：外力的功为：)2/()33(0aqQQUooAA外14图示两个半径均为图示两个半径均为R的非导体球壳，表面上均匀带电，的非导体球壳，表面上均匀带电，电荷分别为电荷分别为Q和和Q，两球心相距为，两球心相距为d (d2R)求两球求两球心间的电势差心间的电势差 O1 +Q R O2 -Q d R 3-4 题图 解：均匀带电球面内的电势等于球面上的电势

20、解：均匀带电球面内的电势等于球面上的电势 球面外的电势相当于电荷集球面外的电势相当于电荷集 中在球心上的点电荷的电势中在球心上的点电荷的电势 由此，按电势叠加原理由此，按电势叠加原理球心球心O1处的电势为：处的电势为： dQRQU00144球心球心O2处的电势为：处的电势为： RQdQU00244则则O1、O2间的电势差为：间的电势差为： RdRdQdRQU00122112 O1 +Q R O2 -Q d R 3-4 题图 15如图所示，三个如图所示，三个“无限长无限长”的同轴导体圆柱面的同轴导体圆柱面A、B和和C，半径分别为半径分别为Ra、Rb、Rc圆柱面圆柱面B上带电荷，上带电荷，A和和C

21、都接地都接地求的内表面上电荷线密度求的内表面上电荷线密度l1和外表面上电荷线密度和外表面上电荷线密度l2之之比值比值l1/ l2 Ra Rb Rc A B C 3-3 题图 解：设解：设B上带正电荷，内表面上电荷线密度为上带正电荷，内表面上电荷线密度为l1，外表，外表面上电荷线密度为面上电荷线密度为l2，而，而A、C上相应地感应等量异电荷，上相应地感应等量异电荷，如图所示如图所示 C B A E2 E1 -1 +1 +2 -2 C B A E2 E1 -1 +1 +2 -2 E1=1 / 2 0r ，方向由方向由B指向指向AB、C间场强分布为间场强分布为 E2=l2 / 2 0r ，方向由，方

22、向由B指向指向C B、A间电势差间电势差abRRRRBARRrrrEUababln2d2d01011B、C间电势差间电势差 bcRRRRBCRRrrrEUcbcbln2d2d02022因因UBAUBC ,得到得到 abbcRRRR/ln/ln21MN 图图1-216.一带正电荷的物体一带正电荷的物体M，靠近一不带电的金属导体，靠近一不带电的金属导体N，N的的左端感应出负电荷，右端感应出正电荷若将左端感应出负电荷，右端感应出正电荷若将N的左端接的左端接地，如图所示，则地，如图所示，则（A）N上的负电荷入地上的负电荷入地（B）N上的正电荷入地上的正电荷入地（C）N上的电荷不动上的电荷不动（D）N上

23、的所有电荷都入地上的所有电荷都入地方法一方法一：N内部场强为零；内部场强为零；N是个等势体，表面是等势面；若是个等势体，表面是等势面；若N和大地相连，由于受和大地相连，由于受M所产生的外电场作用将使正电荷流所产生的外电场作用将使正电荷流向大地（实际是地中负电荷流向导体与正电荷中和）。向大地（实际是地中负电荷流向导体与正电荷中和）。 方法二：导体方法二：导体N接地接地,其电势为零其电势为零,只有保留负感应电荷只有保留负感应电荷,由负电荷由负电荷产生的电势与带正电的产生的电势与带正电的M产生的电势叠加才可能出现零值产生的电势叠加才可能出现零值.17一空心导体球壳，其内、外半径分别为一空心导体球壳，

24、其内、外半径分别为R1和和R2，带，带电荷电荷q，如图所示当球壳中心处再放一电荷为，如图所示当球壳中心处再放一电荷为q的点电的点电荷时，则导体球壳的电势荷时，则导体球壳的电势(设无穷远处为电势零点设无穷远处为电势零点)为为q1R2Rq(A) (B) (C) (D) 104Rq204Rq102Rq20Rq2020242RqRqU由静电平衡条件和电荷守恒可知：由静电平衡条件和电荷守恒可知：球壳内表面均匀带电球壳内表面均匀带电-q，外表面均匀带电，外表面均匀带电2q球壳内表面的电势和点电荷的在外表面上的电势之和为球壳内表面的电势和点电荷的在外表面上的电势之和为0设无限远处为电势零点，试求：设无限远处

25、为电势零点，试求：QabqrO图图3-119如图所示，一内半径为如图所示，一内半径为a、外半径为、外半径为b的金属球壳，的金属球壳，带有电荷带有电荷Q，在球壳空腔内距离球心，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷处有一点电荷q(1) 球壳内外表面上的电荷球壳内外表面上的电荷 (2) 球心球心O点处，由球壳内表面上电荷点处，由球壳内表面上电荷产生的电势产生的电势 (3) 球心球心O点处的总电势点处的总电势解：解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q，外表面上带电外表面上带电荷荷q+Q 电荷元离电荷元离O点的点的电势为电势为(2) 不论球壳内表面

26、上的感生电荷是如何分布的，因为任一不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一距离都是距离都是a，所以由这些电荷在，所以由这些电荷在O点产生的点产生的adqUq04aq04(3) 球心球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷点电荷q在在O点产生的电势的代数和点产生的电势的代数和qQqqOUUUUrq04aq04bqQ04)111(40barqbQ04QabqrO图图3-1,m qQQ图图1-320一个大平行板电容器水平放置，两极板间的一半空间一个大平行板电容器水平放置，两极板间的一半空间充有各向同性均匀电介质，另一半为空气，如图当两充

