2021年大象群落的稳定发展

1、*欧阳光明*创编大象群落的稳定发展欧阳光明（2021.03.07）摘要本文根据非洲某国的国家公园近两年内从公园运出的大象的大 致年龄和性别的统计情况，探讨大象的合理的存活率并推测当前的 年龄结构，针对不同情况给出如何进行避孕注射以达到控制大象数 量的目的。首先，充分利用给出的近两年来运出的大象的数量与性别统计 表，分析近两年来的大象群落的情况，建立一个线性方程组的数学 模型，通过求解方程组得到年龄在2岁到60岁之间的大象的总 数，并且求出了存活率为：98.9718% ；因为假设公园内2岁到60 岁之间的大象占总大象的比例等于运出的2岁到60岁之间的大象 占总移出大象的比例，所以通过一些比例之间

2、的关系得到这个大象 群落的当前的年龄结构（见表1）。然后，建立一个按年龄分组的种群增长的差分方程模型，运用 第一问求出的各年龄段大象的存活率以及繁殖率，求解当前大象群 落对应的Leslie矩阵的特征根，发现该特征根大于1，根据Leslie 矩阵的稳定性理论知道：如果不进行避孕注射该大象种群将无限增 长（如果环境允许）；据此，利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出 应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，求解的主要思路是： 特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率 代入方程VI，求解这个以繁殖率为未知数的方程可以得到要使种群 保持稳定繁殖率的取值；根据需要避孕掉母象所生的幼象的

3、数目等 于注射避孕药使得母象没有繁殖幼象的数目这一条件建立一个方 程，最后求得每年注射避孕药的母象头数为：1393 （头）。最后，假设被转移的大象只考虑处于1 60岁之间，这样可以认为 转移后的大象看成每年多死了这么多头大象，即意味着死亡率将增 加，存活率将减少；仍然按照解决第二问的模型，只需将此时不同 的各年龄段大象的存活率代入那个以繁殖率为未知数的方程（方程 VI），求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定。考虑到求 解的数据比较多，采取计算机模拟的方法来确定移出大象后所需要 进行避孕的母象头数（见表2），为了检验计算机模拟的正确性， 用理论去验证。模拟的思路方法见计算机模拟流程图一图2

4、。关键词：关键字：线性方程组、差分方程模型、Leslie矩阵、计算 机模拟问题重述位于非洲某国的国家公园中栖息着近11000头大象。管理者要 求有一个健康稳定的环境以便维持这个11000头大象的稳定群落。 管理者逐年统计了大象的数量，发现在过去的20年中，整个大象 群经过一些偷猎枪杀以及转移到外地还能保持在11000头的数量， 而其中每年大约有近600头到800头是被转移的。由于近年来，偷 猎被禁止，而且每年要转移这些大象也比较困难，现决定采取避孕 注射法以维持大象数量的平衡。我们已知此公园近两年内从这个地 区运出的大象的大致年龄和性别的统计。根据这些信息我们需要解 决以下问题：探讨年龄在2岁

5、到60岁之间的象的合理的存活率的模型，推测 这个大象群落的当前的年龄结构。估计每年有多少母象要注射避孕药，可以使象群固定在11000头左右。这里不免有些不确定性，是否能估计这种不确定性的影响。假如每年转移50至300头象到别处，那么上面的避孕措施将可 以有怎样的改变？问题假设1、假设大象的性别比近似认为1： 1，并且采用措施维持这个性别 比；2、假设母象可以怀孕的年龄为11岁一60岁、最高年龄为70岁， 70岁的死亡率为100%，并且6170岁的大象的头数呈线性递减；3、假设大象在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采 用各种措施维持这一结构；4、假设被转移的大象只考虑处于160岁之间，

6、转移后的大象看 成每年多死了这么多头大象；5、假设0岁大象能够活到1岁的比例为75%；符号说明X,：表示一年中大象的头数（i=0表示0岁大象的头数，i=1表示 1-60岁大象头数，i=2表示6170岁大象的头数）；七:表示存活率（p0表示0岁大象的存活率，p 1表示160岁大象 的存活率，P2表示61岁一70岁大象的存活率）；x（k）:表示时段k第i年龄组的大象数量；i七：第i年龄组每个（母象）个体在1个时段内平均繁殖的数量； 七：第i年龄组的存活率；L : Leslie 矩阵；:L矩阵的那个唯一正特征根；*欧阳光明*创编n :表示移出大象的头数;问题分析对于问题一，利用给出的近两年来运出的大

