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1、.wd.wd4/4.wd第四讲 矩阵的对角化 基元素坐标向量加法元素加法坐标向量的加法数乘数与元素“乘数与坐标向量相乘线性变换及其作用对应关系矩阵与坐标列向量的乘积对任何线性空间，给定基后，我们对元素进展线性变换或线性运算时，只需用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵即可，因此，在后面的内容中着重研究矩阵和向量。对角矩阵的形式对比简单，处理起来较方便，比方求解矩阵方程时，将矩阵对角化后很容易得到方程的解。对角化的过程实际上是一个去耦的过程。以前我们学习过相似变化对角化。那么，一个方阵是否总可以通过相似变化将其对角化呢或者对角化需要什么样的条件呢如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢特

2、征征值与特征向量1. 定义：对阶方阵，假设存在数，及非零向量列向量，使得,那么称为的特征值，为的属于特征值的特征向量。特征值不唯一特征向量非零有非零解，那么，称为的多项式。例1，求其特征值和特征向量。解 属于特征值的特征向量 可取根基解系为 属于的特征向量 可取根基解系为 2. 矩阵的迹与行列式 所有对角元素之和3. 两个定理设、分别为和阶矩阵，那么2sylvster定理：设、分别为和阶矩阵，那么 即：AB与BA的特征值只差零特征值的个数，非零特征值一样。矩阵对角化的充要条件定理：阶方阵可通过相似变换对角化的充要条件是它具有个线性无关的特征向量。证明 充分性：具有个线性无关的特征向量，那么线性

3、无关，故为满秩矩阵，令，那么有必要性：存在可逆方阵，使将写成列向量，为维列向量可见，为的特征值，为的特征向量，具有个线性无关的特征向量。推论：阶方阵有个互异的特征值，那么必可对角化。充分条件内积空间1. Euclid空间设是实线性空间，对于中任何两个元素、均按某一规那么存在一个实数与之对应，记为，假设它满足1交换律 2分配律 3齐次律 4非负性 ，当且仅当时，那么称为与的内积，定义了内积的实线性空间称为Euclid空间。对于一个给定的线性空间，可以定义多种内积，较典型的如三维向量空间的数量积就满足以上四条性质，构成内积。以维向量空间为例：，可定义内积，它满足内积的四条性质：1234 当且仅当时

4、，该内积可写为：，其中更一般的，对实对称正定矩阵，也满足内积的定义。正定：1特征值全为正2各阶顺序主子式大于02. 酉空间：设是复线性空间，对于中任何两个元素、均按某一规那么存在一个复数与之对应，记为，假设它满足1交换律 2分配律 3齐次律 or 4非负性 ，当且仅当时，那么称为与的内积，定义了内积的复线性空间称为酉空间。以维向量空间为例，为厄米正定矩阵，较常见的比方，最简单：实 复 3. 正交性：假设，那么称与正交。与的夹角：，称为与的夹角。4. Gram-Schmidt正交化手续设为一组线性无关的元素或向量，可以进展如下正交归一化操作正交标准化或正交单位化： 选择适宜的使与正交， 选择、使与和均正交一般

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