27、有各向同性均匀电介质，另一半为空气，如图当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个质量为极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个质量为m、带电、带电量为量为q的质点，平衡在极板间的空气区域中此后，若的质点，平衡在极板间的空气区域中此后，若把电介质抽去，则该质点把电介质抽去，则该质点（A）保持不动）保持不动 （B）向上运动）向上运动 （C）向下运动）向下运动 （D）是否运动不能确定）是否运动不能确定质点的运动决定于介质除去前后质点的运动决定于介质除去前后E2的变化的变化111,ED介质除去前，由高斯定理有：介质除去前，由高斯定理有：2211,DD222,ED又又 ，所以，所以 EDr0022011,E

28、Er两极板间的电势差两极板间的电势差022011,EEr,m qQQ图图1-3111,ED222,ED2022EEdEdE21ddr020121即介质除去后，电荷在极板上均匀分布，所以此时介质除去后，电荷在极板上均匀分布，所以此时22电荷向上运动电荷向上运动21一半径为一半径为a的的“无限长无限长”圆柱形导体，单位长度带电荷圆柱形导体，单位长度带电荷为为其外套一层各向同性均匀电介质，其相对介电常量为其外套一层各向同性均匀电介质，其相对介电常量为r，内、外半径分别为，内、外半径分别为a和和b试求电位移和场强的分布试求电位移和场强的分布解：在圆柱导体内、外分别作半径为解：在圆柱导体内、外分别作半径

29、为r、长为、长为L的同轴圆柱的同轴圆柱形高斯面，形高斯面，并应用并应用 的高斯定理的高斯定理D圆柱内：圆柱内： 2rLD0ar 得得 D = 0 ar E = 0 圆柱外：圆柱外：2rLD = Lab得得 02/rrD0r， (ra) 为径向单位矢量rDE01/002/rrr (arb) 0002 2/rrDE (rb)ab A R R1 r R2 U 22一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为径分别为R1 = 2 cm，R2 = 5 cm，其间充满相对介电常量为，其间充满相对介电常量为r 的各向同性、均匀电介质电容器接在电压的

30、各向同性、均匀电介质电容器接在电压U = 32 V的的电源上，电源上，(如图所示如图所示)，试求距离轴线，试求距离轴线R = 3.5 cm处的处的A点的点的电场强度和电场强度和A点与外筒间的电势差点与外筒间的电势差解：设内外圆筒沿轴向单位长度上解：设内外圆筒沿轴向单位长度上分别带有电荷分别带有电荷+ 和和, 根据高斯定理根据高斯定理可求得两圆筒间任一点的电场强度为可求得两圆筒间任一点的电场强度为rEr02则两圆筒的电势差为则两圆筒的电势差为 1200ln22dd2121RRrrrEUrRRrRR解得解得 120ln2RRUrAE于是可求得点的电场强度为于是可求得点的电场强度为 )/ln(12R

31、RRU= 998 V/m方向沿径向向外方向沿径向向外A点与外筒间的电势差：点与外筒间的电势差： 22d)/ln(d12RRRRrrRRUrEURRRRU212ln)/ln(= 12.5 V A R R1 r R2 U 23用力用力F把电容器中的电介质板拉出，在图把电容器中的电介质板拉出，在图(a)和图和图(b)的的两种情况下，电容器中储存的静电能量将两种情况下，电容器中储存的静电能量将（A）都增加）都增加 （B）都减少）都减少 （C）(a)增加，增加，(b)减少减少 （D）(a)减少，减少，(b)增加增加 (a) F (b) F 充 电 后 仍 与电 源 连 接 充 电 后 与 电源 断 开

32、因用力因用力F把电容器中的电介质板拉出时，电容把电容器中的电介质板拉出时，电容C减小减小对（对（a）,充电后仍与电源连接，充电后仍与电源连接，U不变，由不变，由 得，得，w减小减小221CUw 对（对（b）,充电后仍与电源断开，电荷不变，由充电后仍与电源断开，电荷不变，由 得，得，w增大增大CQw22124一平行板电容器的极板面积为一平行板电容器的极板面积为S1m2，两极板夹着一，两极板夹着一块块d5mm厚的同样面积的玻璃板已知玻璃的相对介电厚的同样面积的玻璃板已知玻璃的相对介电常数为常数为r5电容器充电到电压电容器充电到电压U12以后切断电源以后切断电源求把玻璃板从电容器中抽出来外力需作多少

33、功？求把玻璃板从电容器中抽出来外力需作多少功？（08851012C2N1m2)解：玻璃板抽出前后电容器能量的变化即外力作的功解：玻璃板抽出前后电容器能量的变化即外力作的功抽出玻璃板前后的电容值分别为抽出玻璃板前后的电容值分别为 dSCr/ )(0dSC/ )(0撤电源后再抽玻璃板板上电荷不变，但电压改变，即撤电源后再抽玻璃板板上电荷不变，但电压改变，即UCCUQ UCCUUr/ )(抽玻璃板前后电容器的能量分别为抽玻璃板前后电容器的能量分别为202)/(2121UdSCUWr202)/(2121UdSUCWr外力作功外力作功 WWA) 1)(/(21220rrdSU= 2.5510-6 J25一圆柱形电容器，外柱的直径为一圆柱形电容器，外柱的直径为4 cm，内柱的直径可，