电子商务项目策划与设计第二篇-构件的承载能力

1、绪论第四章 轴向拉伸与压缩第五章 剪切与挤压第六章 圆轴的扭转第七章 弯曲第八章 组合变形的强度计算第九章 压杆稳定第十章 交变应力与构件的疲劳强度 第二篇 构件的承载能力一、材料力学的研究对象二、材料力学的任务三、可变形固体的性质及其基本假设四、杆件变形的基本形式五、外力、内力与应力绪 论静力学：刚 体FFF F一. 材料力学的研究对象FFF F变 形 体FFF F材料力学的研究对象：变形固体 注意：刚体模型适用的概念、原理、方法，在研究变形体模型的内部效应（变形）时不适用。诸如：力和力偶的可传递性原理、力的分解和合成原理等。变形不等效力线平移定理：变形不等效力的可传性公理： 在生产实际中，

2、各种机械和工程结构得到广泛应用。组成机械的零件和结构的元件，统称为构件。构件分类 简易压力机横梁、连杆受力可能破坏横梁轴销活塞杆汽缸连杆上平台工件下平台变速器传动轴受力变形、工作失稳齿轮传动轴材料力学以“梁、杆”为主要研究对象二. 材料力学的任务 在满足构件承载能力的要求下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适宜的材料，而提供必要的理论基础和计算方法。承载能力构件承受载荷的能力。1.强度2.刚度3.稳定性强度 ：构件在外力作用下抵抗破坏的能力（牢不牢的问题）。破坏显著的塑性变形和断裂。变形构件尺寸与形状的变化。弹性变形外力解除以后可消失的变形。塑性变形外力解除以后不能消失的变形。

3、强度问题刚度： 构件在外力作用下抵抗变形的能力 （变形大不大的问题）刚度大，变形小；刚度小，变形大。刚度问题钻床稳定性：构件在外力作用下保持其原有平衡状态 的能力（是否会弯折的问题）。稳定性主要是针对细长的压杆而言的。例如：PP稳定性问题强度问题、刚度问题强度、刚度和稳定问题研究塔吊不致倾倒，确定所需配重（理论力学） 研究组成塔吊的每一根杆件的受力以及受力以后是否会产生破坏或者选择怎样的截面形状、尺寸和材料。（材料力学） 不同构件的承载能力是不同的。与下列因素有关：材料性质：如木材，钢铁； 尺 寸： 大、小； 形 状：空心、实心；平放、竖放。从安全角度考虑：优质材料，构件尺寸粗大；从经济角度考

4、虑：节省材料，减少成本，减轻自重。三.可变形固体的性质及其基本假设连续性假设： 物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。均匀性假设：物体内，各处的力学性质完全相同。各向同性假设：组成物体的材料沿各方向的力学性质完全相同。（这样的材料称为各项同性材料；沿各方向的力学性质不同的材料称为各项异性材料。）小变形假设： 材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形与原始尺寸相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其变形。1. 轴向拉伸与压缩2. 剪切与挤压3. 扭转4. 弯曲四、 杆件变形的基本形式（1）轴向拉伸和压缩拉伸变细变长压缩变短变粗拉力与压力都是沿杆的轴线方向（2）剪切和挤压剪切变形挤压变形剪切变形（3

5、）扭转MeMegj（4）弯曲MeMe五、外力、内力与应力 外力：是指由其他物体施加的力或由物体本身的质量引起的力。 内力：是指在外力作用下物体内各个部分之间的作用力。 外力的正负号取决于所建立的坐标系，与坐标轴同向为正反向为负。 内力的正负号根据规定，不同变形的内力有不同的规定。应力：是内力分布的集度，可以理解为是单位面积的内力正应力垂直于截面的应力剪应力平行于截面的应力正负号规定：正应力 拉为正，压为负剪应力 顺时针为正，逆时针为负s0s0t1，故极限应力大于许用应力。 将极限应力与许用应力之差作为安全储备。安全系数 n 的确定：显然，安全系数越大越安全；但是， n大, 小,P 降低或W增加

6、。经济效益下降。在安全性、经济性和轻量化的要求中寻求优化。n的选取，取决于对问题的认识程度，已往的经验。注意：杆中任一处均应满足强度条件。误差大、工作条件恶劣、破坏后果严重，n应越大。 设计中，强度条件可一般地写为： 对于轴向拉压杆，强度条件为： =FN/A FN是轴力，A为横截面面积。 （二）强度设计的一般方法初步设计设计目标平衡方程变形几何条件应力应变关系内力应力强度条件满意？结束YESNO修改设计强度计算材料试验极限应力选取安全系数许用应力1）构件处处都要满足强度条件。 危险截面？2）系统中所有构件都要满足强度条件。最薄弱构件？3）认识水平越高、分析能力越强，安全储备可越少。4）强度不足

7、时，可重新选材、加大尺寸或降低载荷。（三）拉压杆件的强度设计依据强度条件，进行强度设计，包括：1) 强度校核 =FN/A 对初步设计的构件，校核是否满足强度条件。 若强度不足，需要修改设计。2) 截面设计 AFN/ 选定材料，已知构件所承受的载荷时， 设计满足强度要求的构件的截面面积和尺寸。3) 确定许用载荷 FNA 已知构件的几何尺寸，许用应力，计算结构或 构件所能允许承受的最大载荷。工作应力大、许用应力小的截面。 处处满足强度条件 危险截面满足强度条件。危险截面：对拉、压许用应力不同的材料，应分别考虑，即：AB拉 ；BC压CD与BC材料同, FN小；面积ACD也小； CD可大； 故各段均可

