概率论第一章习题课

1、设事件设事件A, B满足满足 )()(BAPABP),10( ,)(ppAP 求求P(B) 1，且知，且知 解：解：)(BAP)(1BAP )(BAP )()()(1ABPBPAP )(ABP 1)()( BPAPpAPBP 1)(1)(设随机事件设随机事件A, B及其和事件及其和事件A B的概率分别为的概率分别为0.4,0.30.4,0.3和和0.60.6，求，求2)(BAP解：解：)()()()(ABPBPAPBAP )()()()(BAPBPAPABP 1 . 06 . 03 . 04 . 0 )()()(ABPAPBAP 3 . 01 . 04 . 0 设设A，B为两个事件，求证为两个

2、事件，求证3)()()(1)(BAPBPAPABP 解：解：)()()(1BAPBPAP )()()(1BAPBPAP )(1)()(1BAPBPAP )()()(BAPBPAP )()()()()(ABPBPAPBPAP )(ABP 4 4、已知、已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/8, 求事件求事件A，B，C全不发生的概率全不发生的概率解：解：)(CBAP)(CBAP )(1CBAP )(CBAP)()()(CPBPAP )()()()(ABCPACPBCPABP ABABC 0)()( ABPABCP0)( ABCP210818104

3、14141)( CBAP5 已知已知 P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 求下列各事件的求下列各事件的概率：概率：)(),(),(),(BAPBAPBAPBAP 解：解：)(BAP)(BAP )(BAP)(BAPrpBAPBPAP 1)()()(rABP 1)(1rqABP )(rqpBAP 1)(1)(BAP 6 已知事件已知事件AB发生发生, 则事件则事件C一定发生。证明：一定发生。证明：1)()()( CPBPAP解：解： 因为事件因为事件AB发生发生, 则事件则事件C一定发生。一定发生。CAB 即：即：)()(CPABP )()()()()()(ABPBPAPCPBPAP

4、 1)( BAP设 事 件设 事 件 A ， B ， C 两 两 独 立 ， 且两 两 独 立 ， 且 A B C = , P(A)=P(B)=P(C)1/2，且已知，且已知P(A B C)=9/16, 求求P(A) 7解：解：)(CBAP)()()(CPBPAP )()()()(ABCPACPBCPABP )()()(CPBPAP )()()()()()(CPAPCPBPBPAP 169)(3)(32 APAP41)( AP解得：解得：或或43)( AP舍掉舍掉8 设事件设事件A，B相互独立，且相互独立，且A和和B都不发生的概都不发生的概率为率为1/9，A发生发生B不发生的概率与不发生的概率

5、与B发生发生A不发不发生的概率相等，求生的概率相等，求P(A) 解：由题意得解：由题意得91)( BAP)()(BAPBAP )()(1()(1)(BPAPBPAP 91)(1)(1( BPAP)()(BPAP 91)()(21(2 APAP32)( AP解得：解得：或或34)( AP舍掉舍掉9、设事件、设事件A，B，C相互独立，且相互独立，且 P(A B)=1/3, P(A C)=1/3，P(B C)=2/3，求求A，B，C三个事件至少发生一个的概率。三个事件至少发生一个的概率。 解：解：)()()(1)(CPBPAPCBAP 31)()(1)( BPAPBAP32)()( BPAP同理同理

6、32)()( CPAP31)()( CPBP274313232)()()(2 CPBPAP332)()()( CPBPAP)()()(1)(CPBPAPCBAP 3321 10已知已知cABPbBPaAP )|(,)(,)(且且a1，b1。求。求 )|(),(BAPBAP解：解：)()()|(APABPABP )(1)()(APABPBP caABPb 1)()1()(acbABP )()()()(ABPBPAPBAP )1(acbba caca )()()|(BPBAPBAP )(1)()(BPABPAP bacba 1)1(11 已知已知 00P(A)1, 0 P(B)1,问问A与与B是否

7、独立？是否独立？1)|()|( BAPBAP解：解：1)()()()()|()|( BPBAPBPABPBAPBAP)()()()()()(BPBPBPBAPBPABP )()(1()(1)(BPBAPBPABP )(1)(BPBP )()()(BPABPABP)()()()(1(BPABPBPAP 2)()(BPBP )()()(BPABPABP)()()()()()(2ABPBPBPAPBPBP 2)()(BPBP )()()(BPAPABP 即即A和和B互相独立互相独立12、设甲、乙两名射手轮流独立地向同一目标射击，、设甲、乙两名射手轮流独立地向同一目标射击，其命中率分别为其命中率分别为

