材料力学：第四章 任意力系2

1、1 一、空间一般力系的平衡充要条件： 空间一般力系平衡方程的基本形式为：4-3 任意力系的平衡2空间汇交力系的平衡方程为：空间平行力系的平衡方程（设各力线都 / z 轴）：二、各种特殊力系下的平衡方程 3空间力偶系的平衡方程为：平面一般力系的平衡方程: （xoy 平面）O点可以是任选的一点4平面一般力系基本形式可用以下“二矩式”、“三矩式”替代二矩式三矩式其中A、B 两点连线不能与 x 轴垂直其中A、B、C 三点不共线 证明 ?5平面汇交力系的平衡方程为：平面平行力系的平衡方程（设各力线都 / y轴）：例：图示导轨式汽车提升机构，已知提升的汽车重P=20kN，求：导轨对A、B轮的约束反力（不计

2、摩擦）。解:Mi=0:FA400P60=0； 得：FA=3kN Fx=0; FB=FA Fy=0; F = PFBFAP60cm400cmFAB力偶仅能被力偶平衡PFiqLAFix=0; FAx=0MAFAXQFAYFiy=0; FAy=Q=qL/2M A=0， MA= (2/3) LQ = qL2/3例：图示悬臂梁，上侧作用三角形均布荷载，求： 固定端A处的约束反力。 例：图示为叉车的钢叉简图，已知：货物均重为 q=1500 N/m，其它尺寸如图示，求：约束A，B处的约束反力。解：200550q1400mm40ABFix=0, FAx+FB=0FAXFAYFBFiy=0, FAy Q=0Q=

3、1.4q=2.1kNQFB=2.8kN, FAx= 2.8kN。MA=0, FB550(14000.5+40)Q=0 FAy=Q=2.1kN，c二矩式： MB =0， FAX 550+ (14000.5+40)Q =0, MA =0, FB550(14000.5+40)Q=0 FB=2.8kN, FAx= 2.8kN。Fiy=0, FAy=Q=2.1kN，F1F3FF2AC例：图示雨篷结构，因雨篷对称结构可简化为平面结构，自重不计，已知：F力作用，求：三根支撑杆的约束反力。解：用三矩式方程D1m1m4mF1mACB如校核方程： Fix=0， 应满足。例：一种车载式起重机，车重G1= 26 kN

4、，起重机伸臂重G2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重G3 = 31 kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。FBFAGG2G1G3AB3.0 m2.5 m1.8 m2.0 m1.取汽车受力分析如图。2.列平衡方程。解：3.联立求解： 4.不翻倒的条件是：FA0， 所以由上式可得故最大起吊重量为 Gmax= 7.5 kNG 物体系统的平衡问题的求解几个原则：1）尽量选取整体为研究对象。2）从受力情形最简单的某一刚体或分系统入手。尽可能 满足一个平衡方程求解一个未知力。3）分清内力和外力、施力体与受力体、作用力与反作用力。4）

5、注意二力平衡条件和三力平衡汇交原理。 例：图示三铰拱结构，已知：单边拱重为：P，求：A,B的 约束反力。解：整体MA=0FBy=PFiy=0FAy=PFix=0MC=0 左6m6m6mACBC左A FAx6FAy6+3P=0P3P9+FBy12=0FAy+FBy=2P FAxFBx=03m例：图示杆BE上固定销子C,可在杆AD的光滑直槽中滑动，已知：L=0.2m，M1=200Nm，a = 300，求：结构平衡时M2。解：BE: MB=0, FCLsin300M1=0,得: FC=FB=2000NAD: MA=0, M2FCL/sin300=0,FC=FC得： M2 = 800Nm。M1aBAD

6、LCM2FCFCFBFABCM1BEAADM2D力偶仅能被力偶平衡物体系的平衡问题E3m2m2m2m2mFMACBD例：组合托架组成构件如图示，三根链杆自重不计，巳知：F = 1 kN, M=600 Nm, 求：A 处约束反力。MAFAyFAxFByFBxF3FMBDF3CF2F1F1解：整体MA=0, MA4F M3F1=0Fix=0, FAxF 1=0Fiy=0, FAyF =0得：FAy= 1000 N,BDF3= 500 N, C节点 F1= 400 N，MA=3.4 kNm可得： FAx= 400 N,321BECCBDAEAD3aCFaABED3a整例：折叠凳子的简图如图示，在水平