7、象的数量与性别统 计表，可以分析近两年来的大象群落的情况，比如移出的各个年龄 段的大象占移出的总的大象的头数的比例是多少，还可以根据两年 移出大象后大象总数都是11000来建立方程，用于求解存活率。对于问题二，因为考虑的是公园在未来很长一段时间的大象种 群控制问题，所以可以建立一个按年龄分组的种群增长的差分方程 模型，根据差分方程的Leslie矩阵的特征根，结合Leslie矩阵的稳 定性理论对当前大象种群的情况进行分析。为了保持大象种群的稳 定，必须使得Leslie矩阵的最大特征根为1，而这样，特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程特 征方程，求解这个以繁殖率为未知

8、数的方程可以得到要使种群保持 稳定繁殖率的取值；根据需要避孕掉母象所生的幼象的数目等于注 射避孕药使得母象没有繁殖幼象的数目这一条件建立方程来求解应 该对多少头母象进行避孕。对于问题三，由于假设被转移的大象只考虑处于1 -60岁之 间，故可以认为转移后的大象看成每年多死了这么多头大象，即意 味着死亡率将增加，存活率将减少。按照解决第二问的模型，只需 将此时不同的各年龄段大象的存活率代替原来的存活率，就可以求 出此时应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定。为了方便，可 用采用计算机模拟的方法来确定移出的大象在哪个年龄段，考虑到 计算机模拟的不确定性，可以对模拟结果进行检验。探讨大象的存活率和当前

9、大象的年龄结构下面将根据给出的近两年来运出的大象的数量与性别统计表， 分析近两年来的大象群落的情况，建立一个线性方程组数学模型， 通过求解方程组得到年龄在2岁到60岁之间的大象的存活率，并 给出大象各年龄所占的比例，进而得到这个大象群落的当前的年龄 结构。1、线性方程组模型的建立首先，计算一年中大象的头数。大象群是由0岁，160岁，61岁一70岁组成,且稳定在11000 头。设0岁的头数为X0，160岁大象头数为X1，61岁一70岁大 象头数为X2。所以得到第一个方程：X0+X1+X2=11000(I)其次，考虑到前一年大象的总数等于前两年存活下来的 大象加上新生的幼儿再减去运出的大象数。设0

10、岁大象的存活率为p0，160岁大象的存活率为p 1，61岁 70岁大象的存活率为p。则经过一年后，新生的大象存活下来的 2头数为X0 x p0 ； 1到60岁的大象存活下来的头数为X1Xp1； 61岁一 70岁的大象能存活下来的头数为X2乂，因此得到第二个方程：(X0 x p0 + X1 Xp/ X2 xp2 ) + X0-622=11000(II)联立(I)、(II)得到方程组:(*)X +X +X =11000X x p + X x p + X x p + X -622=11000 00112202、模型的求解根据近两年来运出的大象的数量与性别统计表，得到如下分析(1)计算0岁的大象头数由

11、表中统计，1岁一10岁的大象占1岁一60岁的大象比例为： (67/622+169/876)/2=15.032%所以得到：11岁一60岁能生小象的母象占1岁一60岁的大象 比例为：(1-15.032%) x0.5 =42.48%因为能生小象的母象每3.5年生一头小象，且双胞胎的机会为 1.35%，相当于每年生0.2896头，所以0岁的大象占1岁一60岁的 大象比例为：0.4248 x 0.2896=0.12303这样0岁的大象共有：X0 =0.12303x x1(III)(2)计算61岁一70岁的大象头数从表中计算运出的59岁的大象占运出的总大象比率为：(14/622+22/876)/2=0.0

12、238由于运出的大象都是1岁一60岁的，所以0.0238也可看为59 岁的大象占1一60岁的大象的头数比例，得到60岁的大象占的比 例为0.0238x，由假设可以知道：61岁一70岁的大象头数为：x2=1/2 x 10 x 0.0238 x p1 x X1( IV)61岁一一70岁的大象经过一年能存活下来的头数为：X2 x匕=(1/2)x9x0.0238x4xX】(V)*欧阳光明*创编2021.03.07*欧阳光明*创编2021.03.07（3）、将（III）、（V ）和（企）两个式子代入上面方程组 （*）得：又由假设知道，0岁大象的存活率为与=75%代入上述方程组，然后 用Mathemati

