概率论内容总结与案例课件

1、第二章 内容回顾分布函数的性质 F ( x ) 单调不减，即 且 F ( x ) 右连续，即用分布函数表示概率（abp.d.f. 连续随机变量密度函数f ( x )的性质1 2常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的 d.f.3在 f ( x ) 的连续点处，f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的区间内取值的概率数学期望的性质(1) E(c) = c(2) E(aX) = aE(X)(3) E(g1(X)+g2(X) = E(g1(X)+E(g2(X)2.3.2 方差的性质(1) Var(c)=0. 性质 2.3.2(2) Var(aX+b) = a2 Var(X).

2、性质 2.3.3(3) Var(X)=E(X2)E(X)2. 性质 2.3.1（ ）.2.3.3 切比雪夫不等式 切比雪夫不等式注：易知 越大的取值越分散切比雪夫定理(泊松定理) 在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为pn(注意这与试验次数n有关), 如果n时, npn(0为常数). 则对于任意给定的k, 有超几何、二项、泊松分布之间的近似关系定理 超几何分布的极限分布是二项分布即，在超几何分布中对于固定的 n，k ，如果 lim N+ = p 则有极限关系： lim N+ = Cnk pk (1 p )n k 对所有的 0 k n 都成立。一般当 n 0.1 N 时可以用这个近

3、似的计算公式 M N CMk CN M n k CNn常用离散分布的数学期望 几何分布Ge(p) 的数学期望 = 1/p 0-1 分布的数学期望 = p 二项分布 b(n, p)的数学期望 = np 泊松分布 P() 的数学期望 = 常用离散分布的方差 0-1 分布的方差 = p(1p) 二项分布 b(n, p)的方差 = np(1p) 泊松分布 P() 的方差= 几何分布Ge(p) 的方差 = (1p)/p2 P( X m+n | X m ) = P( X n )几何分布的无记忆性指数分布的无记忆性常用连续分布的数学期望 均匀分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2 指数分布

4、Exp() : E(X) = 1/ 正态分布 N(, 2) : E(X) = 伽玛分布 Ga(, ) : E(X) = / 贝塔分布 Be(a, b) : E(X) = a/(a+b)常用连续分布的方差 均匀分布 U(a, b) 的方差 = (b a)2/12 指数分布 Exp() 的方差= 1/2 正态分布 N(, 2) 的方差= 2 伽玛分布 Ga(, ) : Var(X) = /2 贝塔分布 Be(a, b) : Var(X) = ab/(a+b)2(a+b+1)(x) 的计算(1) x 0 时, 查标准正态分布函数表.(2) x a) =1(a); (3) P(aXb) = (b)(a

5、); (4) 若a 0, 则 P(|X|a) = P(aXa) = (a)(a) = (a) 1 (a) = 2(a)1 一般正态分布的标准化定理2.5.1 设 X N(, 2),则 Y N(0, 1).推论: 若 X N(, 2), 则正态变量的线性不变性定理2.6.2 设 X N (, 2)，则当a 0 时， Y = aX+b N (a +b, a22).由此得： 若 X N (, 2)， 则 Y = (X )/ N(0, 1).正态分布的 3 原则设 X N(, 2), 则 P( | X | ) = 0.6828. P( | X | 2 ) = 0.9545. P( | X | 0 时，

6、 Y = kX Ga (, /k). 定理2.6.5 设 X FX (x)，若FX (x)为严格单调增的连 续函数，则Y = FX (X) U(0, 1).均匀分布的有用结论分布从哪里来？为什么事件发生的次数常使用泊松分布？伽马、贝塔、威布尔分布看起来冗长难懂，又会有什么作用？分布来源于问题的提出。心理学家认为: 一个正常人, 在整个睡眠时间中, 异相睡眠所占的比例服从B( 12, 48)非寿险精算：常用的损失分布为对数正态、伽马分布、贝塔分布、帕累托分布索赔次数分布：泊松分布、二项分布、负二项分布可靠性问题可靠度：测量仪器在规定的条件下，在规定的时间内完成规定功能的概率。它是时间的函数，记作

7、R(t)。R(t) = p(T t) 式中：T 为测量仪器寿命，t为规定时间，当t = 0 时，R(0) = 1；当t = 时，R()=00tNn(t)失效分布函数0tNn(t)t+ t n(t)产品工作到时间t时刻后，每单位时间内发生失效的频率为：威布尔分布环断裂概率ntt收益问题统计数据表明，一位40岁的健康者在5年内仍然活着或自杀的概率为p，在五年内死亡(非自杀)的概率为1-p，保险公司开办5年人寿保险，条件为参保者缴纳保费a元，若5年内死亡，公司赔偿b元，问b的取值应为多少保险公司才能获益？虫卵发育问题设一只昆虫所生的虫卵数为X，服从参数为的泊松分布，每个虫卵发育为幼虫的概率为p，各虫

8、卵是否发育为幼虫相互独立，求一只昆虫所生幼虫数Y的数学期望与方差。数学期望问题1设随机变量X的概率密度为：求E(min|X|,1)数学期望问题2对圆的直径进行测量，其值X均匀的分布在区间(a,b)内，求圆面积的数学期望。银行等待问题设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X服从指数分布，其密度函数为：某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，就离开。该顾客一个月到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。请写出Y的分布。离散随机变量与连续随机变量设F(x)与G(x)都是分布函数，且a0,b0，为常数，且有a+b=1。证明H(x)=a F(x)+b G(x)为分布函数，并对H(x)的离散与连

9、续性展开讨论奇异型随机变量F(X)00.5问题1解：记 B = “至少出现一次双6点”，则所求概率为 两颗骰子掷 24 次， 求至少出现一次 双6点 的概率.问题2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率.例2 令 A 表示“抽到2 张都是假钞”.B表示“2 张中至少有1张假钞”则所求概率是 （而不是 ！）.所以 15511515125115215115问题3 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;例3问题4某人有2盒火柴，吸烟时从任意盒中取1根，经过若干