7、凳面有F力作用，求：E处约束反力。解：整体FDFCFCFAYFAXFEXFEYFDFCYFCXFEXFEYMC=0, Fa3a FD=0FD=F/3,Fiy=0, F+ FD+FC=0FC=2F/3,ADCB例： 已知：连续梁上，P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重 求：A ,B和D处的反力解：研究起重机（未知数多于三个，不能先整体求出，要拆开） 再研究整体 再研究梁CD解： 选整体研究 受力如图 选坐标、取矩点、Bxy,B点 列方程为: 例 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？ 受力如图 取E为

8、矩心，列方程 解方程求未知数再研究CD杆 例 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？例 ：三轮平板车放光滑地面上，自重为：W，货重为F，已知：F =10 kN,W = 8 kN, 求：各轮约束反力值。解：这是空间平行力系，六个平衡方程仅有三个独立的，而Fix0， Fiy0， Miz 0，FAFBFCFiz=0 ， xyzMix =0, 200FA + (20080)W=0； FA=4.8kN，FA +FB+FCWF=0；Miy =0，60FA+60W+(6020)F120FB =0；FB=4.93kN，FC=8.27

9、kN；例 ：均质矩形板重P=200N,板用球形铰链A、蝶形铰B与绳CE固定在墙上，若=300，求：所有约束力值。FBXFBZPxyzFAZFAXFAYF例：均质矩形板重P=200N,板用球形铰链A、蝶形铰B与绳 CE 固定在墙上，若 =300，求：所有约束力值。FAX=86.6N,解：空间任意力系 有六个平衡方程FBXFBZPxyzFAZFAXFAYMZ=0, FBX=0,My=0, Mx=0,可得 FBZ=0Fix =0, FAX +FBXFcos300cos600=0,Fiy =0, FAY Fcos2300=0,FAY=150N,Fi z=0, FBZ +FAZP+Fsin300=0,F

10、AZ=100N,F可得 F=200N例：边长为a 的等边三角形水平板上作用着力偶 M，並用六根二力杆支撑，板自重不计，求：各杆的内力。解:F1F3F6F4F5F2MAD =0, F5cos300acos300+M=0; MFB =0, F6cos300acos300+M=0; MEC =0, F4cos300acos300+M=0; MCA =0, F5 asin600 F2 sin300asin600=0; MAB =0, F3 asin600 F6 sin300asin600=0; MBC =0, F1 asin600 F4 sin300asin600=0; 例：水平圆盘绕AB转轴，A点为

11、轴承，B点止推轴承，已知：P=100 kN，r1=0.2 m , r2= 0.5 m。a =1 m , = 300， =600，求：平衡时 F 力与所有约束反力值yxz解：对圆盘连同转轴 F 力可分解成Mx =0FAy =63.6kNMy =0FAx = 7.32kNFx=Fcos600cos300=34.64kNFy=-Fcos2600= -20kNFz= -Fsin600= -69.28kNMZ =0, Pr1Fcos600r2 = 0; 3aFAx+aFx-r2sin300Fz=03aFAy+2aP+r2cos300Fz-aFy =0F=80kNFi x=0, FAx+FBx+34.64

12、=0;Fi y=0FBx= 17.32kN;FBy=56.6kN;Fiz =0FBz=69.28kN;yxz FBz-69.28=0FAy+FBy-20P=0FAy =63.6kNFAx = 7.32kNFx=Fcos600cos300=34.64kNFy=Fcos2600= -20kNFz= Fsin600= -69.28kNF=80kN例：水平圆盘绕AB转轴，A点为轴承，B点止推轴承，已知：P=100 kN，r1=0.2 m , r2= 0.5 m。a =1 m , = 300， =600，求：平衡时 F 力与所有约束反力值例：长度相等、互为直角的AB、CD杆在中点E以铰链连接，並在 D端

13、悬挂重物 P = 25 kN，求：各约束反力。解:对整体受力分析Fix =0, FAx+F Cx=0; （1） Fiy =0, FAy+F CyFcos45 0=0; （2）Fiz =0, FAZ+FCZ+Fsin45 0-25=0; （3）Mx =0, Fsin450ADPAD=0; （4）My =0, FAzAC+PAC=0; （5）Mz =0, FAy=0; （6）六个方程有七个未知量，应一个补充方程。对CD 分析：联立求解这 7个方程，可解得：FAx= 25kN，FCx =25kN， FAy =0,FCy=25kN，FAx=25kN，FCx= 25kN，F=35.5kN。Mz =0, F Cx CE sin450F CyCEcos450=0;（7）例：长度相等、互为直角的AB、CD杆在中点E以铰链连接，並在 D端悬挂重物 P = 25 kN，求：各约束反力。z1、静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程就可以求出所有的未知力。2、超静定：结构或杆件的未知力个数大于有效静力方程的个 数，只利用静力方程不能求出所有的未知力。3、多余约束：在超静定系统中多余维持结构几何不变性所需要的杆或