金融数学简介ppt课件

1、金融数学简介理学院统计与金融数学系陈萍Probstatsohu.引言金融数学是一门新兴的边缘科学，是数学与金融学的交叉。它是在两次华尔街革命的根底上产生和开展起来的，其中心问题是不确定环境下的最优投资战略的选择实际和资产的定价实际。今天我们将简述了金融数学的主要内容，并展望了其进一步开展的前沿课题及前景。简单地说，金融数学就是用数学的方法处理金融问题。在金融数学的开展史上，一些诺贝尔经济学奖的获奖任务，对金融数学的研讨起着决议性的作用。可以说，金融数学的主流研讨方向就是以这些获奖任务为根底的。. 1990年诺贝尔经济奖授予H.Markowitz，W.Sharpe 和M.Miller，奖励他们在

2、金融经济学中的先驱任务H.Markowitz 的投资组合实际、W.Sharpe的 资本资产定价实际M.Miller 的公司财务实际。诺贝尔经济奖简介1注.H.Markowitz 在一文中，第一次从风险资产的收益率和风险之间的关系出发，讨论了不确定经济环境中最优资产组合的选择问题。 其主要成就是将大量的不同资产的投资组合选择的复杂的多维问题，简化为平衡两个要素，即投资组合的期望报答及其方差，最终化为一个概念明晰的、简单的二次规划问题，即均值方差分析；并且给出了最优投资组合问题的实践计算方法。.W.Sharpe 的资本资产定价实际，在较强的市场假设下，给出了Markowitz 均值方差模型的平衡版

3、本，即资本资产定价模型。CAPM2 其主要奉献是在有价证券实际方面对不确定条件下金融决策的规范分析，以及资本市场实际方面关于以不确定性为特征的金融市场的实证性平衡实际。马克维茨的分析方法进一步开展为著名的资本资产定价模型，用来阐明在金融市场上如何建立反映风险和潜在收益有价证券价钱。.M.Miller的公司财务实际1958主要研讨资本构造与其企业市场价值的关系。 Miller在论文中证明，在一定假设下，企业的市场价值与其资本构造无关。传统观念以为，公司的价值与其资本构造有内在关系，Miller的结论与传统观念大相径庭，一经提出就引起了广泛的争议。从50年代末到60年代末，经过一轮唇枪舌战的争辩之

4、后，Miller的公司财务实际开场盛行于财务学界，逐渐确定它在学术界的主流位置。. 1997年诺贝尔经济奖授予R.Merton和M.Schole, 以奖励他们和F.Black在确定衍生证券价值方法方面的奉献，也就是关于期权定价的著名的Black-Sholes公式。诺贝尔经济奖简介2注. 1973年，M.Scholes与已故的经济学家F.Black发表一文，给出了期权定价的Black-Sholes公式。指出期权价钱仅依赖于股票价钱的动摇量、无风险利率、期权到期时间、执行价钱、股票时价. 其主要奉献是提出用标的股票和无风险资产构造的投资组合的收益来复制期权的收益。这一复制法那么的重要性在于，它通知

5、人们可以利用已存在的证券来复制符合于某种投资目的的新的证券种类，这成为金融机构设计新的金融产品的思想方法。注.1973年R.Merton在经济和管文科学杂志上发表了理性期权定价实际的文章，对Black-Sholes公式的假定条件做了进一步减弱，在许多重要方面都对Black-Sholes的研讨做了推行 Merton对Black-Sholes原用的分析方法进展了改良，以股价变动的腾跃过程而不是分散过程为出发点，也就是以为股价变动是不延续的，可以从一个价钱跳到另一个价钱而不阅历其间的价钱这样推导出的公式更加现实注.2003年度诺贝尔经济学奖授予Robert F.Engle和 Clive Grange

6、r。 令Engle 摘取桂冠的是他于1982年提出的ARCH模型。 Granger由于时间序列的协整分析方法而获奖,他的奉献将用于研讨财富与消费、汇率与物价程度、以及短期与长期利率之间的关系。诺贝尔经济奖简介3. 对收益率的建模研讨不断在计量经济学中占据很重要的位置。显然对于一阶矩的描写是比较容易的,所以人们将留意力都放在了对二阶矩的建模上,也就是对收益率动摇的计量建模。为了寻求对股票市场价钱动摇行为更为准确的描画和分析方法,许多金融学家尝试了不同的模型。其中, Engle于1982年提出的ARCH模型,被以为是最集中反映了方差变化特点而被广泛运用于金融数据时间序列分析的模型。.20世纪70年