8、能为危险截面，都需要校核。BC段：与AB段同面积， FNBC FNAB ， BC AB ；但铜钢；如：杆AB段为钢制，BC和 CD为铜制。轴力如图。AB段：轴力最大，AB大；若各段材料相同, 同，危险截面只有AB、CD段。15kN10kN9kN4kN例1 杆钢段AB ，钢=200MPa, 铜段BC和CD， 铜=70MPa；AC段截面积 A1=100mm2 , CD段截面积 A2=50mm2 ；试校核其强度。1. 画轴力图 2. 求各段应力 用 N-mm-Mpa 单位系 AB=9103/100=90MPa BC=-6103/100=-60MPa CD=4103/50=80MPa. 3.强度校核

9、AB段 AB=90MPa钢 ; 强度足够； BC段 BC=60MPa铜; 强度不足。4.重新设计CD截面：ACDFN/铜=57mm2 。解：一般步骤：外力内力应力(承载能力)利用强度条件设计计算15kN10kN9kN4kN12CBA1.5m2mF 例2 图示结构，钢杆1：圆形截面，直径d=16 mm,许用 应力 ；木杆2：方形截面，边长 a=100 mm, ,(1)当作用在B点的载荷 F=2 t时，校核强 度；(2)求在B点处所 能承受的许用载荷。解：外力内力应力(承载能力)利用强度条件设计计算F1. 计算各杆轴力21解得12CBA1.5m2mFB2. F=2t时，校核强度（注意单位转化）1杆

10、：2杆：因此结构安全3. F 未知，求许可载荷F 各杆的许可内力为两杆分别达到许可内力时所对应的载荷1杆:2杆：确定结构的许可载荷为分析讨论： 和 是两个不同的概念。因为结构中各杆并不同时达到危险状态，所以其许可载荷是由最先达到许可内力的那根杆的强度决定。这是一个设计拉杆截面的问题，根据首先需要计算拉杆的轴力例3 一悬臂吊车，其结构和尺寸如图a所示。已知电葫芦自重G=5kN,起重量Q=15kN,拉杆BC采用Q235圆钢，其许用应力 =140MPa，横梁自重不计，试选择拉杆的直径d。 对结构作受力分析，利用静力平衡条件求出最大轴力最大轴力出现在电葫芦位置位于BG + QFNBCFNBA(b)求圆

11、钢杆BC 的直径可以选取 例4 一起重用吊环，侧臂AC和AB有两个横截面为矩形的锻钢杆构成。h=120mm, b=36mm,许用应力为80MPa。求吊环的最大起重量。问题是确定载荷先求出侧臂所能承受的最大内力，再通过静力平衡条件确定吊环的载荷。静力平衡条件FNFN拉压杆的变形沿轴向的伸长或缩短横向尺寸的缩小或增大PP llabab横向变形 a, b四、轴向拉（压）时的变形lll1.拉压杆的纵向变形及应变线应变：单位长度的线变形。绝对变形：胡克定律PP llll胡克定律实验证明：当正应力小于某一极限值时，正应力与正应变存在线性关系，即：=E称为胡克定律，E为弹性模量，常用单位：GPa（吉帕）同理

12、，切应变小于某一极限值时，切应力与切应变也存在线性关系，即：=Er此为剪切胡克定律，G为切变模量，常用单位：GPa1GPa=103MPa; 1MPa=1N/mm2=106N/m2钢与合金钢E=200-220GPaG=75-80GPa铝与合金铝E=70-80GPaG=26-30GPa木材E=0.5-1GPa橡胶E=0.008GPa2. 横向变形泊松比PP llllabab例5 已知：P1=20kN, P2=P3=35kN, 1 = 3 = 300mm, 2=400mm d1=24mm, d2=16mm, d3=12mm, E=210GPa 求总伸长d1d2d3P1P2P3123ABCD解：(1）

13、轴力图（2）求各段变形(3)总变形FN(kN)501520 lll l lll提升机的钢丝绳，=50m，提升重量 P=10kN, A=324mm2，钢丝绳的单位长度重量q=32.2N/mE=150GPa。求：总伸长 。Pl解：(1)轴力方程(2) 微段分析（3）总伸长xFN=P+qxPGFN(x)dxFN(x)FN(x)例6ll 力学性能： 材料在外力作用下表现的有关强度、变形方面的特性。（1)试验条件：常温(20)； 静载（及其缓慢地加载）； 标准试件。dh1. 试验条件及试验仪器五、材料拉压时的力学性能标准试件(2)试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。（1）低碳钢的拉伸（C5%

14、Q235钢 5=25%-27% =60% 和 的数值越高，说明材料的塑性越大。 有些材料如黄铜、铝合金，断裂前有较大的塑性变形，属于塑性材料。但没有明显的屈服阶段。用s0.2作为屈服强度。2. 材料拉伸时的力学性能(2)铸铁的拉伸0.2%试件变形很小，断口截面几乎没有颈缩，这种破坏称为脆性断裂。用抗拉强度 b 作为其强度指标。 工程应用中用割线来代替曲线，以便应用虎克定律。(3)低碳钢的压缩金属材料试件 H=1.53.0D可以看出，压缩曲线与拉伸曲线主要部分基本重合，所以E、 s 都与受拉结果相同。到达屈服点后，出现显著的塑性变形。由于两端面受磨擦限制，故被压成鼓形。测不出其抗压强度。（4）铸