8、p1和和p2。甲先射，谁先命中谁获胜，。甲先射，谁先命中谁获胜，试分别求甲获胜的概率和乙获胜的概率。试分别求甲获胜的概率和乙获胜的概率。解：解：设设A表示甲获胜，表示甲获胜，B表示乙获胜表示乙获胜设设A2k-1表示甲在表示甲在2k-1次首次命中，且乙没有命中次首次命中，且乙没有命中k=1,2,3设设B2k表示甲在表示甲在2k次首次命中，且甲没有命中次首次命中，且甲没有命中k=1,2,3)()(112 kkAPAP 112)(kkAP 111211)1()1(kkkppp)(1)(APBP 13、袋中有、袋中有4个红球和一个白球。每次随机地个红球和一个白球。每次随机地任取一球不放回，共取任取一球

9、不放回，共取5次。求下列事件的概次。求下列事件的概率：率： A：前三次取到白球：前三次取到白球; B：第三次取到白球：第三次取到白球 解：解：53)(351124 CCCAP51)( BP 14、袋中有、袋中有2n-1个白球，个白球，2n个黑球。今随机地不放个黑球。今随机地不放回地从袋中任取回地从袋中任取n个球，求下列事件的概率：个球，求下列事件的概率：1) n个球中恰有一个球与其个球中恰有一个球与其 n -1个球颜色不同个球颜色不同=A；2) n个球中至少有一个黑球个球中至少有一个黑球=B；3) n个球中至少有个球中至少有2个黑球个黑球=C。解：解：nnnnnCCCAP1412112)( )

10、(1)(BPBP nnnnCC14121 )(1)(CPCP nnnnnnnnnCCCCC141211214121 15 将将10个球随机地放入个球随机地放入12个盒中，每个盒容纳球个盒中，每个盒容纳球的个数不限，求下列事件的概率：的个数不限，求下列事件的概率：（1）“没有球的盒的数目恰好是没有球的盒的数目恰好是2”=A；（2）“没有球的盒的数目恰好是没有球的盒的数目恰好是10”=B。解：解：10101212!10)(CAP 101021212)22()( CBP1616、袋中装有编号、袋中装有编号1,2, n(n 2)的的n个球，有个球，有返回地抽取返回地抽取 r 次，求：次，求：（1 1）

11、1 1号球不被抽到的概率；号球不被抽到的概率；（2 2）1 1号球和号球和2 2号球均被抽到的概率。号球均被抽到的概率。解：解：rrnnAP)1()( 设设A A表示表示1 1号球被抽到，号球被抽到，B B表示表示2 2号球被抽到。号球被抽到。（1）)(1)(ABPABP （2）)(1BAP )()()(1BAPBPAP rrrrnnnn)2()1(21 17、设、设10件产品中有件产品中有4件不合格品，从中任取两件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率求另一件也是不合格品的概率解：解：21014162

12、421024)()()|(CCCCCCAPABPABP 设设A表示所取的两件产品中有一件是不合格品，表示所取的两件产品中有一件是不合格品， B表示另一件不合格品表示另一件不合格品32 18、假设一批产品中一、二、三等品各占、假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%和和10%，现从中随意取一件，结果不是三，现从中随意取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率等品，求取到的是一等品的概率解：解：设设A表示从中随意取一件产品，不是三等品，表示从中随意取一件产品，不是三等品，B表示取到的是一等品表示取到的是一等品)()()|(APABPABP 329 . 06 . 0)()( APBP19、

13、设甲、乙两人独立地向同一目标射击，其、设甲、乙两人独立地向同一目标射击，其命中率分别为命中率分别为0.6和和0.5，现已知目标被命中，现已知目标被命中，求它是甲射中的概率求它是甲射中的概率解：解：设设A，B分别表示甲、乙命中目标，分别表示甲、乙命中目标，C表示目标表示目标被命中。被命中。)()()|(CPACPCAP )()(BAPAP )()()()(ABPBPAPAP 435 . 06 . 05 . 06 . 06 . 0 20、某厂的产品有、某厂的产品有4%的废品，每的废品，每100件合格品中件合格品中有有75件一等品，试求在该厂中任取一件产品是一件一等品，试求在该厂中任取一件产品是一等