13、ca解之得：再依次将x七代入（III）、（V）和（IV）求得：所以，0岁大象的总头数为1091 （头）；160岁的大象的存活率 为98.9719%，总头数为8865 （头）；61岁一70岁的大象头数为 1091 （头）。把070岁的大象分为八个年龄段，由假设知道，各个年龄段 占总数可以用各个年龄段移出的头数除以移出的总头数来衡量。下 面以110年龄段的大象头数计算为例：前一年总共移出622头，其中110岁移出为67头；前两年 总共移出876头，其中110岁移出169头。故110年龄段的大 象头数可以这样计算：X =8865 x（区 +169）/2=1333 （头） 11622876其他的年龄段

14、用同样的方法计算，得到如下表（附饼形图）：表1 （大象年龄结构）年龄01-1011-2021-3031-4041-5051-6061-70头数10911333177710691255188815441044比例101216101117149图1 （大象年龄结构饼图）3、结果分析（1）由结果可以知道，260岁大象的存活率为98.9718%，*欧阳光明*创编2021.03.07这与题目给出的大于95%是相一致的，所以可以认为结果是合理 的；(2)从图1可以看出，各个年龄段的大象所占的比例基本上 是一样的，2130岁和4150岁的大象比例相对比较大，因为这 段大象正处于年龄的黄金时期。由此，可以认为

15、求出的大象年龄也 是合理的。估计每年注射避孕药的母象头数为了估计每年注射避孕药的母象头数，首先建立一个按年龄分 组的种群增长的差分方程模型；然后用Leslie矩阵稳定的充要条件 分析如果不进行避孕注射种群的增长情况；最后仍然利用Leslie矩 阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳 定，进而利用一个方程求出每年注射避孕药的母象头数。1、按年龄分组的种群增长的差分方程模型的建立记时段k第i年龄组的大象数量为%(k)，k=0，1，2， i=1，2，n,第i年龄组的繁殖率为气，即第i年龄组每个(母象) 个体在1个时段内平均繁殖的数量，第i年龄的存活率为*，我们 这里假设b.和*不随

16、时段k变化，在稳定的环境下这个假设是合理 的。b和*可由统计资料获得。(k)的变化规律由以下的基本事实i ii得到：时段k+1第1年龄组种群数量是时段k各年龄组繁殖数量之 和，即时段k+1第i+1年龄组的种群数量是时段k第i年龄组存活下来的数量，即记时段k种群按年龄组的分布向量为由繁殖率弓和存活率*构成的矩阵为根据Leslie矩阵的性质可以得到如下的定理：定理1 : L矩阵有唯一的正特征根七，且它是单重根的，七对应正特征向量*=，A，.”，Sly” j人 人2人”-11-111l矩阵的其他n-1个特征根人*都是满足|%|叫,k = 2,3,.,”该定理表明L矩阵的特征方程 只有一个正根，并且易

17、知，L * = 1X*2、如果不进行避孕注射种群的增长情况（1）建立Leslie矩阵首先，由第一问的求解知道，0岁的大象的存活率为0.75； 1 60岁大象的存活率为0.989718 ；根据假设6170岁大象头数是线 性递减的，而且到70岁所有的大象都死完了，所以很容易求出存 活率为（1-0.1）xp=0.9X0.989718=0.8907； 1160 岁大象的繁殖率 为 0.1448。1然后根据上面的矩阵L建立起如果不进行避孕注射种群的增长的 Leslie矩阵如下所示：-00.00.1448 0.1448 0.14480.00一0.750.000 00.000 0.9897 .000 00.

18、0000.000 00.0000. 0.989700 00.0000.00.98970 00.00L =000.9897 00.0071x71000 00.0000.000 00.0000.000 0.98970.0000.000 00.8907 .0000.000 00.0000.000 00. 0.8907 0这是一个71 x 71的矩阵。（2）讨论L的特征根，分析种群增长规律用Matlab软件求得特征根为R=1.0481，根据定理1知道，如*欧阳光明*创编2021.03.07*欧阳光明*创编2021.03.07果不进行避孕注射，该大象种群将无限增长下去（如果环境允 许），所以要进行避孕注

19、射。3、求出每年注射避孕药的母象头数(VI)根据Leslie矩阵的性质知道，要保持种群稳定，必须使得特征 根r=1，即使得下面式子成立：b + b s + b s s +. + sb s s .s + b s s s .s = 10 1 0 2 0 10 n-1 1 2 n - 2 n 0 1 2 n-1具体到本题来就是使得如下成立：解这个方程求出要保持大象种群的稳定，繁殖率应该为 b =0.03770保持大象种群数量不变的繁殖率b0与没采取避孕时的繁殖率b 有一定的差距，所以需要避孕掉具有（b-b0）繁殖率母象所生的幼 象。假设每年要避孕n头大象，由于一次注射可以使得一头成熟的 母象在两年内

