化工数学课件：第二章 2 微积分

1、 2.2 数值微分例：确定反应动力学方程确定k及m已知：时间 反应物的浓度 t1 CA1 t2 CA2 . . tn CAn2.2.1、用差商近似微商（分） （1）求一阶导数的近似公式 （2）公式的误差 哪个精度更高呢？xixi-1xi+1xi+1/2xi-1/2f (x)f (x) （2）公式的误差 哪个精度更高呢？台劳展开式： 设函数f(x)在x=x0的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点, 在x0与x之间，使得：（3）二阶及高阶导数近似公式 （基于中心差商）2.1.2、 用插值函数计算微商 1、公式推导书26页对于等距节点，如果利用牛顿前插公式 2、几个常用求导公

2、式 （基于等距节点）（1）二点求导公式（公式 2-52）（2）三点求导公式（3） 二阶导数三点、四点公式暂停：休息2.3 数值积分例：真实气体的逸度 f 可用下式进行计算其中，已知0时氢气的有关数据，试求1000atm下的逸度f 。P 0 100 200 300 400 500 600 700 15.46 15.46 15.46 15.61 15.85 15.93 16.09 16.132.3.1等距节点求积公式（NewtonCotes公式） NewtonCotes公式xk=x0+khx=x0+thh=(b-a)/n几个常用的NewtonCotes求积公式1、梯形公式梯形公式的几何意义2、辛普

3、生（Simpson）公式3、3/8辛普生公式 4、柯特斯公式 2.3.2 求积公式的代数精度 定义：如果某个求积公式对于=m次的多项式均能正确成立，但对m +1次多项式不能正确成立，则称该求积公式具有m次的代数精度 (1) 零次多项式，即f (x)=1，用梯形公式计算得它在a,b上积分（2）一次多项式， f (x)=x （3）二次多项式， f (x)=x2 梯形求积公式对于零次和一次多项式 均能准确成立所以梯形公式具有一次代数精度可以证明：n阶牛顿柯特斯插值型求积公式至少具有n次代数精度 可以证明：当牛顿柯特斯公式的阶数为偶数时，它至少具有n +1次代数精度 （4）三次多项式， f (x)=x

4、3 龙格现象2.3.3 复化求积公式.N-1N1 复化梯形求积公式2 复化辛卜生求积公式.2n等分例1 用复化梯形公式和复化辛普生(例2-14)公式计算积分 （n=8）例2 已知等距区间上的下列数据x00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1f(x)938768554237353948535139试求之值。解：例 3已知f(x)由下表给出,求x00.30.60.81.0f(x)00.150.300.400.50解：=0.25前例2：真实气体的逸度 f 可用下式进行计算其中，已知0时氢气的有关数据，试求1000atm下的逸度f 。P 0 100 200 300 400

5、500 600 700 15.46 15.46 15.46 15.61 15.85 15.93 16.09 16.13暂停：休息2.3.4 变步长求积公式为什么用此式为积分计算 截止的判据？例72.3.5 求积公式的误差1 梯形公式的截断误差2 复化梯形公式的截断误差积分中值定理4 复化辛卜生公式的截断误差6 复化柯特斯公式的截断误差T2=0.9397933 T4=0.9445135 T8=0.9456909 T4=0.9445135 为什么？ 根据误差估算式，得所以当可以保证（1）由（1）2.3.6龙贝格积分法Sn= =Sn2.3.6龙贝格积分法（2-124）复化辛普生公式2.3.6龙贝格积分法根据复化辛普生误差公式截断误差与h4成正比 复化柯特斯公式的误差与h6成正比 龙贝格公式T1 T2 T4 T8S1 S2 S4 C1 C2 R1 龙贝格积分法的计算流程例102k00.920735510.93979330.94