民办学校与薄弱学校数学教学设计与实践的比较

1、民办学校与薄弱学校数学教学设计与实践的比较以锐角的三角比的意义为例上海市西南位育中学何轶琳一、教学选题背景在之前的三角形及相似三角形学习中，我们主要从定性方面研究三角形或两个三角形的特征和性质。而锐角的三角比这部分内容，主要从定量方面研究直角三角形。锐角的三角比是三角学的基础。直角三角形中的边角之间的数量关系，主要通过三角形内角和定理、勾股定理和锐角的三角比来表述。有了这些数学工具，我们就能解决生活实际中的许多问题，如测量物体的高、测量两点的距离、有关斜坡的计算、工件设计中的计算等等。解直角三角形是解任意三角形的基础，锐角的三角比的概念是三角函数概念的准备，因此锐角三角比这一章是后续学习的重要

2、基础。教师是民办中学的初中数学老师，由于强校工程的需要，来到区里成绩排名相对靠后的一所公办初中任教初三，在教学上遇到了许多新的问题与挑战，因此，以一节在此公办初中教授的概念课为例，来探讨民办学校与薄弱学校数学教学设计与实践的比较。二、教学设计与实践【教学目标与目标解析】【教学目标】1、知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值都不变；2、能根据正切、余切概念正确进行计算；3、体会转化思想，初步形成由特殊到一般的演绎推理能力。【解析】第一条目标的达成，有助于学生在解题时转化问题，将要求的三角比转化成相等角的三角比，但对薄弱学校的一些学生来说，只要求他们知道“角等，比值等”的结论，并且会将

3、这个结论用在习题中，而并不要求他们都能理解；第二条是最基本的要求，也是本节课的主要目标，对于薄弱学校的学生更是重点要达成的；第三条目标是在教学过程中自然而然形成的，对于学生来讲，体会转化思想不难，形成由特殊到一般的演绎推理能力因人而异。【重点难点与难点解析】【重点难点】理解正切余切概念，并正确进行计算。【解析】很多民办初中的学生，已经提前学习了锐角三角比的内容，就算有些学生是第一次接触，对他们来说这一课的概念和计算也是比较简单的。但是对于薄弱学校的基础较弱的学生，理解并记忆概念就是难点，能根据概念正确计算更是难点。【学情分析与问题诊断】学生已经具备了一定的运算能力，并且已经学习了直角三角形（包

4、括特殊直角三角形）的性质及判定，其中角与角的关系（直角三角形两锐角互余）、边与边的关系（勾股定理等）都是这节课甚至整个章节的基础。教师根据平时教学的实际情况，比较两所学校，发现对于民办学校的学生，之前的基础比较扎实，因此在教授本课时，只要将重点放在新的知识点上，有些关键的地方再加以强调即可。而且民办学校的学生确实能力较强，对于新知的理解、记忆和运用，能比较快地掌握。但是对于薄弱学校的学生，这些就没有如此轻而易举了。因此，教师认为，对于薄弱学校的学生，不仅要关注本节课的知识点讲授，还同时要复习到与这节课相关的其他知识，也就是说教师在教学设计时要考虑得更详尽，讲解时要更细致，并能根据实际情况做出调

5、整。【教学过程设计与实践】（一）复习引入 1. 如图，在RtABC中，C=90，（1）AB是_边, _是直角边；直角边中，_是A的对边，_是A的邻边.教师：A的邻边是指与A相邻的直角边.教师在黑板上画出RtABC，并标出斜边、A的对边、A的邻边.【设计意图】对学生来说，直角三角形中斜边、直角边的概念并不陌生。在此基础上，让学生明确某个锐角的对边和邻边的概念，这对整节课的学习非常重要。A、B、C所对的边分别记为_，则三边的数量关系为_.复习勾股定理及其逆定理，教师写在黑板上.【设计意图】复习用单个字母表示三角形的三边，这也是习题中常见的表示方式；复习勾股定理，该定理在之前的学习中也有应用，并且在

6、这节课以及之后求锐角的三角比、解直角三角形中，都是重要的解题工具；勾股逆定理对于一些基础较弱的学生来说已经遗忘，而本节课的例题中需要用到这个知识点，放在此处复习也为了做一个铺垫。（2）C是_角, A、B是_角；A、B的数量关系为_.教师：我们已经学习了直角三角形中，边、角、边与边、角与角的相关知识点，今天这节课我们重点研究边与角之间的关系，教师写在黑板上.【设计意图】让学生知道这节课的研究重点，锐角的三角比是对直角三角形的进一步研究，体会学习的系统性和有序性。2RtABC中，C=90o，（1）A=45o，则A的对边与邻边比=_.教师：随着三角形的放大与缩小，它的边、周长、面积发生变化，但是不变