20、不会受孕，所以每年实际上共有2xn头大象处于避孕 期。0这样根据需要避孕掉具有（b- b0）繁殖率母象所生的幼象的数 目等于注射避孕药使得母象没有繁殖幼象的数目这个条件得到一个 方程：解之得n =1393所以每年注射避孕药的母象头数为：1393 （头）4、分析不确定因素的影响（1）最初一两年避孕母象发情期增多，与未避孕母象产生竞争 求偶的公象，使部分能怀孕的母象不能怀孕而避孕的母象每月发 情一次，会扰乱了正常求偶的母象，这样会造成未避孕母象的繁殖 率出现下降，避孕的母象数量应该减少。（2）随着时间的增长，如果持续使用避孕药，会使象的年龄结 构发生变化，象的结构呈老龄化，所以随着时间的增长，要保

21、证象 群的稳定，避孕药的使用量必定会逐年减少直至禁用。考虑转移大象时母象的避孕策略被转移的大象只考虑处于160岁之间，转移后的大象看成每 年多死了这么多头大象，即意味着死亡率将增加，存活率将减少。卜面首先通过计算机模拟来确定移出大象后所需要进行避孕的母象*欧阳光明*创编2021.03.07头数；然后用理论去验证计算机模拟的正确性。1、通过计算机模拟确定需要进行避孕的母象头数产生了 n （可自己指定）个01的随机数。具体算法如下页图所示。图2 （计算机模拟流程图）初始化：按照各个年龄段 大象所占比重，给每个年 龄段分配一个区间，每个 年龄运|NoW0a(i)k1=k1+产生n个01随机数 记为向

22、量a（i）Yes0.148a (i)0346=*-TNoWk2=k2+W0.346a (i)k3=k3+k4=k4+No0.469a (i) 0.617NoNo0.617a(i)0.827a (i)W1Noi=i+1,i=nYesYesk6=k6+k5=k5+根据k1k6求出各年龄 段大象的存活率、运用 Leslie矩阵稳定的条件求 出此时繁殖率应该为多少 才能保持大象种群稳定， 进而求出需避孕的大象头 数卜面议n=100为例进行计算机模拟。令n=100,进行10次计算机模拟，得到当运出大象头数为100 头时，要使大象头数稳定在11000头需避孕的大象头数如下：第一次模拟：1164 （头）第二

23、次模拟：1195 （头）第三次模拟：1192 （头）第四次模拟：1167 （头）第五次模拟：1206 （头）第六次模拟：1163 （头）第七次模拟：1207 （头）第八次模拟：1190 （头）第九次模拟：1173 （头）第十次模拟：1178 （头）10次模拟得到需避孕的大象头数的平均数为1184头。因此可 以认为当运出大象头数为100头时，要使大象头数稳定在11000头 需避孕的大象头数为1184头。同理，可以得到题目中要求的当运出大象50-300头要使大象头数稳定在11000头需避孕的大象头数分别为：表2 （移出大象与对应得避孕母象头数）移 出 头 数50607080901001101201

24、30140150160170避孕头数1297127712531231121211841164115011121096103610301010移 出 头 数180190200210220230240250260270280290300避孕头数970932917860838822764738714.654653591570图3 （运出大象数目与应该避孕母象数目的关系）从该图的变化趋势可以看出为了使大象总数稳定在11000头而 应该避孕的母象数目与运出大象的头数近似成二次函数关系。通过 最小二乘进行拟合二次函数得到移出大象头数x与避孕母象头数y 关系：y = 0.00344X2 -1.7558x +

25、1396.2 画出图像为：图4 （原始数据关系与拟合关系对比图）2、用理论去验证计算机模拟的正确性假设所转移的大象是有目的的挑选的，即挑选大象时是按照第 i（i=1，2，3，4，5，6）年龄组所占比例进行的，这也是符合情 理。设每年被转移的大象共有 M头，1 60岁的大象共有 W 头。设第i年龄组占1 60岁的比例为七，第i年龄组的存活率 七，则有则要保持大象群落稳定，如第二问的做法有： 当移出大象头数M=50时，解得b=0.0455。又由第三问，把这个方程（1/2） x 85% x X x （0.1448-0.0377）=2n 0 x 0.1448 的 n0 换为 n、0.0377 换为 0