15、铁的压缩可见，其抗压强度远比抗拉强度高，约达25倍。最后沿45度左右的斜面断裂。混凝土,石料试样用立方块其抗压强度也远大于抗拉强度，只是破坏形式不同而已。( 5 )两者比较变形大小不同。抗拉压强度不同。塑材用于需要锻压、冷加工和承受冲击荷载的构件。脆材用于受压构件，且价格便宜。塑材用于受拉的构件。结论：1. 强度指标：E，2. 两个塑性指标表征材料塑性变形的程度延伸率：截面收缩率：3. 变形弹性变形：卸载后可消失的变形塑性变形：卸载后不消失的变形强度条件：（1）校核强度（2）选择截面（3）确定许可荷载计算中用得多实验中用得多变形计算：PlA 4 小 结一般步骤：外力内力应力 (承载能力）利用强

16、度条 件设计计算强度设计的一般方法：1）构件处处都要满足强度条件。 危险截面？2）系统中所有构件都要满足强度条件。最薄弱构件？3）认识水平越高、分析能力越强，安全储备可越少。4）强度不足时，可重新选材、加大尺寸或降低载荷。初步设计设计目标平衡方程变形几何条件应力应变关系内力应力强度条件满意？结束YESNO修改设计强度计算材料试验极限应力选取安全系数许用应力第五章 剪切与挤压一、剪切与挤压的概念和工程实例二、强度实用计算第五章 剪切与挤压一、剪切与挤压的概念和工程实例受力特点：作用在构件两侧面上的横向外力的合力大小相等，方向相反，作用线相距很近变形特点：两力间的横截面发生相对错动。构件受剪时，剪

17、切与挤压一般是同时发生的。二、强度实用计算 构件受剪时，剪切面和挤压面上的应力分布较复杂，在工程实际中一般采用实用计算：假定剪切面和挤压面上的应力都是均匀分布的，由此得到的计算结果具有足够的精度。1.剪切强度计算剪切面的确定FFFFFFFQ一个剪切面FQQ双剪：Q=F/2二个剪切面单剪：Q=F剪切面剪应力剪力式中 Q 剪切面上的剪力。 A 剪切面面积。剪切强度条件为：剪应力计算公式：式中 材料的许用剪应力。在剪切强度条件中所采用的许用剪应力，是在与构件的实际受力情况相似的条件下进行试验，并同样按剪应力均匀分布的假设计算出来的剪力的计算（截面法） ：QF（单剪);Q=F/2(双剪）1. 强度校核

18、; 选择截面尺寸;2. 3. 确定最大许可载荷根据实验，一般情况下，材料的许用剪应力 与许用拉应力 之间有以下关系：对塑性材料 对脆性材料剪切强度条件可解决三类问题：2. 挤压强度计算 挤压破坏特点： 构件互相接触的表面上,因承受了较大的压力作用,使接触处的局部区域发生显著的塑性变形或被压碎.作用在接触面上的压力称为挤压力; 在接触处产生的变形称为挤压变形. 挤压面 挤压力的作用面叫做挤压面,由于挤压力而引起的应力叫做挤压应力,以j表示.MMFFj 孔挤扁或钉FFj键或槽变形MFjFjFj键上挤压力挤压面挤压面二个剪切面挤压面为曲面时的计算挤压面FFFF二个挤压面实际挤压面FjFjFj计算挤压

19、面三个挤压面挤压强度条件为许用挤压应力 与许用拉应力 有以下关系: 塑性材料 脆性材料 假设挤压应力均匀地分布在挤压面上,则挤压应力可按下式计算:式中 P 挤压面上的挤压力; 挤压面面积.1. 强度校核; 选择截面尺寸;2. 3. 确定最大许可载荷。挤压强度条件可解决三类问题：3. 焊接缝的假定计算切应力作用面面积:Amin= cos 450强度准则:为焊缝材料的许用切应力 l 切应力作用面面积:Amin= cos 450 l 例1 减速器齿轮轴为平键连接 , 2 =56mm, R=8mm, b=16mm, h=10mm,键=60MPa， 轮毂j =100MPa,M=2Ft/D=30Nm，d=

20、53mm,校核键连接强度。 l 例1 减速器齿轮轴为平键连接 , 2 =56mm, R=8mm, b=16mm, h=10mm,键=60MPa， 轮毂j =l 解：（1）校核剪切强度 键的受力情况如图所示,根据平衡方程式此时剪切面上的剪力 Q=F=2M/d=2300000/53=11321(N) 对于圆头平键，其圆头部分略去不计，故剪切面面积为所以，平键的工作剪应力为满足剪切强度条件 MFoMo(F)=M-Fd/2=0（2） 校核 挤压强度 与轴和键比较，通常轮毂抵抗挤压的能力较弱。轮毂挤压面上的挤压力为 Fj=F=11321N挤压面的面积与键的挤压面相同，设键与轮毂的接触高度为h/2，则挤压

21、面面积为:故轮毂的工作挤压应力为也满足挤压强度条件键连接的强度是足够的 例2 两矩形截面木杆，用两块钢板连接如图示。已知拉杆的截面宽度 b=25cm，沿顺纹方向承受拉力F=50kN，木材的顺纹许用剪应力为 , 顺纹许用挤压应力为 。试求求接头处所需的尺寸L和 。FF/2F/2解：剪切面如图所示。剪 切面面积为：剪切面由剪切强度条件：由挤压强度条件：例3 如图所示b=50mm的两矩形钢板相互连接，若P=100kN。钢板的许用剪应力=80MPa，许用挤压应力j=250Mpa,试求a，c的尺寸。 解：（1）由剪切强度条件：=25(mm)（2）由挤压强度条件： =8(mm) 例4PP 销连接，P=18

