[03]“缩放圆”、“转动圆”(或“轨迹圆心圆”)

1、 高三物理专题：“缩放圆”、“转动圆”（或“轨迹圆心圆”）（一）缩放圆带电粒子以任意速度、沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动,其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示，（图中只画出粒子带正电的情景），速度v0越大,运动半径也越大.可以发现这样的粒子源产生的粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP上.由此我们可得到一种确定临界条件的方法：在确定这类粒子运动的临界条件时，可以以入射点P为定点，圆心位于PP直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，使问题迎刃而解，这种方法称为“放缩法”.或者 若磁感应强度为B的匀强磁场仅存在于第一象限（如图2），一带负电的粒子

2、（质量为m,带电量为q）从距原点O为d的A点射入。若粒子射入的方向不变，要使粒子不能从x轴射出，则粒子的速度不能超过多少？qBdm(1+sinV2【解析】作图如图所示，由r+rsin，d，qvB，m，解得:r如图所示，宽度为d的匀强有界磁场，磁感应强度为B，MM，和NN是磁场左右的两条边界线.现有一质量为m,电荷量为q的带正电粒子沿图示方向垂直射入磁场中，0=45.要使粒子不能从右边界NN射出，求粒子入射速率的最大值为多少？【解析】用放缩法作出带电粒子运动的轨迹如题图所示，当其运动轨迹与NN边界线相切于P点时，这就是具有最大入射速率v的粒子的轨迹.由题图可知：maxR(1cos45)=d，又B

3、qvmaxmmaxR联立可得:Vmax=22Bqd3如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B,宽度为d,边界为CD和EF.电子从CD边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入，入射方向与CD边界间夹角为0.已知电子的质量为m，电荷量为e,为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子的速率v0至少多大？#,EIXXI11ID；xXxg【解析】当入射速率v0很小时，电子会在磁场中转动一段圆弧后又从CD一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道的边界与EF相切时，电子恰好不能从EF射出，如图所示.Bed1cos在一空心圆柱面内有一垂直于纸面的匀强磁扌磁场边界为同心圆，内、外半径分别为出质量为m、电荷量为q的带电粒子，：

4、磁感应强度为B,其横截面如图所示，)圆心处有一粒子源不断地沿半径方向射力.为使这些粒子不射出磁场外边界，粒电子恰好射出时,由几何知识可得：r+rcos0=d口mv_又r=oBe由得：v0Bedm1cos子从圆心处射出时速度不能超过【答案】A【解析】如图所示，带电粒子不从磁场中穿出，其临界条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹mv应与外圆相切，所以(2+1)rr2=r2+r2x,解上式可得r=r,又由r=，可得，XXX/pT)qB选项A正确。(二)转动圆(或“轨迹圆心圆”)带电粒子以一定速度、沿任意方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动,其轨迹半径相同，若射入初速度为v0,则圆周运动半径为R

5、=mv0/(qB),如图所示.同时可发现这样的粒子源的粒子射入磁场后，粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆心在以入射点P为圆心、半径R=mv0/(qB)的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上.由此我们也可以得到一种确定临界条件的方法:确定这类粒子在有界磁场中运动的临界条件时，可以将一半径为R=mv0/(qB)的圆沿着“轨迹圆心圆”平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“平移法”.在真空中半径为r=3cm的圆形区域内有一磁感应强度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图3所示。一带正电的粒子以v=1.2xl06m/s的初速度从磁场边界直径ab的a端射入磁场。已知该粒子的比荷为q/m=108C/kg

6、不计粒子重力，则粒子射入磁场的速度方向与ab夹角为多少时，在磁场中运动时间最长。如图4甲，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R=mv/qB。图乙中哪个是正确的？ （二）练习题在y0的区域内存在匀强磁场，磁场垂直于xOy平面向外，原点O处有一离子源，沿各个方向射出速率相等的同价负离子，对于进入磁场区域的离子，它们在磁场中做圆周运动的圆心所在的轨迹可用下图给出的四个半圆中的一个来

7、表示，其中正确的是（）【答案】C如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T,磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l=16cm处,有一个点状的a放射源S,它向各个方向发射a粒子，a粒子的速率都是v=3.0 x106m/s.已知a粒子的电荷量与质量之比q=5.0 x107C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的a粒子,求ab上被a粒子打中的区域的长度.【解析】a粒子从S点垂直磁场以一定大小的速度朝各个方向射入，在磁场中均沿逆时针方向做匀速圆周运动，可求出它们的运动轨迹半径R，由qvB=mv2/R，得R=，代入q/mB数值得R=10c

