概率论与数理统计课件：第15讲 总体与样本

1、 前五章讲述了概率论的最基本的内容,概括起来主要是随机变量的概率分布。那里通常我们假定概率分布是已知的。但是，在实际中，随机变量的分布往往是未知的，或者有未知的成分。解决的办法：对随机变量进行多次观察。 例如：某地区一个月内交通事故的发生次数服从泊松分布 ，希望了解月平均事故次数 ，以便采取应对策略。数理统计引言 从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次的观察，随机现象的规律性就一定能够清楚地呈现出来。 但是，客观上只允许我们对随机现象进行次数不多的观察或试验，也就是说：我们获得的只能是局部的或有限的观察资料。 统计学的任务就是研究怎样有效地收集、整理和分析所获得的有限资料，并对所研究的问题尽可

2、能地给出精确而可靠的推断。 现实世界中存在着形形色色的随机数据，分析这些数据需要多种多样的方法。因此，数理统计中的方法和支持这些方法的相应理论是相当丰富的。我们主要介绍如下两大类: 参数估计: 根据数据，对分布中的未知参数 进行估计； 假设检验: 根据数据，对分布的未知参数的 某种假设进行检验。 参数估计与假设检验构成了统计推断的两种基本形式，这两种推断渗透到了数理统计的每个分支。6.1 总体与样本 在数理统计中，称研究问题所涉及对象的全体为总体，总体中的每个成员为个体。 例如: 研究某工厂生产的某种产品的废品率，则这种产品的全体就是总体，而每件产品都是一个个体。6.1.1 总体、个体与样本

3、实际上，我们真正关心的并不一定是总体或个体本身，而真正关心的是总体或个体的某项数量指标。 如：某电子产品的使用寿命，某天的最高气温，加工出来的某零件的长度等数量指标。因此，有时也将总体理解为那些研究对象的某项数量指标的全体。 为评价某种产品质量的好坏，通常的做法是：从全部产品中随机(任意)地抽取一些样品进行观测(检测)，统计学上称这些样品为一个样本。 同样，我们也将样本的数量指标称为样本。因此，今后当我们说到总体及样本时，既指研究对象又指它们的某项数量指标。例1：研究某地区 N 个农户的年收人。 在这里，总体既指这 N 个农户，又指我们所关心的 N个农户的数量指标他们的年收入( N 个数字)。

4、 如果从这 N 个农户中随机地抽出 n 个农户作为调查对象，那么，这 n 个农户以及他们的数量指标年收入( n个数字)就是样本。 注意：上例中的总体是直观的，看得见、摸得着的。但是，客观情况并非总是这样。例2：用一把尺子测量一件物体的长度。 假定 n 次测量值分别为X1,X2 ,Xn。显然，在该问题中，我们把测量值X1,X2 ,Xn看成样本。但总体是什么呢? 事实上，这里没有一个现实存在的个体的集合可以作为上述问题的总体。可是，我们可以这样考虑，既然 n 个测量值 X1,X2,Xn 是样本，那么，总体就应该理解为一切所有可能的测量值的全体。又如：为研究某种安眠药的药效，让 n 个病人同时服用这

5、种药，记录服药者各自服药后的睡眠时间比未服药时增加睡眠的小时数 X1,X2,Xn，则这些数字就是样本。 那么，什么是总体呢? 设想让某个地区(或某国家，甚至全世界)所有患失眠症的病人都服用此药，则他们所增加睡眠的小时数之全体就是研究问题的总体。 对一个总体，如果用X表示其数量指标，那么，X的值对不同的个体就取不同的值。因此，如果我们随机地抽取个体，则X的值也就随着抽取个体的不同而不同。 所以，X是一个随机变量! 既然总体是随机变量X，自然就有其概率分布。我们把X的分布称为总体分布。 总体的特性是由总体分布来刻画的。因此，常把总体和总体分布视为同义语。.6.1.2 总体分布例 3 (例 l 续)

6、：在例 l中，若农户年收入以万元计，假定 N户的收入X只取以下各值: 0.5, 0.8, l.0, 1.2和1.5。取上述值的户数分别n1, n2, n3, n4和n5 (n1+n2+n3+n4+n5=N)。则X为离散型分布，分布律为:例4 ( 例2续 )：在例2中，假定物体真实长度为(未知)。一般说来，测量值X就是总体，取 附近值的概率要大一些，而离 越远的值被取到的概率就越小。 如果测量过程没有系统性误差，则X取大于 和小于 的概率也会相等。 在这种情况下，人们往往认为X 服从均值为，方差为2 的正态分布。2反映了测量的精度。于是，总体X的分布为 N(,2)。 说明：这里有一个问题，即物体

7、长度的测量值总是在其真值 的附近，它不可能取负值。 而正态分布取值在(-,)上。那么，怎么可以认为测量值X服从正态分布呢? 回答这个问题，有如下两方面的理由。(1).在前面讲过，对于XN(,2)， P-3X0，当样本大小 n 增大时，上面的概率也随之增大；n 趋于无穷时，上式趋近于 1。任给c 0，总有例1：用机器向瓶子里灌装液体洗涤剂，规定每瓶装 毫升。但实际灌装量总有一定波动。假定灌装量的方差 2=1，如果每箱装这样的洗涤剂 25 瓶。求这 25 瓶洗净剂的平均灌装量与标定值 相差不超过0.3毫升的概率；又如果每箱装50瓶时呢?解：记一箱中 25 瓶洗净剂灌装量为 X1,X2, X25 是来自均值为 , 方差为1的总体的随机样本。根据抽样分布定理1，近似地有 当 n=50时，同样可算出