22、8kN，销直径d=90mm， ，校核强度解：P（1）剪切强度校核Q（2）挤压强度校核强度满足要求。Fdt冲头钢板冲模例5 图示冲床的最大冲压力为400kN，被冲剪钢板的剪切极限 应力为 ,已知 d=34mm。试求此冲床所能冲剪钢板的最大厚度t。FFF剪切面解：剪切面是钢板内被 冲头冲出的圆柱体 的侧面：t冲孔所需要的冲剪力：故即 例6： 车床丝杠传递力矩M=80N.m, 安全销为硬铝， =100MPa，j =140MPa。要求在M超载30%时安全销剪断，试确定其直径d并校核其挤压强度。解：1）考虑剪断： 剪断条件：=Q/A , A =d2/4, 求得：d8.13mm 取d=8mm2）考虑挤压：

23、D1=20mmD2=30mmM QD1=1.3M Q=1.3M/ D1=5.2 (kN) Fj=Q， Aj=d(D2-D1)/2 挤压应力： j=Fj/Aj=130(MPa) j=140MPa 挤压强度足够。强度条件： =Q/(d2/4) 有： d24Q/=100103/80p=398(mm2 ) 即得： d19.9mm 取d=20mm例7： 联轴节的四个螺栓对称置于D=480mm的圆周上。扭矩M=24kNm。若=80MPa，j=120MPa。试设计螺栓直径 d和连接法兰最小厚度t。ttDMoQQQQ解：1)考虑 螺栓剪切 由平衡条件有: SM0(F)=M-4Q(D/2)=0 Q=M/2D=2

24、4/0.96=25(kN) 2)考虑 螺栓挤压 除去螺栓，连接法兰受力如图。 挤压强度条件： j=Fj/Aj=P/tdj 即: tFj/dj=25103/(20120)=10.4(mm) 故法兰厚度可选用 t=12mm。由平衡条件有： SM0(F)=M-4Fj(D/2)=0 Fj=25kN ttDMoFjFjFjFj例8 厚度为 的主钢板用两块厚度为 的同样材料的盖板对接如图示。已知铆钉直径为d=2cm，钢板的许用拉应力 ，钢板和铆钉许用剪应力和许用挤压应力相同，分别为 ， 。若F=250KN，试求:（1）每边所需的铆钉个数n；（2）若铆钉按图示排列，所需板宽b为多少？FF解：可采用假设的计算

25、方法： 假定每个铆钉所受的力都是一样的。可能造成的破坏：（1）因铆钉被剪断而使铆接被破坏； （2）铆钉和板在钉孔之间相互挤压过大，而使铆接被破坏； （3）因板有钉孔，在截面被削弱处被拉断。（1）铆钉剪切计算F/nF/2nF/2nF/2n（2）铆钉的挤压计算因此取 n=4.（3）主板拉断的校核FF/nF/nF/nF/nFF/2II危险截面为I-I截面主板的强度条件为（忽略应力集中的影响）：t =Q/A=b/n A为剪切面面积 剪切强度条件连接件j=Fj/Ajj Aj 为计算挤压面积 挤压强度条件连接件、被连接件 =Q/A b剪断条件工件、连接件 5 小 结剪切与挤压的主要区别剪切面与外力平行挤压

26、面与外力垂直剪切应力为剪应力挤压应力为正应力剪切面计算铆钉与螺栓键挤压面计算（2）正确地确定剪切面的位置及其上的剪力。剪切面在两相邻外力作用线之间，与外力平行。（3）正确地确定挤压面的位置及其上的挤压力。挤压面即为外力的作用面，与外力垂直；挤压面为半圆弧面时，可将构件的直径截面视为挤压面。 剪切实用计算所作的主要假设是：（1）假设剪切面上的剪切应力均匀分布，由此得出剪切强度条件为（2）假设挤压面上的挤压应力均匀分布，由此得出挤压强度条件为剪切构件的强度计算，与轴向拉压时相同，也是按外力分析、内力分析、强度计算等几个步骤进行的。在作外力和内力分析时，还须注意以下几点：（1）首先必须取出剪切构件，

27、明确研究对象，绘出其上的全部外力，确定外力大小。在此基础上才能正确地辨明剪切面和挤压面。一、扭转的工程实例及概念二、外力偶矩的计算三、杆扭转时的内力及计算四、圆轴扭转时的应力和变形五、圆轴扭转时的强度和刚度计算第六章 圆轴的扭转T一、扭转变形的概念 1.工程实例T传动轴PP汽车转向轴传动轴研究对象： 圆截面直杆2.受力特点 构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的外力偶作用，两力偶大小相等，转向相反。且满足平衡方程:3.变形特点各横截面绕轴线发生相对转动.扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（）：直角的改变量。mmOBAxyzmm变形前变形后fAB转速：n (转/分)输入功率：P

28、(kW)m1分钟输入功：1分钟m 作功：单位二、外力偶矩的计算m-作用在轴上的外力偶矩，单位为牛顿米（Nm)；P-轴传递的功率， P的单位大多为千瓦(kW)；n-轴的转速，单位为转/分(r/min)。其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（r/min）其中：P 功率，马力（PS） n 转速，转/分（r/min）其中：P 功率，马力（HP） n 转速，转/分（r/min）1PS=735.5Nm/s , 1HP=745.7Nm/s , 1kW=1.36PS功率，转速和力偶矩之间的关系三、杆扭转时的内力1. 扭矩 杆扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩称为扭矩。扭矩的