7、代以前计量经济学的建模方法都是以经济变量平稳这一假设条件为根底。但在实践中,许多经济目的的时间序列都是非平稳的,并不具有固定的期望值,并且呈现出明显的趋势性和周期性。经济变量表现出的非平稳性使传统建模遇到了前所未有的困难。格兰杰留意到某些经济变量之间似乎不会存在任何平衡关系,但假设干个非平稳经济时间序列的某种线性组合却有能够是平稳序列。提出了协整的概念及其方法。所谓协整,是指多个非平稳经济变量的某种线性组合是平稳的。目前,协整分析已成为处置非平稳金融、经济变量相依关系的行之有效的方法。 .本文主要引见投资组合实际Ross套利定价实际衍生证券的定价实际二杈树模型Black-Sholes模型ARC

8、H模型及其运用利率期限构造实际公司资本构造 保险精算学简介.1.投资组合实际简介在投资活动中，人们发现，投资者手中持有多种不同风险的证券，可以减轻风险带来的损失，对于投资假设干种不同风险与收益的证券构成的证券组称为证券投资组合。证券投资组合的原那么是，组合期望收益愈大愈好，组合规范差愈小愈好，但在同一证券市场中，普通情形是一种证券的平均收益越大，风险也越大，因此最优投资组合应为一个条件极值问题的解，即对一定的期望收益率，选择资产组合使其总风险最小。.Markowitz 提出的证券组合均值方差问题，是证券组合实际的根本问题，可描画为有约束的线性规划问题解上述问题可得最优资产组合w*的表达式，且最

9、优资产组合的方差为其中注.在方差-均值坐标系下，它是抛物线。注.在均方差-均值坐标系下，它是双曲线。.可证：任一最小方差资产组合wp都可独一地表示为其中称为全局最小方差资产组合。称为全局可分散化资产组合。这就是著名的两基金分别定理。注.上述结论还可推行到具有无风险资产的均值-方差模型，此时模型为最小方差资产组合的方差为在均方差-均值坐标系下，它是公共交点为0，r的两条射线，其斜率为.两基金分别定理的表现方式为：一切最小方差资产组合都是无风险资产和不含任何无风险资产的所谓“切点资产组合的组合。.2.资本资产定价模型资本资产定价模型CAPM是在理想的资本市场中,根据两基金分别定理建立的。它的根本结

10、论是(Sharp-Lintner-Monssin)假设市场上可以获得无风险资产，当市场到达平衡时，恣意资产的超额收益率与风险资产的市场资产组合超额收益率成正比，即有关系式其中称为资产X的市场beta系数,表示资产X所面临的风险系数。注.XM为市场资产组合设市场上有n种风险资产，一种无风险资产。每种资产的价钱为pi，i=0,1,n, 假设市场上有K位投资者，且在某一时辰，第k位投资者持有第i种资产的数量为Nik，假设记那么称为该时辰的投资者市场资产组合。可以证明，当市场到达平衡，且无风险资产是零净供应的金融证券时，切点资产组合wt就是市场资产组合。注.CAPM在资产定价中的运用一 证券市场线 对

11、恣意风险资产的投资组合Xx，由点 所构成的轨迹称为证券市场线。注.二 风险自行调理收益率定价公式CAPM对个别资产提供了一种可量化的风险测度，所以CAPM可以用于确定未来收益率概率分布假设为知的风险资产在当前的价值。设市场上第j种资产期终风险收益为Pe，当前价钱为P0，其收益率那么风险自行调理收益率定价公式为其中.在风险自行调理收益率定价公式中，将代入，得确定等价定价公式.CAPM在资产定价中的运用股票定价例 某公司I在时期1将发行100股股票，公司I在时期2的价值为随机变量VI2。公司的资金都是经过发行这些股票而筹措的，知股票的持有者有资历获得完全的收益流。现给出有关测算数据如下VI（2）$

12、1000$800P0.50.5将上述数据代入风险自行调理收益率定价公式得故每股价钱为7.83$.3. Ross 套利定价实际APT在金融实际中，确定风险资产合理价值主要有两种方法。一种是基于竞争平衡实际的定价方法，如上节的CAPM，以为资产的合理价钱由所谓的“内在源，也就是资产市场中现有的一切资产所共同确定；另一种是基于普通套利定价实际的定价方法GAPT，如本节将要引见的Ross套利定价实际APT以为资产的合理价钱由所谓的“外在源，也就是资本市场的其他要素所确定。. 基于上述思想，被誉为美国“金融神童的Ross在1976年上发表的一文中非常武断地指出：任何资产的价钱可以表示为一些“共同要素的线