7、的是45角以及与这个角相关的比值.教师拿出大小不等的等腰直角三角形纸片，贴在黑板上展示，并让学生说明推导过程.（2）若A=60o呢？（3）一般地，当A取其他一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个定值？【设计意图】复习等腰直角三角形、含30的直角三角形的相关知识点，从特殊的45、60角出发，让学生探索并得到，当锐角的角度一定时，它的对边比邻边是一个定值这个重要结论，在探索的过程中，让学生体会从特殊到一般的思考方法。BBCCA（二）新课探索1如图：RtABC与RtABC，C=90，A=，那么与有什么关系？为什么？教师：比值是定值，也就是=.学生：由ABCABC可得. 结论：在直角三角形中

8、，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与邻边的比是一个_.教师板书1：角定，比值定.【设计意图】让学生将探索得到的结论加以证明，并将结论简化成五个字角定，比值定，让学生能快速记忆。同时，自然引出这节课所要学习的新知。教师：既然这个比值这么特殊，我们就给它下个定义.CAB2如图 ，RtABC中，C90，A的对边（ ）与A的邻边（ ）的比值叫做A的 ，用 表示，即tan A.教师板书2:两个定义，并说明取英文tangent的前三个字母，注意书写格式：tanA、tan、tanBAC、tan1.问：当A一定时，它的邻边比对边是否也是定值呢？显然是，因此也给它下一个定义.同样在直角三角形

9、中，一个锐角A确定后，此角的邻边与其对边的比也是一个确定的值，我们称此比值为锐角A的 ，用 表示，即：cot A=.【设计意图】用填空的形式给出概念，将重点和易混淆的地方留给学生填写，加深印象。结论：锐角A的正切和余切的关系：_.问：如何得到这个结论？学生简单说明.教师板书3：tanAcotA=1.例1、在直角ABC中，C90o,AC12，BC7， 求tan A、cot A、tanB 和cot B的值.教师提醒学生，养成边读题边标记的习惯，明确格式：先写什么？为什么要写？答：先写C=90，根据定义，要求的是锐角的对边和邻边的比值，即两条直角边.教师：C=90这句说明了AC、BC就是直角边；另外

10、，要先写tanA=哪两条线段比，再代入数据.教师带着学生做，并板书过程.【设计意图】让学生明确格式，紧扣定义，再次巩固新知，并引出思考。思考：在上题中，在同一个直角三角形中，B是A的余角，那么它们的正切、余切值之间有怎样的数量关系？学生：tanA=cotB，cotA=tanB；教师写下结论.问：没有两条直角边具体等于多少的数据，结论还成立吗？为什么？答：成立.BC既是A的对边，也是B的邻边，AC既是A的邻边，也是B的对边，所以根据定义BC:AC=tanA=cotB，与AC、BC的长度无关.【设计意图】让学生思考并再次巩固定义，得到的结论也为下面的例题做了铺垫。例2、如图，在ABC中，ABCD（

11、1）ADBC于D，AD4，BD6，CD2，求cot C，tan B的值.学生做后讲，教师板书cotC的求解过程.问：求cotC，放在哪个三角形中？tanB呢？学生齐答，教师板书分析过程:cotCRtACDAD，CD已知tanBRtABDAD，BD已知问：勾股定理可求AC、BC，tanB=AC:BC对吗？为什么不对？关键：根据定义，找Rt三角形，两边.教师板书.提醒：这节课的两边都是直角边，但之后还牵涉到斜边，所以一定要清楚定义，找对边.【设计意图】与例1相比，提升了一些难度，ABC中添了一条线，出现了三个三角形，需要学生找对三角形。此题先要通过ADBC得到90，才能求相关的三角比。并且这题中的

12、BAC并不是90，通过教师的设问，让学生在此明确求解的关键，还是根据定义。（2）AB=3,AC=1,BC=，求cot A，tan B的值.问：没有90，怎么办？答：证90，勾股逆定理问：哪个角是90？如何判断？答：AB=3是最长边，勾股逆定理可证.画正确草图.例2小结：根据定义，求某个角的三角比，要找到该角所在的直角三角形和相关的两边.【设计意图】与例2第（1）小题相比，又提升了一些难度，第（2）小题需要根据三边的长度，证得三边构成的是直角三角形，进而再次重申强调，求三角比要在直角三角形中解决。ABCD例3、如图，在RtABC中，C90，（1）CDAB，垂足为D，BC=5，CD=4，求tan

13、A的值.基本型：子母三角形.学生讲方法，教师分析总结，并板书：方法一：直接求tanARtACDCD=4，AD=？ADCCDB或者 RtABCBC=5，AC=？相似方法二：间接求tanA=tanBCDA=BCD（why？角定，比值定）RtBCD（BD=3勾股可求，CD=4）或者 tanA=BC:AC=cotB=BD:CDRtCDBRtABC小结：直接求：根据定义；间接求：转化：找等角或互余角【设计意图】此题与例2第（1）小题的图看上去一样，但是加了ACB=90这个条件，因此出现了上一章相似三角形中常见的基本型：子母三角形，因此解题的方法就变多了。学生一般会先讲间接求解的方法，因为此题间接求比较简