29、符号规定：用截面法求扭矩：mmmTx把扭矩按右手螺旋法则表示成矢量: 4个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向与外法线方向一直为正(离开截面为正)与外法线方向相反为负(指向截面为负) 在工程实际中常用一个图形来表示沿轴长各横截面上的扭矩随横截面位置的变化规律，这种图形称为扭矩图。 直接求扭矩图的简便方法： 从杆件最左端直接画扭矩图，外力偶向上为正，扭矩上升；外力偶向下为负，扭矩下降。（若从杆件最右端直接画扭矩图，则外力偶向下为正，扭矩上升；外力偶向上为负，扭矩下降。） 外力偶作用点即为扭矩突变点，其扭矩突变值为该外力偶的值，扭矩的大小为该外力偶与前一扭矩依次相加的代数值。 待画完扭矩图后

30、可检查扭矩图两端的扭矩与两端外力偶是否相对应，以确保扭矩图正确无误。2.扭矩图 例1 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功率为PA=400kW，从动轮B、C 和D 的输出功率分别为PB=PC=120kW，PD=160kW。试作轴的扭矩图。 解：1.由功率与转速关系计算外力偶矩：BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT /kNmT 图1.645.46 MA向上，扭矩上升2.简便方法求扭矩（1）（从左端开始） 1.64 MC向下，扭矩下降2.18 MD向下，扭矩下降 1.64 MB向下，扭矩下降 从杆件最左端直接画扭矩图，外力偶向上为正，扭矩上升；外力偶向下为负，扭矩下

31、降。 外力偶作用点即为扭矩突变点，其扭矩突变值为该外力偶的值，扭矩的大小为该外力偶与前一扭矩依次相加的代数值。BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT /kNmT 图1.645.46 MA向上，扭矩上升2.简便方法求扭矩（1）（从左端开始）再看一次 1.64 MC向下，扭矩下降2.18 MD向下，扭矩下降 1.64 MB向下，扭矩下降BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT /kNmT 图1.645.46 MA向上,扭矩下降1.64 MC向下，扭矩上升2.简便方法求扭矩（2）（从右端开始） 2.18 MD向下，扭矩上升 1.64 MB向下，扭矩上升 从杆件最右端直接画扭矩图

32、，则外力偶向下为正，扭矩上升；外力偶向上为负，扭矩下降。 外力偶作用点即为扭矩突变点，其扭矩突变值为该外力偶的值，扭矩的大小为该外力偶与前一扭矩依次相加的代数值。BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT /kNmT 图1.645.46 MA向上,扭矩下降1.64 MC向下，扭矩上升2.简便方法求扭矩（2）（从右端开始）再看一次 2.18 MD向下，扭矩上升 1.64 MB向下，扭矩上升 例2 图示传动轴上，经由A轮输入功率10kW，经由B、C、D轮输出功率分别为2kW、3kW、5kW。轴的转速n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？ACBDACBD

33、经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为解：ACBD（-）扭矩T-图（+）（在CA段和AD段）将A、D轮的位置更换，则ACBD扭矩T-图（-）（AD段）因此将A、D轮的位置更换不合理。等直圆杆横截面应力变形几何方面物理关系方面静力学方面四、圆轴扭转时的应力和变形 1）横截面变形后仍为平面； 2）轴向无伸缩； 3）纵向线变形后仍为平行。1. 等直圆杆扭转实验观察：2. 等直圆杆扭转时横截面上的应力1） 变形几何关系：距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。 扭转角沿长度方向变化率。Ttmaxtmax2）物理关系：虎克定律：代入上式得：3）静力学关系：令代入物理关系式 得：TOdA4）公式讨论：

34、 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。DdO对于实心圆截面：dOd对于空心圆截面： 应力分布tmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料， 重量轻, 结构轻便，应用广泛。Ttmaxtmax采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。因为 根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用； 从截面的几何性质分析，横截面

35、面积相同的条件下，空心轴材料分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数Wp也比较大，强度和刚度均可提高； 通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不变，即指截面图形极惯性矩保持不变。对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。 1）由公式知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为3.等直圆杆在扭转时的变形2）单位扭转角 ：或G为材料的切变模量（MPa）；GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。在扭矩相同的条件下，受扭圆轴破坏的标志：塑性材料：首先发生屈服，在试样表面的横向和纵向出现滑移线， 最后沿横截面被剪断。脆性材料：变形很小，在与轴线约成45的面

36、上断裂。1.强度条件五、圆轴扭转时的强度和刚度计算由知：当对于空心圆截面：对于实心圆截面：WP：抗扭截面模量（mm3或m3）强度条件：对于等截面圆轴：2.强度计算的应用 校核强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：3.刚度条件或 称为许用单位扭转角。 的数值按照对机器的要求决定：精密机器的轴：一般传动轴：精度要求不高的轴：研究思路：变形几何条件dx -(1)d/jrg=+材料物理关系dxdGGjrgtrr=-(2)静力平衡关系+ATdAdxdG=2rj-(3)圆轴扭转剪应力公式：rrrtIT=-(4)且由(2)、(4)可知单位扭转角为：rjGITdxd/=-(5)结论：1）圆轴扭转时，横截面上只

37、有剪应力，剪应力在横 截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转 向确定。2） 截面任一处 截面外圆周处（表面） tr=Tr/ Ir tmax=T/WP dDo空心圆轴实心圆轴Do Ttrtmax Ttrtmax讨论：2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确? 1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否? 若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？ 变形是否相同？相同相同不同oToToToT例3 一传动轴，已知d=45cm,n=300r/min。主动轮输入功率PA=367kW,从动轮B、C、D输出的功PB=147kW,PC=PD=11kW。轴的材料为45号