13、性组合。这些“共同要素可以是通货膨胀率，人口出生率，工业增长指数，证券市场综合指数，外汇汇率等等各种要素，然后利用套利定价方法给出了资产收益率的普通表达式。 记资产市场中第i种资产的收益率为Xi，可经过统计方法测算的影响资产收益率的要素收益率记为随机变量fk,k=1,K,不能经过统计方法测算或未知的影响资产收益率的要素收益率记为随机变量i ,并假定资产收益率由以下线性多因子模型所描画：注.(3.1-a)(3.1-b)(3.1-c)其中称为残差风险。根据上述模型，利用渐近无套利定价假设可以给出资产超额收益率表达式实数k反映了证券对于因子fk的敏感性。称为因子风险溢价。(3.2-c).从统计观念来

14、看，APT是经过许多因子来确定证券价钱，它使我们扩展了思索要素的范围，可以从证券市场以外的要素去选择，而不象CAPM只从证券市场本身的历史来研讨。这样，就可以把证券的价钱和国家经济开展情况，企业运营情况，外汇市场等等其它经济要素相联络，从而使模型更好地反映现实情况。普通以为，APT与CAPM相比有以下几个特点：1对分布不作要求2对个人的效益没有直接假定什么条件；3允许依赖于许多要素；4可以对证券的一部分的组合定价，无需涉及全体；5容易推行到多阶段的情形。.4.二杈树模型二杈树模型是金融衍生证券定价问题中常用的一种股票价钱模型。思索这种模型有以下2个缘由。1。该模型构造简单，且是实践模型的一种很

15、好的逼近2。可经过这种简单的模型阐明金融中的重要概念套期保值，风险中性测度等。无套利假设是一切研讨的前提称某个市场有套利时机，假设存在一种投资组合，使资产值Yt满足Y0=0,注.思索简单欧式看涨期权的定价问题：以敲定价K0于时辰1兑现，期权持有者的收益为V0=?注.设期权价钱V0,假设将价值V0的资产在市场投资，在0时辰购买0股股票，剩余的资金能够是负的存借贷款，那么到1时辰资金价值为，这一价值应该与期权在1时辰的价值相等，即解上述联立方程可得*注.称为套期保值比。留意假设取那么*式可方式地写作称为风险中性概率测度或等价鞅测度。欧式期权的定价可以简约地表示成“风险中性测度下，期权到期价值的数学

16、期望。.多期二杈树模型Stock price,期权价值注.5. Black-Sholes模型当思索股票价钱随时间延续变动情形时，Black-Scholes给出了市场的如下描画： 仅思索一个简单的证券市场。市场中仅有一种债券和一种股票。设债券在t时辰的价钱P0(t)，股票在t时辰的价钱P(t).满足方程：.思索T时辰到期的欧式期权，假定到期时，期权的内在价值为V(T)=g(P(T);设期权在0时辰价钱为V(0); 现思索0时辰初始值为X(0)=V(0)的投资。设在t时辰购买股票的股数为(t),那么设V(t,x)表示在t时辰股票价钱为x时，期权的价值,那么(5.1)(5.2).令 V(0,P(0)

17、=X(0),V(t,P(t)=X(t), g(P(T)=X(T)即在(4.1),(4.2) 两式中令dt,dB系数相等，那么得终端条件Black-Scholes方程。(5.3).另一方面，利用随机分析实际可以证明，设 是使股票价钱贴现过程 为鞅的测度，称为等价鞅测度，那么欧式期权在t时辰的价值为(4.4)经过解偏微分方程(5.3)或用概率论中的期望定义解(5.4)都可以得到欧式看涨期权的价钱为式中Black-Scholes公式.衍生证券定价问题的进一步研讨方向放宽理想市场假设如有卖空限制，买卖费等对新型衍生证券进展定价模型改良如随机利率，随机动摇率，跳过程等不完备市场模型.期权定价技术的运用

