相交两圆的性质及应用教学教案

1、第八章相交两圆的性质及应用【基础知识】两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理提供了用武之地，由此我们也可获得相交两圆的一系列有趣性质性质1相交两圆的连心线垂直平分公共弦性质2以相交两圆的一交点为顶点，过另一交点的割线为对边的三角形称为两相交圆的内接三角形，相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值推论1在相交两圆中，内接三角形都相似如图，均相似推论2在相交两圆中，若公共弦与内接三角形的一边垂直，则另两边必分别为两圆直径，反之亦真如图中，分别为，的直径推论3在相交两圆中，两内接三角形的割线段边相等的充要条件是公共弦与这两边成相等的角推论4在相交两圆中，内接三角形的交点（两圆交点）顶点，两非交点顶

2、点以及两非交点顶点处的两切线交点，此四点共圆，或两非交点顶点处的两切线交点在内接三角形的外接圆上性质3两相交圆的公共弦所在直线平分外公切线线段性质4以相交两圆的两交点分别为视点，对同一外公切线线段的张角的和为性质5两相交圆为等圆的充要条件是下述条件之一成立：（1）公共弦对两圆的张角相等；（2）过同一交点的两条割线交两圆所得两弦相等；（3）内接三角形以相交两圆交点为顶点的两边相等（即为等腰三角形）事实上，如图，与下相交于，（1）令，与为等圆（2）与为等圆（3）由正弦定理即证性质6过相交两圆的两交点分别作割线，交两圆于四点，同一圆上的两点的弦互相平行事实上，如图所示，即可证得 （证略）性质7与相交

3、于、，是过的一条割线段，在上，在上，为的中点，则为的中点的充要条件是事实上，如图 （a），设，分别为、在上的射影，由垂径定理，知、分别为、的中点，由梯形中位线定理知为的中点，不妨设，则由为的中点 （注意）注 特别地，当与重合时，有【典型例题与基本方法】例1如图，四边形内接于圆，对角线与相交于设三角形，和的外接圆圆心分别是，求证：，三直线共点（1990年全国高中联赛题）证明连并两方延长交于，交于在和中，以而，即利用相交两圆的性质1，知与的连心线公共弦，故同理，从而为平行四边形，交于其中点同理，也交于其中点所以，三直线共点例2如图，证明：若凸五边形中，则（第21届全俄中学生（10年级）奥林匹克题）

4、证明设对角线与相交于由，知，共圆因此，即，故，共圆此时，两圆与相交于点，从而由相交两圆性质2的推论1，知，即，故例3如图，两圆，相交于，的弦交于，的弦交于证明：（）若，则；（）若，则（1979年全国高中联赛题）证明（）对图 （a），因，四点共圆，有，且，而么，故，于是又由相交两圆性质2的推论1，知注意到，则，故对图 （b），由，及，分别四点共圆，有，又由，知，有，故（）由及（）中证明，可得，由此，可推证得注此例的第（）部分，1988年又作为第13届全俄中学生数学竞赛题：两圆相交于点，过点引直线，使它们分别与弦所构成的角相等除点外，与两圆的交点分别为，与两圆的交点分别为，证明：例4如图，已知与相

5、交于，直线垂直于且分别与，交于，为线段的中点，分别是，上的点，求证：（1985年广州、武汉、福州联合初中竞赛题）证明连，因，则由相交两圆性质2的推论2，知在上，在上连，则四边形为平行四边形，即于是，知为等腰梯形，从而，又，注意，便有故注此例实际上是由第3题改编而来：平面上两圆相交，其中一交点为，两边点各以匀速自点出发在不同的圆周上依同向移动，这两点经移动一周后同时返回到点求证：平面上有一定点，它不论在何时皆和两动点等距离例5如图，平面上两圆与相交，其中一交点为两动点，各以匀速自点出发在不同的圆周上依同向移动，这两点经移动一周后可同时返回到点求证：过的任一割线交两圆的两交点，分别与对应的移动中的

6、，的连线互相平行（试题改编）证明设两动点，出发后，经某一时段后分别到达和上的如图所示位置不妨设两动点是按逆时针方向移动，因移动一周的时间相同，故设为与的另一交点，连，因圆周角等于所对的同弧上的圆心角的一半，故，即，从而，三点共线于是由性质6，知【解题思维策略分析】1发掘题给条件中的两圆性质例6如图，与的半径均为，过的两顶点，过顶点，是，的另一个交点，求证：的外接圆半径也是证明作，连，则四边形也是平行四边形记，由于与是等圆，由相交两圆的性质5（1）， 注意到，则知，由此，有，四点共圆，于是，又注意到，有，于是设的外接圆半径为，则由正弦定理有故这说明的外接圆半径也是例7如图，已知为平面上两个半径不