38、钢，G=80103MPa， =40MPa, =2/m，试校核轴的强度和刚度。解 (1) 计算外力偶矩 (2) 画扭矩图,求最大扭矩 用截面法求得AB.AC.CD各段的扭矩分别为:(3) 强度校核 满足强度条件.(4) 刚度校核故满足刚度条件 例4 已知A轮输入功率为50kW，B、C、D轮输出功率分别为15kW、15kW、20kW，轴的转速为300r/min， =60MPa。试设计该轴直径d。BCADMBMCMDMA477.5Nm955Nm637NmT解 （1）计算外力偶矩，画扭矩图选：d = 45mmTmax=955Nm（2）由强度条件设计轴直径例5 联轴节如图。轴径D=100mm，四个直径d

39、=20mm的螺栓对称置于D1=320mm的圆周上，t=12mm。若=80MPa。试确定许用的扭矩M。解：考虑 轴的扭转强度条件:16/3maxmaxtpt=DMWTP16/3DMpt kN m mm)(N 7 . 15. 107.1516/1008063 =pttD1MoD 例6 5吨单梁吊车，P=3.7kW, n=32.6r/min, 轴用45号钢，=40MPa, G=80103MPa, = 1 /m。试选择传动轴CD的直径，并校核其扭转刚度。解（1）计算扭矩轴CD各截面上的扭矩等于车轮所受的外力偶矩T轮，则马达的功率通过传动轴传递给两个车轮，故每个车轮所消耗的功率为(Nm)（2） 计算轴的

40、直径 选取轴的直径 d=45mm。（3）校核轴的刚度 例7某牌号汽车主传动轴，传递最大扭矩T=1930Nm,传动轴用外径D=89mm、壁厚=2.5mm的钢管做成。材料为20号钢，=70MPa,校核此轴的强度。解（1）计算抗扭截面模量(cm3)（2） 强度校核 满足强度要求解：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：轴的最大剪应力例8 某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm,壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为Tmax=1500 Nm,试校核此轴的强度。已知=60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直径D1为多少？所以此轴安全。若此轴改为实心轴，而式中解得：

41、实心轴的横截面面积为空心轴的横截面面积空心轴与实心轴的重量之比：因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节约材料、比较经济。练习1：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的 倍？圆轴的扭转角是原来的 倍？816课堂练习练习2：一直径为D1的实心轴，另一内外径之比d2D20.8的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直径之比D2/D1。解：由得：课堂练习练习3：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?解：设实心轴的直径为 d1 ，由得：课堂练习内力应力o Ttmax内力是扭矩 T剪应力 在横截面上线性分

42、布，垂直与半径，指向由扭矩的转向确定。6 小 结圆轴扭转最大剪应力在表面处作用在轴上的外力偶矩外力强度设计极惯性矩：实心轴空心轴抗扭截面模量：实心轴空心轴刚度设计一、工程实际中的弯曲问题及弯曲的概念二、用截面法作梁的内力图三、利用平衡微分方程作梁的内力图 四、梁的应力与强度条件五、梁的变形第七章 弯曲一、工程实际中的弯曲问题及弯曲的概念梁的弯曲是材料力学部分最重要的内容弯曲变形是工程构件最常见的基本变形PPPPPPP1. 工程实际中的弯曲问题P2. 梁弯曲的概念PqMRARB产生弯曲变形的杆称为梁梁受到与其轴线垂直的横向力作用要发生弯曲变形3. 平面弯曲的概念梁有纵向对称面，且载荷均作用在纵向

43、对称面内，变形后梁的轴线仍在该平面内，称为平面弯曲。纵向对称面梁的横截面都有对称轴4. 梁的载荷(1) 集中力(2) 均布载荷(3) 集中力矩正负号规定：集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负；集中力矩逆时针为正、顺时针为负。5. 梁的支座反力滑动铰支1 (Ry)固定铰支2 (Rx，Ry)固 定 端3 (M， Rx，Ry)RyRxMRy图 示 法反 力未知反力数名 称RxRy梁的支承方法及反力6. 梁的类型根据梁的支撑情况可以将梁分为 3 种类型1 简支梁一端固定铰支座一端活动铰支座2 悬臂梁一端固定一端自由3 外伸梁一端固定铰支座活动铰支座位于梁中某个位置7. 求支座反力的平衡方程求解梁

44、弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系求支座反力要利用外载荷与支座反力的平衡条件举例说明P左边固定铰支座，有两个约束反力AB右边活动铰支座，1个约束反力lM再以悬臂梁为例假设该悬臂梁承受均布载荷ql固定端有3个约束反力RxRyABMA建立平衡方程求约束反力二、用截面法作梁的内力图截面法求内力的步骤：求约束反力截取研究对象受力图，内力按正向假设。列平衡方程求解内力，负号表示与假设反向内力 右截面正向 左截面正向 微段变形（正）内力的符号规定yx左上右下，FQ为正左顺右逆，M为正xFQMMFQ顺时针错动FQ向上凹M作梁的内力图的 一般步骤求约束反力截取研究对象受力图列平衡方程求解内力画内力图静力平衡方程

45、载荷突变处分段内力按正向假设矩心取截面形心内力方程图形应封闭MFQFN剪力、弯矩与分布载荷间的关系考察承受分布载荷、长dx 的微梁段的受力与平衡。 假定q(x)向上为正，截面内力FQ、M均按正向假设。 三、利用平衡微分关系作梁的内力图 BAFyxdxxq(x)FQ+dFQM+dMdxcq(x)MFQ平衡方程：SFy=FQ+q(x)dx-(FQ+dFQ)=0 在x+dx截面上，FQ、M均有相应的增量。SMC(F)=M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0整理并略去二阶小量，得到：q(x)dx=dFQ(x)dM(x)=FQ(x)dxdFQ(x)/dx=q(x)dM(x)/dx=FQ(x)梁的

