数值分析课后部分习题集答案解析

1、 PAGE19 / NUMPAGES19 习题一（P.14）1. 下列各近似值均有4个有效数字,试指出它们的绝对误差和相对误差限.解有4个有效数，即，由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为；有4个有效数，即，由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为；有4个有效数，即，由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为，由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为.2下列各近似值的绝对误差限都是,试指出它们各有几位有效数字.解，即由有效数字与绝对误差的关系得，即 ，所以，；，即由有效数字与绝对误差的关系得 ，即 ，所以，；，

2、即由有效数字与绝对误差的关系得 ，即 ，所以，.4.设有近似数且都有3位有效数字，试计算，问有几位有效数字.解方法一因都有3位有效数字，即，则，又 ，此时，从而得.方法一因都有3位有效数字，即，则，由有效数字与绝对误差的关系得.5.序列有递推公式若（三位有效数字），问计算的误差有多大，这个计算公式稳定吗？解用表示的误差，由，得，由递推公式 ，知计算的误差为，因为初始误差在计算的过程中被逐渐的放大，这个计算公式不稳定.习题2 ( P.84)3.证明 ，对所有的其中为Lagrange插值奇函数.证明 令，则，从而 ，又 ，可得 ，从而 .4. 求出在和3处函数的插值多项式.解方法一 因为给出的节点

3、个数为4，而从而余项，于是 （n次插值多项式对次数小于或等于的多项式精确成立）.方法二 因为而 ，从而 .5. 设且，求证.证明 因，则，从而 ，由极值知识得 6. 证明 .证明由差分的定义或着 7. 证明 n阶差商有下列性质(a) 如果，则.(b) 如果，则.证明由差商的定义(a) 如果，则.(b) 如果，则8. 设，求，.解由P.35定理7的结论(2)，得7阶差商 (的最高次方项的系数)，8阶差商 (8阶以上的差商均等与0).9. 求一个次数不超过4次的多项式，使它满足：，.解方法一 先求满足插值条件，的二次插值多项式 (L-插值基函数或待定系数法)，设从而，再由插值条件，得所以 ，即 .

4、方法二 设，则 由插值条件，得解得 ，从而 .方法三 利用埃尔米特插值基函数方法构造.10. 下述函数在上是3次样条函数吗？解因为 ，而 ，又是三次函数，所以函数在上是3次样条函数.补设f(x)=x4，试利用L-余项定理写出以-1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式.解因为 ，从而 习题3 ( P.159)1设为上具有权函数的正交多项式组且为首项系数为1的次的多项式，则于线性无关.解方法一因为为上具有权函数的正交多项式组,则其Gram行列式不等于零，采用反证法：若于线性相关，于是，存在不全为零使上式两边与作内积得到由于不全为零，说明以上的齐次方程组有非零解故系数矩阵的行列式为零，即与假设矛盾

5、.方法二 因为为上具有权函数的正交多项式组,则其Gram行列式不等于零，由(P.95)定理2得于线性无关. 2选择，使下述积分取得最小值解，令 ，得.令 ，得.3设试用求一次最佳平方逼近多项式.解取权函数为(为了计算简便)，则, ，得法方程 ，解得，所以的一次最佳平方逼近多项式.8什么常数C能使得以下表达式最小？解，令 ，得.14用最小二乘法求解矛盾方程组.解方法一方程组可变形为 ，原问题转化成在已知三组离散数据下求一次最小二乘逼近函数(x与y为一次函数的系数，t为自变量)，取基,求解法方程,即 ，得到矛盾方程组的解为.方法二 方程组可变形为 ，令，令 ， 得 ，解之得矛盾方程组的解为.习题4

6、7. 对列表函数求解一阶微商用两点公式(中点公式),得二阶微商用三点公式(中点公式),首先用插值法求,由得一次插值函数从而 ,于是,8. 导出数值数分公式并给出余项级数展开的主部.解由二阶微商的三点公式(中点公式),得,从而 将分别在处展开,得(1)(2)3+(3)3(4), 得,即余项主部为习 题 5 (P. 299)3. 设为对称矩阵，且，经高斯消去法一步后，A约化为，试证明亦是对称矩阵.证明设，其中，则经高斯消去法一步后，A约化为，因而，若为对称矩阵，则为对称矩阵，且，易知为对称矩阵.13. 设 (1)计算；(2) 计算，及.解(1)计算,，其特征值为，又为对称矩阵，则的特征值为，因此；

7、(2) ，所以，为对称矩阵，其特征值为，则的特征值为，因此所以 15. 设，求证（1）；(2).证明(2)由（1），得， 则 ，从而 ，由算子X数的定义，得 .17. 设为非奇异阵，又设为上一向量X数，定义，求证：是上向量的一种X数（称为向量的W一X数）.证明正定性，因为一向量，下证 ，若即，由向量X数的正定性得，为非奇异阵，所以；若，则，由向量X数的正定性得即.齐次性，任意实数有，由向量X数的齐次性，得； 三角不等式，任意实数，有，再由向量X数的三角不等式，得.习 题 6 (P.347)1.设有方程组(b)，考查用Jacobi迭代法,G-S迭代法解此方程组的收敛性.解 系数矩阵分裂如下,Jacobi迭代矩阵为，J的特征方程为，展开得 ，即，所以用Jacobi迭代法解此方程组是收敛的.G-S迭代矩阵为，G的特征方程为 ，展开得 ，即或，由迭代基本定理得用G-S迭代法解此方程组是不收敛的.4.设有方程组，其中为对称正定阵，且有迭代公式 ()，试证明当时，上述迭代法收敛(其中的特征值满足).证明为对称正定阵，的特征值满足，且，则又迭代公式可变形为 ()，从而迭代矩阵，迭代矩阵的特征值为，且满