7、等的与的一个交点，两圆的两条外公切线分别为和，切点分别为，和分别为，的中点求证：（24试题）证明延长交于，延长交于，由性质2的推论2，知，三点共线由于两圆半径不等，设直线与相交于，则点在所在直线上连并延长交于，交于，连，延长交于，则由性质3知，所以线段与弦互相垂直平分于是，即，三点共线同理，三点共线故由性质2的推论1，知，即有例8如图，圆和圆相交于点和设是圆和圆的两条公切线中距离较近的公切线，与切于点，与切于点设过且与平行的直线与圆还相交于点，与圆还相交于点直线和交于点，直线，分别交直线于点和求证：（41试题）证明连并延长交于，则由相交两圆的性质3，知为的中点在中，由又可得为的中点由及为的切线

8、，连，则推知，从而知 （在延长线上），故平分同理，连，知平分此时，即知，关于直线对称，故于是，在中，有，从而2根据题设条件构作相交圆例9如图，自的外接圆上任一点，引三边或其延长线的垂线，分别交于，交于，交于，交分别于，求证：证明注意到西姆松定理，知，三点共线由，四点共圆，且此圆与的外接圆相交于，两点，是过这两相交圆交点的两条割线，根据相交两圆性质5，知，同样，也是过这两相交圆交点的两条割线，由性质6有故又由，四点共圆，此时，是分别过与的交点，的两条割线，由性质6知，故例10如图，等腰中，是延长线上一点，是上一点，且，交于，经过，的圆交的外接圆于求证：证明由题设，知，及，分别四点共圆，连，有，从

9、而知，四点共圆此时，连，则，所以，四点共圆于是，是过两相交圆与的交点的两条割线由于，由两相交圆性质5（2），知与是等圆又由，共圆，有再注意到性质5（2），知因，共圆，有而，故，即有此时，推知，有，故例11已知在凸四边形中，直线与以为直径的圆相切求证：直线与以为直径的圆相切的充分必要条件是（25试题）证明必要性：如图，将，的中点分别记为，切于，切于连，则，均为等腰三角形由，四点共圆，有，从而两等腰三角形的底角相等，即么，由此有，四点共圆同理，四点共圆此两圆相交于，而，是分别过这两交点的割线，故由性质6，知充分性：如图8-15，设，分别为，的中点，作于以为直径的圆切于，连，则于连，设与交于，连，过

10、作交于因，故由，则，而，四点共圆，有 其中是由与的两对应边互相垂直推得设与的交点为，则，四点共圆又因，知，四点共圆，此时，有，五点共圆同理，四点共圆，且此圆与的公共弦为连，则连，则由相交两圆的性质2的推论1，知，故以为直径的圆过点且切于点3仔细找出相交两圆的内接三角形例12凸四边形的对角线交于点，、的外接圆交于、两点，直线分别交、的外接圆于、两点求证：是线段的中点（2006年全国女子奥林匹克题）证法1如图，联结、，则由推论1，有，从而,上述两式相除，得又由，有于是，将上式代入前一式，得，即证证法2如图，设、，的外心分别为、，则由性质1知，从而同理即知为平行四边形，设与交于点，则为的中点，且由垂

11、直平分知于是，由性质7知为的中点例13两圆、交于点、，过点的一条直线分别交圆、于点、，过点的另一条直线分别交圆、于点、，直线分别交圆、于点、设，分别是弧、的中点，若，求证：、四点共圆（2010年试题）证明如图，由推论3，知平分 （注意）又平分，平分于是，三线共点于的内心从而，由相交弦定理，有故由相交弦定理的逆定理，知、四点共圆例14如图，在圆内接中，为最大角，不含点的弧上两点、分别为弧、的中点记过且与相切的圆为，过点、且与相切的圆为与相交于、证明：平分（2012年试题）证明联结，则由题设知于是，只需证为等腰三角形，即即可联结、，延长至，延长交于点，联结由于点为弧的中点，有又是的切线，从而，所以

12、，、三点共线延长交于点，联结、，由推论1，知，注意到 （为弧的中点），有从而又由推论1，有，于是故即知平分【模拟实战】习题A1两圆与相交于点和，过点作两直线与两圆的交点分别为，；，（，在上），且求证：为定值2两等圆相交于，过作直线与两圆分别交于，若为的中点，求证：3两圆相交于，过任作直线被两圆所截得的线段为，又过作的垂线，被两圆所截得的线段为求证：4与相交于，两点，割线，都过点（，在上）若，求证：习题B1梯形中，分别是腰，上的点，求证：2定长弦 （长度小于直径）的两端在半圆弧上滑动试证：不论在什么位置，从，分别向弦作垂线，其垂足，与中点所成三角形都相似（1981年福州市竞赛题）3三圆两两相交，并过公共点，而另一交点分别为，过其中一圆的上（不含点）任取两点与（，点除外），引直线，与其他