46、平衡微分方程：)( ) ()(22xqdx xdFQdxxMd=内力FQ 、M 的变化规律,归纳如下：载荷水平直线+-oror上斜直线下斜直线剪力图无突变无影响F 处有尖角斜直线q(x)=0 的区间q(x)=C 的区间q(x)=C 的区间集中力F 作用处力偶M 作用处FQ =0,水平线， 斜率=0FQ0 FQ0 C 处有突变突变量=F斜率由突变图形成折线C 处有突变突变量=M1.q(x)0.抛物线.下凸（发豆芽；用碗盛）2.q(x) 0.抛物线.上凸（下雨；打伞）3.FQ =0.抛物线有极值 FQ0例1 求简支梁各截面内力并作内力图FQ例2 求简支梁各截面内力并作内力图FQ例3 求简支梁各截面

47、内力并作内力图FQ例4 求悬臂梁各截面内力并作内力图解：1）求约束力画受力图。 由平衡方程得： FAx=0; FAy=F; MA=Fl2）求截面内力截面x处内力按正向假设，在0 xl内，有平衡方程： SFy=FAy-FQ=0 SMC(F )=MA+M-FAyx=0 得到： FQ=F； M=-F(l-x)xFQo+F剪力图xMo_Fl弯矩图ABlFMAFAyFAxcMFQFAyAxMA3) 画内力图悬臂梁在固定端A处弯矩值最大。 例5 求外伸梁AB的内力。解：1）求约束反力： 受力如图。有平衡方程： MA(F)=2aFBcos45+Fa-3Fa=0； FB= F2Fx=FAx-FBsin45=0

48、 FAx=FFy=FAy+FBcos45-F-3F=0 FAy=3FaaaA B 3F 45yx0F BAax2a: 2a x3a: 2) 截面法求内力( 取坐标如图)0 xa: FN=0; FQ=-F; M=-FxFN=-F；FQ=3F-F=2FM=3F(x-a)-Fx=F(2x-3a)FN=-F；FQ=3F-F-3F=-F M=3F(x-a)-Fx-3F(x-2a) =F(3a-x)BA内力方程： 截面法给出的描述 内力与截面位置关系。3) 画内力图：内力图： 按内力方程绘出 各截面内力的图。ax2a: FN=-F； FQ=2F M=F(2x-3a)0 xa: FN=0; FQ=-F; M

49、=-F x 2ax3a: FN=-F ；FQ=-F M=F(3a-x)3F B45x0FFAxFAyFBAMFaFa+-x2F+-FQ -FFx-FNFx例6 一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。解：1)根据平衡条件求支座反力AB1m1m4mF=3kNCDq=2kN/mAB1m4mF=3kNCDq=2kN/m2)由微分关系判断各段的 形状。载荷CADBAD斜直线斜直线-1mAB1m1m4mF=kNCDq=2kN/m3)作 -图。4)作M-图。CA段：(-)AD段：-3kN4.2kN-3.8kN(+)(-)DB段：-3kN.m(-)Ex-2.2kN.m(-)3.8kN.m(+)(+)例

50、7 已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kNm， 求梁的内力。 解：1）求约束反力： MA(F )=12FE+M0-8F-24q=0 FAy=49kN；FE=32kNBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFAx=0FEFx=FAx=0 Fy=FAy+FE-F-4q=0 截面法求内力 AB段: 0 x14mx1FAy0qFy=FAy-qx1-FQ1=0 FQ1=49-9x1 M1FQ1c22Mc(F )=M1+qx1 /2-FAyx1=0 M1=49x1-4.5x122BC段: 4mx26mFy=FAy-4q-FQ2=0 FQ2=13kNBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFE

51、x2FAy0BqM2FQ2cMc(F )=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0 M2=13x2+72(kNm) CD段: 6mx38mx3FAy0BqCM0M3FQ3c DE段: 8mx412mx4FAy0BqCM0FDM4FQ4cFQ3=13kN; M3=13x3+24(kNm)FQ4=-32kN; M4=384-32x4(kNm) 取右边部分如何?DE段: 8mx412mBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEx4FAy0BqCM0FDFQ4=-FE=-32kNM4=FE(12-x4) =384-32x4 DE段: 8mx412mFQ4=-32kN; M4=384-32x4(kNm

52、)FEM4FQ4c0 x4M4FQ4c内力同样要按正向假设!结果应当相同。可以用于验算。BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFE分段处的剪力弯矩值：x1=0: FQA=49；MA=0内力方程:AB段: 0 x4mFQ1=49-9x1; M1=49x1-4.5x1BC段: 4mx6mFQ2=13; M2=13x2+72FQ3=13; M3=13x3+24FQ4=-32; M4=384-32x42 CD段: 6mx8m DE段: 8mxs , s 0 311 常用相当应力s s r强度条件的一般形式： 工作应力许用应力脆性破坏 s=s /nb 塑性屈服 s=s /nys二、组合变形的概念在外

53、力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，就是组合变形在小变形和线弹性的前提下，可以采用叠加原理研究组合变形问题所谓叠加原理是指若干个力作用下总的变形等于各个力单独作用下变形的总和（叠加）举例FAyTCABP24kN_FNB2m1.5mPACTy12kNm_MFAxTx1m叠加原理应用的基本步骤： 1.将载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生一种基本变形 2.分析每种载荷的内力，确定危险截面 3.分别计算构件在每种基本变形情况下的危险截面内的应力 4.将各基本变形情况下的应力叠加，确定最危险点 5.选择强度理论，对危险点进行强度校核三、拉伸与