8、m,可见2RlR.由于朝不同方向发射的a粒子的圆轨迹都过S,可先考查速度沿负y方向的a粒子，其轨迹圆心在x轴上的A1点，将a粒子运动轨迹的圆心A1点开始，沿着“轨迹圆心圆”逆时针方向移动，如右图所示.由图可知，当轨迹圆的圆心移至A3点时，粒子运动轨迹与ab相交处P2到S的距离为2R,P2即为粒子打中ab上区域的右边最远点.由题中几何关系得：NP2R2l2；当a粒子的轨迹的圆心由A3点移至A4点的过程中，粒子运动轨迹均会与ab相交，当移到A4点后将不再与ab相交了，这说明圆心位于A4点的轨迹圆，与ab相切的P1点为粒子打中区域的左边最远点.可过A4点作平行于ab的直线cd,再过A4作ab的垂线，

9、它与ab的交点即为P”同样由几何关系可知：NP=R2lR2。则所求长度P1P2=NP1+NP2，代入数值得P1P2=20cm.9如图所示，在半径为R的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B,方向垂直于圆平面（未画出）一群比荷为m的负离子体以相同速率v0（较大），由p点在纸平面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，则下列说法正确的是（不计重力）离子飞出磁场时的动能一定相等离子在磁场中运动半径一定相等由Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大【解析】射入磁场的粒子比荷相等，但质量不一定相等，故射入时初动能可能不等，又因为磁场对电荷的洛伦兹力不做功，故这些粒子

10、从射入到射出动能不变，但不同粒子的动能可能不等，A项错误.粒子在磁场中偏转的半径为r=qB，由于比荷和速度都相等，磁感应强度B为定值，故所有粒子的偏转半径都相等，B正确.同时各粒子在磁场中做圆周运动的周期T=qB，也相等，根据几何规律：圆内，较长的弦对应较大的圆心角，所以从Q点射出的粒子偏转角最大，在磁场内运动的时间最长，C对.沿PQ方向射入的粒子不可能从Q点射出，故偏角不最大，D错，选BC.(2009北京西城模拟)如图所示，在x轴上方的空间存在着垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度的大小为B.许多相同的离子，以相同的速率v,由O点沿纸面向各个方向(y0)射入磁场区域.不计离子所受重力，不计离

11、子间的相互影响.图中曲线表示离子运动的区域边界，其中边界与y轴交点为M，边界与x轴交点为N，且OM=ON=L.由此可判断A.这些离子是带负电的B.这些离子运动的轨道半径为Lc这些离子的荷质比为m=LbD.当离子沿y轴正方向射入磁场时会经过N点yXX玄XXxXxxXXA:XXXXXXfXXXXrrOCK養冲0JE 【答案】D【解析】根据左手定则，离子带正电，A项错误；由图可知，粒子轨道半径为；L,B项错误;再根据qvB斗2m=LB，C项错误；由于ON=L，粒子半径为；L,ON恰好为粒子圆周2L运动直径，故D项正确.2mv(1sin0)qB2mv(1cos0)D.qB如图所示，在屏MN的上方有磁感

12、应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里.P为屏上的一个小孔.PC与MN垂直.一群质量为m、带电量为一q的粒子(不计重力)，以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域.粒子入射方向在与磁场B垂直的平面内，且散开在与PC夹角为0的范围内.贝9在屏MN上被粒子打中的区域的长度为2mv2mvcos0A.qBB.qB答案】D【解析】由图可知。沿PC方向射入磁场中的带负电的粒子打在MN上的点离P点最远，为PR=Bq，沿两边界线射入磁场中的带负电的粒子打在MN上的点离P点最近为：PQ=2mvBqcos0,故在屏MN #选项D正确.上被粒子打中的区域的长度为：QR=PR-PQ=2mv(1qBco

13、s) （2013高考广东卷）如图，两个初速度大小相同的同种离子a和b,从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P上.不计重力.下列说法正确的有（） a、b均带正电a在磁场中飞行的时间比b的短a在磁场中飞行的路程比b的短a在P上的落点与O点的距离比b的近【解析】选AD.带电离子垂直进入匀强磁场，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动.根据洛伦兹力提供向心力和周期公式T=2nm、半径公式厂=爲及;解决问题.带电离子打到屏P上,说明带电离子向下偏转，根据左手定则，a、b两离子均带正电,mu选项A正确；a、b两离子垂直进入磁场的初速度大小相同，电荷量、质量相等，由r=qB知半径相同.b在磁场中运动了半个