26、.0455，求得 n=1291。所以，现在只需避孕1291头，由计算机模拟得到的是1297 头，非常地接近。同样的道理可以验证当M=60，70，80的时候 也是与计算机模拟很接近的。*欧阳光明*创编2021.03.07由此，可以说明我们用计算机模拟的方法是有效的。模型的评价和改进方法1、模型的优点本文解决问题的模型都是比较简单的，但是这并不影响得到 的结果的准确性，因为这些简单的模型都有很强的理论依 据；在求解第二问的时候，充分利用Leslie矩阵稳定性理论来求 解应该让多少母象进行避孕注射，这些理论在差分方程中都 是经典的理论，经得起许多事实的考验；第三问的求解中运用了计算机模拟方法来模拟移

27、出大象属于 哪个年龄段，这样不仅求解方便、简洁(只需要把算法程序 写好就可以得到结果)，得到的结果与实际也更接近；第三问用计算机模拟得到数据后，又用理论去验证，这样使 得结果更具有说服力；2、模型需要改进的地方因为假设了大象性别是严格地1： 1关系，而实际中不一定那 么地严格是这样，所以如果能够把各个年龄段大象的性别比 例分别计算，那么模型的结果可能更接近实际；在进行计算机模拟时，最开始的随机数的产生个数只有几十 个，这几十个随机数不能很好的反映各个年龄段的大象所占 的比重，这样势必会对结果造成一定的误差；参考文献：1、姜启源 数学模型(第三版)M.北京：高等教育出版社20032、赵静数学建模

28、与数学实验(第2版)M.北京：高等教育出版 社 20033、周晓阳数学实验与Matlab M.武汉：华中科技大学出版社20024、郑谏当代数学的若干理论与方法M.上海：华东理工大学出版社 20025、 李尚志数学建模竞赛教程M.江苏：江苏教育出版社19966、北峰数模网 HYPERLINK / /2006-8-13附录：1、计算机模拟Matlab程序代码function bys,b0=moni(n)b=12 16 10 12 17 14;c=b/sum(b);b=cumsum(c);a=rand(n,1);k1=0;k2=0;k3=0;k4=0;k5=0;k6=0;i=1;for i=1:ni

29、f(a(i)b(1)&a(i)b(2)&a(i)b(3)&a(i)b(4)&a(i)b(5)&a(i)=b(6)k6=k6+1;endends10=1-(11000*0.12*(1-0.9897)+k1)/(11000*0.12);s20=1-(11000*0.16*(1-0.9897)+k2)/(11000*0.16);s30=1-(11000*0.1*(1-0.9897)+k3)/(11000*0.1);s40=1-(11000*0.12*(1-0.9897)+k4)/(11000*0.12);s50=1-(11000*0.17*(1-0.9897)+k5)/(11000*0.17);s6

30、0=1-(11000*0.14*(1-0.9897)+k6)/(11000*0.14);b0=1/(s10A10*(1+s20+s20A2+s20A3+s20A4+s20A5+s20A6+s20A7+s20A8+s20A9)+s10A10*s20A10*(1+s30+s30A2+s30A3+s30A4+s30A5+s30A6+s 30人7+s30人8+s30人9)+.s10A10*s20A10*s30A10*(1+s40+s40A2+s40A3+s40A4+s40A5+s40A6+s40A7+s40A8+s40A9)+s10A10*s20A10*s30A10*s40A10*(1+s50+s50

31、A2+s50 A3+s50A4+s50A5+s50A6+s50A7+s50A8+s50A9)+.*欧阳光明*创编2021.03.07s10A10*s20A10*s30A10*s40A10*s50A10*(1+s60+s60A2+s60A3+s60A4+s60A5+s60A6+s60A7+s60A8+s60A9)*4/3;bys=0.5*0.85*8864*(0.1448-b0)/(2*0.1448);2、求大象年龄各个年龄头数及饼图代码a1= 0 0 0 347 20915922 3235 1321 0 22 14 51310.0 13 30 14120 206358 12103 7 1410 16 21 13 10 12.63 6 913103621154 13 1032140;a2=020 2113121322144014 26 1314273 1412 2025171410.02 3 44323131613 10 101216 1210 1219 132417.1625 1245233413161017 13 1312322 20;a11=sum(a1(1:10)/sum(a1,2);a12=sum(a1(11:20)/sum(a1,2);a13=sum(a1(21:30)/sum