14、单，两种间接求解的方法正好复习了一开始“角定，比值定”的归纳结论，以及例1所得的互余角正切、余切值关系的总结。而直接求解的方法中，也再次复习了子母三角形证的三对直角三角形的相似。ABCDE（2）点E在AC上，EDAB，垂足为D，BC=3，AC=4，求tanAED的值.问：可以直接求吗？分析：tanAEDRtAEDED、AD=？三边不可求间接求:（方法一老师引导，方法二、三可让学生尝试讲）方法一：ED:AD可求吗？ED:AD=BC:AC比值可求相似方法二：等角AED=BtanAED=tanB可求方法三：余角AED=90-AtanA=BC:AC可求小结：直接求：有时不可求；那就间接求：还可以找相似

15、三角形的等线段比.【设计意图】将第（1）小题图形中斜边上的高稍稍左移，使得ADE三边不可解，所以无法根据定义直接求tanAED。除了第（1）小题两种间接求解的方法之外，重点讲间接求的第一种方法：证相似三角形，找到相等的线段比。通过例3的（1）（2）两小题，教会学生分析解决问题的基本方法，思考问题的有序性条理性，体会转化的思想。（三）课堂小结这节课学习了什么？1、正切、余切的定义2、如何求正切、余切值（1）直接求，根据定义，找Rt，两边（2）间接求，找等角，余角，或相似三角形的等线段比3、思想方法（1）转化（2）特殊到一般学生讲，教师补充总结，并板书.【设计意图】让学生重新回顾整节课的内容，梳理

16、知识点，把握重点难点，并将所学的求解三角比的几种方法归纳整理，同时体会在数学或其他学科，乃至生活中分析解决问题的两种重要基本方法。（四）作业布置【教学过程设计与实践解析】在复习引入部分，教师特别设计了直角三角形的边、角、边与边、角与角相关知识的复习，为的就是让学生能够准确地说出一些概念、运用一些定理。同时，教师设计了在直角三角形中求45角和60角的对边比邻边的值，以此来引入问题，当角为某个定值时，相关对应边的比值是否也是定值呢？教师在第一个班级授课时，有几个同学说不是，而且也没有人提出反对意见。教师只能换一种方式，画上图形，重新提问，在两个直角三角形中，都含有一个角等于，这两个角的对边比邻边的

17、值是否相等呢？这样学生才觉得是一样的。由此比较艰难地引出新课。所以在第二次教学时，教师准备了大小不等的几种直角三角形纸片，贴在黑板上展示，并且也用不同的方式解释了引入新课的问题。另外，在讲解本节课的例2时，发现有学生在回答问题时暴露出，还没有正确地掌握正切余切值的概念，并且在计算和化简的过程中也有不少的问题。所以教师及时做出调整，重新强调概念，并对如何分母有理化的方法进行具体说明。三、目标检测设计1、在RtABC中，C=900，AC=3，BC=4，那么的正切值是( ).（A） （B） （C） （D）【设计意图】考察正切值的定义。2、已知为锐角,且，则_.【设计意图】考察正切、余切值的定义，及它

18、们之间互为倒数的结论。3、在RtABC中，则的长是_【设计意图】考察余切值的定义，让学生体会将两条直角边和一个三角比中两个作为已知条件，则一定可得第三个，即“知二求一”的确定性。4、如图，在RtABC中，为垂足，若，则_【设计意图】考察正切、余切值的定义以及勾股定理，让学生尝试在基本型中找到不同的求解方法，体会转化的思想方法。5、如图,矩形中,求.【设计意图】主要考察正切值的定义、勾股定理、等腰三角形的性质等，有些学生会想到构造直角三角形，有些学生会想到“角平分线、平行线、等腰三角形，知二求一”的基本型，则可在已有的RtBCE中解决。而这两种方法都需要转化角。【目标检测设计解析】第1、2、3题

19、属于基础题，应该要力求所有学生掌握。第4、5题属于中档题，对民办学校的学生，这些应该是比较简单的题目，在这些题目之后还应该有一些更难的提高题。但是对于薄弱学校的大部分学生，做到第5题的难度就差不多了，再难的题目只会让学生望而却步，失去学习数学的动力。四、课后反思本节课的设计富有层次性。概念的引入部分，采用了探究问题从特殊到一般的基本思想，从求45、60角的三角比出发，让程度较弱的学生能够比较好上手，从而猜测“角定，比值定”的结论。此外，例题的设计也从易到难。例1直接给出90和两条直角边的值，求两个锐角的三角比；例2需要证90，第（1）小题的直角三角形比较好找，第（2）小题需要用到勾股逆定理，稍有一些难度；例3的第（1）小题是三个直角三角形组成的子母三角形，第（2）小题是它的变形。图形在由简到繁的变化过程中，解题的方法也呈现出多样性。然而，本由于节课的教学面对的是基础较差的学校的学生，因此定义和基本解法的落实显得更为重要。教师在向学生提问例2的过程中，发现有学生还没有将tanA、A的正切值、A的对边比邻边，这些等价起来。说明对于有些程度较弱的学生，定义的落实还不太到位。因此对于本节课的教学设计有以下改进方案：首先，在例1前可以加入