14、圆周，a的运动大于半个圆周，故a在P上的落点与O的距离比b的近，飞行的路程比b长，选项C错误，选项D正确；根据t=J知，a在磁场中飞行的时间比b的长，选项B错误.【解析】此题考查的是“定心判径画轨迹”,轨迹如图所示。a、b粒子做圆周运动的半径都为R=mv画出Q0m圆O、O2分别为b、a的轨迹，a在磁场中转过的圆心角大，由t=2nT=和轨迹图可知A、D选项正确.13.如图所示，在真空中半径r=3.0 x10-2m的圆形区域内，有磁感应强度B=0.2T，方向如图的匀强磁场，一批带正电的粒子以初速度v0=1.0 x106m/s，从磁场边界上直径ab的一端a沿着各个方向射入磁场，且初速度方向与磁场方向

15、都垂直，该粒子的比荷为q/m=1.0 x108C/kg,不计粒子重力.求：粒子的轨迹半径；粒子在磁场中运动的最长时间；若射入磁场的速度改为v(=3.0 x105m/s,其他条件不变，试用斜线画出该批粒子在磁场中可能出现的区域.(sin37。=0.6,cos37。=0.8)【解析】(1)由牛顿第二定律可求得粒子在磁场中运动的半径.v2muqv0B=mR0,R=,=5.0 x102m.(2)由于Rr,要使粒子在磁场中运动的时间最长，则粒子在磁场中运动的圆弧所对应的弧长最长，从右图中可以看出，以直径ab为弦、R为半径所作的圆周，粒子运动时间最长，T=2nmqB，运动时间tm=2a2am2nXT=qB

16、又sina=35,所以tm=6.5x108s. (3)R=qB=1.5x10-2m,粒子在磁场中可能出现的区域见答案图所示(以aO为直径的半圆加上以a为圆心，aO为半径所作圆与磁场相交的部分).人们到医院检查身体时，其中有一项就是做胸透，做胸透用的是X光，我们可以把做胸透的原理等效如下：如图所示，P是一个放射源，从开口处在纸面内向各个方向放出某种粒子(不计重力)，而这些粒子最终必须全部垂直射到底片MN这一有效区域，并要求底片MN上每一地方都有粒子到达.假若放射源所放出的是质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，且所有的粒子速率都是v,M与放射源的出口在同一水平面上，底片MN竖直放置，底片MN长为L

17、.为了实现上述目的，我们必须在P的出口处放置一有界匀强磁场.求:匀强磁场的方向；画出所需最小有界匀强磁场的区域，并用阴影表示；匀强磁场的磁感应强度B的大小以及最小有界匀强磁场的面积S.【解析】(1)匀强磁场的方向为垂直纸面向外.(2)最小有界磁场如答案图所示.(3)要想使所有的粒子都最终水平向右运动，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径必须与最小圆形有界匀强磁场的半径大小一致所以有：R=L/2根据牛顿第二定律：qvBmV2,RmVRqB联立解得：B2mvqL如答案图所示有界磁场的最小面积为:S4。在xOy平面内有许多电子（质量为m,电荷量为e）从坐标原点O不断以相同大小的速度v0沿不同的方

18、向射入第一象限，如图所示.现加上一个垂直于xOy平面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行亍于x轴向x轴正方向运动，试求出符合条件的磁场的最小面积.0【解析】所有电子在所求的匀强磁场中均做匀速圆周运动，由ev0B=mR得半径为R=mB.设与x轴正向成a角入射的电子从坐标为（x,y）的P点射出磁场，则有x2+（Ry）2=R2式即为电子离开磁场的下边界b的表达式，当a=90时，电子的运动轨迹为磁场的上边界a,其表达式为：（Rx）2+y2=R2由式所确定的面积就是磁场的最小范围，如图所示，其面积为$=2普-R2）=n；2（m；0）2.16.（2010年全国卷I2621分）如

19、下图，在0 x3a区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0180范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在t=t0时刻刚好从磁场边界上P（3a，a）点离开磁场。求:在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m；时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围;粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。【答案】（1）R=23a、q2;3m3Bt0速度与y轴的正方向的夹角范围是60到120；从粒子发射到全部离开所用时间为2t0。【解析】初速度与y,轴正方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图中的弧OP所示，其圆心为CoO由题给条件可以得出ZOCP=23此粒子飞出磁场所用的时间为Tto=3式中T为粒子做圆周运动的周期。设粒子运动速度的大小为u,半径为R,由几何关系可得R23R=a3由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有U2qBu=mR2冗RT=联立式，得q2冗m3Bt0依题意，冋一时刻仍在磁场内的粒子到O点距离相冋。在to时刻仍在磁场中的粒子应位于以O点为圆心、OP为半径的弧MN上，如图所示。设此时位于P、M、N三点的粒