14、品的概率。等品的概率。解：解：设设A表示任取一件产品是一等品。表示任取一件产品是一等品。B表示任取一表示任取一件产品是合格品。件产品是合格品。则易知则易知75. 0)|( BAP96. 0)( BP)|()()()(BAPBPABPAP 72. 075. 096. 0 2121、在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的、在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率是概率是0.20.2，若乙机未被击落，就进行回击，击落，若乙机未被击落，就进行回击，击落甲机的概率是甲机的概率是0.30.3。若甲机未被击落，则再次进攻。若甲机未被击落，则再次进攻乙机，击落乙机的概率是乙机，击落乙机的概率是0.40.4。

15、求这几个回合中，。求这几个回合中，甲机被击落的概率及乙机被击落的概率甲机被击落的概率及乙机被击落的概率 解：设解：设A A表示甲机第一次击落乙机，表示甲机第一次击落乙机，B B表示乙机击表示乙机击落甲机，落甲机，C C表示甲机第二次击落乙机，表示甲机第二次击落乙机，D D表示甲机表示甲机被击落，被击落，E E表示乙机被击落。表示乙机被击落。 )|()()()(ABPAPBAPDP 24. 03 . 08 . 0 )()(CBAAPEP 424. 04 . 07 . 08 . 02 . 0 )()(CBAPAP )|()|()()(ABCPABPAPAP 22、设某型号的高炮发射一发炮弹击中飞机

16、的概、设某型号的高炮发射一发炮弹击中飞机的概率为率为0.6，现用此型号的炮若干门同时各发射一发，现用此型号的炮若干门同时各发射一发炮弹，问至少需配置几门高射炮才能以不小于炮弹，问至少需配置几门高射炮才能以不小于0.99的概率击中来犯的一架敌机。的概率击中来犯的一架敌机。解：解：设至少需配置设至少需配置n门高射炮才能以不小于门高射炮才能以不小于0.99的概的概率击中来犯的一架敌机。率击中来犯的一架敌机。设设A表示表示n门高射炮同时各发射一发炮弹至少有门高射炮同时各发射一发炮弹至少有一发炮弹击中来犯的敌机。一发炮弹击中来犯的敌机。)(1)(APAP 99. 04 . 01 n解不等式得：解不等式得

17、：n=623、甲袋中放有、甲袋中放有5只红球，只红球，10只白球；乙袋中放只白球；乙袋中放有有5只白球，只白球，10只红球。今先从甲袋任取一球放只红球。今先从甲袋任取一球放入乙袋，然后再从乙袋任取一球放入甲袋。最后入乙袋，然后再从乙袋任取一球放入甲袋。最后从甲袋任取两个球，求它们全是红球的概率。从甲袋任取两个球，求它们全是红球的概率。解：解： 设设C表示第一次从甲袋中取一红球放入乙袋，表示第一次从甲袋中取一红球放入乙袋，B表示从乙袋取一红球放入甲袋，表示从乙袋取一红球放入甲袋，A表示最后从甲表示最后从甲袋任取两个红球。袋任取两个红球。)|()()|()()(CBAPCBPBCAPBCPAP )

18、|()()|()(CBAPCBPCBAPCBP )|()|()()|()|()(CBAPCBPCPBCAPCBPCP )|()|()()|()|()(CBAPCBPCPCBAPCBPCP 1541661510156161015101541651551551611155 24、袋中有、袋中有2个白球和个白球和8个黑球。今有甲、乙、丙三个黑球。今有甲、乙、丙三人按此顺序和下述规则每人从袋中随机地取出一个人按此顺序和下述规则每人从袋中随机地取出一个球。规则如下：每人取出球后不放回，再放入一个球。规则如下：每人取出球后不放回，再放入一个与所取的球的颜色相反的球（即取出白球放入黑球；与所取的球的颜色相反

19、的球（即取出白球放入黑球；取出黑球放入白球）。求丙取到白球的概率取出黑球放入白球）。求丙取到白球的概率。 解：解： 设设A表示丙取到白球表示丙取到白球 B表示乙取到白球表示乙取到白球 C表示甲取到白球表示甲取到白球 由全概率公式得由全概率公式得)|()()|()()(CBAPCBPBCAPBCPAP )|()()|()(CBAPCBPCBAPCBP )|()|()()|()|()()(CBAPCBPCPBCAPCBPCPAP )|()|()()|()|()(CBAPCBPCPCBAPCBPCP 1041071081021031081021091020101102 308. 0 25、设一大炮对