54、弯曲的组合杆件在外力作用下同时产生弯曲和拉伸（压缩）变形称为弯曲与拉伸的组合偏心拉伸也形成了弯曲与拉伸的组合变形链环受力立柱受力拉伸和弯曲的组合变形钻 床拉伸与弯曲组合的应力分析在Px作用下：在Py作用下：危险截面处的弯矩抗弯截面模量根据叠加原理，可得 x 横截面上的总应力为强度条件为 例1 钻床的钻削力F=15kN，偏心距e=0.4m，立柱为铸铁材料，其直径d=125mm，许用拉应力 35MPa，许用压应力 120MPa，试校核立柱强度.解：2）最大拉应力：3）最大压应力：1）求立柱m-m截面的轴力FN 和弯矩M：FN=F=15kN；M=F.e=150.46kN.m则有：立柱强度足够 例2钻

55、床 P =15kN， e = 40cm， + =35MPa , - =120MPa.试计算铸铁立柱所需的直径。 解 （1）计算内力将立柱假想地截开，取上段为研究对象，由平衡条件，求出立柱的轴力和弯矩分别为（2）选择立柱直径 求解d的三次方程满足强度条件，最后选用立柱直 d = 12.5cm解得立柱的近似直径取d=12.5cm,再代入偏心拉伸的强度条件校核 设计中常采用的简便方法：因为偏心距较大，弯曲应力是主要的，故先考虑按弯曲强度条件设计截面尺寸例3：正方形截面立柱，边长为2a，开槽截面为边长a2a的矩形。求开与未开槽截面最大应力值之比。aFa/2FFNMA 2) 开槽部分横截面应力:截取研究

56、对象，求截面内力。 解：1) 未开槽部分横截面应力: s =FN/A = F/4a2 (压应力) FN=F； M=Fa/2压弯组合变形且A处压应力最大。3) 最大应力值之比为：84/222=aFaFl由叠加法有：222max26/22/2aFaaFaaF=+=+=弯压开槽sss2a2例4：矩形截面梁宽b=40mm，高h=60mm， L=0.5m。已知s=120MPa，试校核其强度。 2) 作梁的内力图a=30LABF=10kNLCFCFAyFAx解：1）求约束力。平衡方程： SFx=FAx-FCcos30=0 SMA=FC2Lsin30-FL=0 SMB=FL-FAy2L=0 3) 危险截面点

57、在距A为L处，上端危险点压应力最大，且剪应力为零。解得： FC=10kN； FAx=8.66kN；FAy=5kN-FN-8.66kN-+FQ5kN-5kN2.5kN.m+M矩形截面梁宽b=40mm高h=60mms=120MPa危险点压应力：MPaWMAFzN1208.1076040105.266040 1066.8263maxmax=+=+=ss强度足够a=30LABF=10kNLCFCFAyFAx2.5kN.m+M-FN-8.66kN-+FQ5kN-5kN四、弯曲与扭转的组合1. 弯扭组合是工程中常见的变形组合形式2. 弯扭组合常用计算公式的建立 将力P向A端面形心平移，得到一横向力P和矩为

58、TA=PR的力偶，杆AB受力情况如图（b)。圆杆的弯矩图和扭矩图如图c、d危险截面在杆的根部（固定端）在杆的根部取一单元体分析计算主应力第三、第四强度理论 例5 手摇绞车 d=3cm, D=36cm， l =80cm，=80MPa,按第三强度理论计算最大起重量Q。将载荷Q向轮心平移，得到作用于轮心的横向力Q和一个附加的力偶，其矩为TC=QD/2 。轴的计算简图如图(b)所示。 （1）外力分析绞车轴的弯矩图和扭矩图如图(c)、(d)所示。（2）作内力图 由图可见危险截面在轴的中点C处，此截面的弯矩和扭矩分别为：（3）求最大安全载荷 即最大安全载荷为790N。3.圆轴双向弯曲的弯矩问题xyzPxP

59、yPzPMzMyL (1) 公式仅对圆轴复合弯曲适用 (2) 公式可用于任何受力形式的圆轴的复合弯曲部分 (3) 平面弯曲可看成它的特例PyPzM=PLzy例6：已知:F1=5kN,F2=2kN,a=200,b=60,d0=100,D=160, =200;=80MPa;按第三强度理论设计轴的直径。解：1)画出受力图如b) （先由xz面按已知的F1 与F2求出 Ft=4.8 kN与Fr=1.75 kN）2)空间力系投影法 yz面：如 c),画出弯矩图如d) （FAz=0.175kN;FBz=6.825kN） 求得：MCz=35N.m MBz=420N.m xy面：如图(e),画出弯矩图如(f)（

60、FAx=FBx=2.4kN） 求得：MCx=480N.m3)扭矩图如图(h)T=240Nm Ftd0/2或（F1-F2) D/24)危险点为C点：5)设计轴径：由第三理论得：所以：例7 传动轴AB直径d=40mm，AC=CD=DB=200mm，C 轮直径d =160mm， D轮直径d =80mm， =20，已知力F1=2kN，s=120MPa，试校核轴的强度。解：1) 受力分析, SFx=FAx =0SMx=F2cosad2/2-F1cosad1/2=0 F2=4kNSMy=F1sinaAC-F2cosaAD-FBzAB=0 FBz=-2.28kNSMz=F1cosaAC-F2sinaAD +