18、期权定价实际虽然源于对金融期权的估值，但其主旨为降低不确定性所必需付出的本钱问题，而不确定性是一切经济活动的本质特征。这决议了期权定价技术(以下简称0PT)的运用绝不仅仅局限于对以金融资产为标的资产的期权。许多现实问题在分析的过程中经常可以把中心问题归结为期权定价问题来处置，即归结为确定期权价值的5个要素：执行价钱、现货价钱、到期时间、动摇率和无风险利率的分析计算。注.目前期权定价实际主要运用于1金融衍生证券的定价 2保险合同的定价 3政府政策与行为 4个人家庭决策 5投资决策 .6 ARCH模型及其运用在计量经济学中, 收益率的建模研讨不断具有很重要的位置。其中对一阶矩的描写是比较容易,所以

19、人们将留意力都放在了对二阶矩的建模上,也就是对收益率动摇的计量建模。 经典资本市场实际在描画股票市场收益率变化时,所采用的计量模型普通都假定收益率方差坚持不变。这一模型运用简便,常用来预测和估算股票价钱。但对金融数据的大量实证研讨阐明,有些假设不甚合理。一些金融时间序列经常会出现某一特征的值成群出现的景象。注.为了寻求对股票市场价钱动摇行为更为准确的描画和分析方法,许多金融学家和计量学家尝试用不同的模型与方法处置这一问题。如ARMA模型，ARIMA模型，隐MARKOV模型等，但被以为是最集中反映了方差变化特点而被广泛运用于金融数据时间序列分析的模型,是Engle于1982年提出的ARCH模型。

20、ARCH模型是过去20年内金融计量学开展中最艰苦的创新。目前一切的动摇率模型中,ARCH类模型无论从实际研讨的深度还是从实证运用的广泛性来说都是独一无二的。.设随机序列Yt满足其中 为弱白噪声，满足鞅差条件且设其中 为强白噪声。(6.1)(6.2)思索Engle最初的ARCH(1)模型.(6.3)给出了模型的预测公式，(6.4)那么阐明模型具有时变性的动摇率。 实证分析阐明时变性动摇率更能描画真实的股票行情变化，反映外部冲击对股市呵斥的影响，便于进展风险评价。 由(5.1)-(5.2)式易得，过程相邻时辰的条件均值与方差分别为(6.3)(6.4)注.广义ARCH模型ARCH(1)模型虽然较好的

21、解释了动摇率聚类景象，但它有很多缺陷，在其后的任务中,Engle及其同事沿着许多方向对该模型进展了拓展。例如，在思索风险与投资报答之间的关系时,由于投资者是根据当前信息而持有证券,当风险(条件方差)增大时,投资者要求的投资补偿也就大。因此,条件方差的变化也会影响收益率条件期望的变化。与其他研讨者协作,Engle在ARCH的根底上,建立了ARCH-M模型来分析时变风险的收益补偿。期望收益率取决于时变性的方差和协方差,从而本身也随时间变化。 .ARCH(1)模型的各种拓展表述 ARCH(q)模型Engle 1982) GARCH(p,q)模型(Bollerslev 1986). GARCH-M 模

22、型(Engle, Lilien, Robbins 1987)满足GARCH模型参考文献1 Engle Robert F. Autoregression conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of U.K.inflation, Econometrica,1982,50(4):987_10082 Christain G ARCH Models and Financial Applications Springer,19973 T. Bollerslev. Generalized autoregressive co

23、nditional heteroskedasticity, Journal of Econometrics 31, 307-327, (1986).注.7 利率期限构造实际 在社会经济生活中一部分人经过储蓄或购买债券来保管多余的资金，而部分家庭和厂商也可以经过贷款获得资金。资金的提供不是无偿的，利息就是借入资金的个体为了在一段时间里运用资金而必需支付给资金出借人的补偿。显然利息与投资本金和储蓄时间有关；利息与期初投资本金的比值称为该时期的利率。不同时期投资能够利率不同。利率的期限构造实际主要研讨随机动摇利率与较长时期的对应关系。注.经济学家以为，在决议利率期限构造过程中，投资者对未来变动的预期是致关重要的。然而，投资者对本人能否既有非常准确地分析未来变动的才干是缺乏自信心的。因此，普通情况下，假定投资者对利率未来的变动满足一随机过程。比较常用的模型有Cox-Ingersoll-Ross模型，Hull-White-Vasicek模型。由于利率期限构造实际涉及到“利息实际的许多概念和“合理预期实际的思想，这里不再深化引见。.8 公司资本构造实际公司财务管理在西方经济实际体系中是金融实际中的一个组成部分。它是专门研讨企业如何进展财务决策，包括筹资、投资及股息分配政策，以实现企业价值或企业财富最大化的一门科学。该实际的研讨重点集中在两个方面：1。公司最正确资本构造的组合。