20、某目标进行、设一大炮对某目标进行n次独立轰击的命中率次独立轰击的命中率都为都为p，若目标被击中，若目标被击中k次，则目标被摧毁的概率为次，则目标被摧毁的概率为 nkk,2,1 ,0,511 求轰击求轰击n次后目标被摧毁的概率次后目标被摧毁的概率 解：解：设设A表示轰击表示轰击n次后目标被摧毁次后目标被摧毁 Bk 表示轰击表示轰击n次后目标被命中了次后目标被命中了k次次, k=0,1,n nkkkBAPBPAP0)|()()(由全概率公式得由全概率公式得 nkkkBAPBPAP0)|()()( nkkknkknppC0)511()1( nkkknkknnkknkknppCppC0051)1()1

21、( nkknkknppC0)1()5(1npp)1(5(1 np)541(1 26、设一昆虫产、设一昆虫产i 个卵的概率为个卵的概率为 (i =0,1,)，而每个卵能孵化成虫的概率为而每个卵能孵化成虫的概率为p，且各卵的孵化是，且各卵的孵化是相互独立的，试求这昆虫的下一代有相互独立的，试求这昆虫的下一代有k个的概率。个的概率。 eii!解：解：设设B=昆虫的下一代有昆虫的下一代有k个。个。 设设A i=昆虫的下一代有昆虫的下一代有i个个,i=0,1,. eiAPii!)(, 1,)1()|( kknppCABPknkkni由全概率公式由全概率公式)()()(ikiiABPAPBP kikkik

22、iippCie )1(! kikkiippkikiie )1()!( ! kikikkipkpe)!()1(!)( !)(kpekp , 2 , 1 , 0k 0!)1(!)(ssksknspkpe 令令)1(!)(pmempe 27、设有一批产品，共设有一批产品，共100100件，其中件，其中4 4件废品，件废品，9696件件正品，任取三件测试，若有一件测试不合格就拒绝正品，任取三件测试，若有一件测试不合格就拒绝接受。又设次品在检查时测试为合格品的概率为接受。又设次品在检查时测试为合格品的概率为0.050.05，而正品被误测为不合格的概率是，而正品被误测为不合格的概率是0.010.01。求该

23、批产品被接受的概率。求该批产品被接受的概率。 解：解： 设设A A表示该批产品被接受。表示该批产品被接受。 Bk 表示抽取的三件产品中有表示抽取的三件产品中有k件废品件废品, k=0,1,2，3 30)|()()(kkkBAPBPAP由全概率公式得由全概率公式得 30)|()()(kkkBAPBPAP23100142963310039699. 005. 099. 0 CCCCC3310034231002419605. 099. 005. 0CCCCC 9629. 0 2828、设有来自三个地区的各、设有来自三个地区的各10名，名，15名和名和25名考名考生的报名表，其中女生的报名表分别为生的报

24、名表，其中女生的报名表分别为3份、份、7份份和和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后取份。随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份。出两份。（1）先抽到的一份是女生表的概率；先抽到的一份是女生表的概率；（2）已知后抽到的是一份男生表，求先抽到的一已知后抽到的是一份男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。份是女生表的概率。 解：解：设设A A先抽到的一份是女生表，先抽到的一份是女生表，B B后抽到的是一后抽到的是一份男生表。份男生表。8029)255157103(31)( AP)()()|(BPABPBAP 612)|( BAP92)(31)(2251201521518172101713 AAAAAAAAAABP9061)(31)(225120124215181142101719 AAAAAAAAABP29、在射击室里有、在射击室里有9支枪，其中经试射的有支枪，其中经试射的有2支，试支，试射过的枪的命中率是射过的枪的命中率是0.8，未试射过的枪的命中率是，未试射过的枪的命中率是0.1。今从射击室里任取一支枪独立射击。今从射击室里任取一支枪独立射击3次，有次，有2次次命中。求命中。求“所取的枪是已经试射过所取的枪是已经试射过”的概率的概率 。解：设解：设A= =所取的枪是已经试射过所取