第一讲期望方差的定义

1、第一讲 随机变量的数学期望和方差 P89 P98 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量x的概率分布，那么x的全部概率特征也就知道了 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了在这些数字特征中，最常用的是期望和方差一 离散型随机变量的数学期望和方差例1 设射击选手甲与乙在同样条件下进行射击其 命中环数是随机变量，分布表如下：问: 如何评价甲和乙的技术?X10987650P0.50.20.10.10.050.050Y10987650P0.10.10.10.10.20.20.2

2、下面从(一)平均命中环数和(二)从命中环数的集中或离散程度角度进行分析一 分析平均命中环数 给甲100发子弹则甲命中总环数大约为:X10987650P0.50.20.10.10.050.050平均每发命中环数估计为:记为EX称为随机变量X的数学期望Y10987650P0.10.10.10.10.20.20.2EY=5.6=8.85=8.85评价：因为 EX=8.85, EY=5.6从平均命中环数看，甲的水平高于乙 这种反映随机变量取值平均的值恰好为 随机变量的一切可能取值与相应概率乘积的和二 从命中环数的集中或离散程度角度考虑图(1)图(2)请看下列散点图图(1)比较集中,图(2)比较分散偏离

3、值 偏离值的平方概率P 请看下表：偏差平方的平均值为:X10987650P0.50.20.10.10.050.050EX=8.8510-8.850.59-8.850.28-8.850.17-8.850.16-8.850.055-8.850.050-8.850=2.23DX=同理DY=10.24从偏差平方的平均值看：甲优于乙设随机变量X概率分布表为.pk.p2p1P.xk.x2x1XX数学期望(或均值)定义为:二 离散型随机变量的数学期望和方差定义 P89 P98EX=+.+.X方差定义为:DX=+.+.偏差的平方的平均值例1 设x概率分布表为X012P0.20.40.4求 E(x) D(x)解

4、例2 设x概率分布表为X01Pqp解求 E(x) D(x)(p+q=1)例3 P90 按规定某车站每天8:00-9:00, 9:00-10:00恰有一辆客车到站,各车到站的时刻是随机的,且相互独立,其规律为 到站时刻8:10 8:30 8:509:10 9:30 9:50概率1/6 3/6 2/6旅客8:20到站,求他候车时间的数学期望解X-候车时间X P 1030507090解：例4 设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。X的分布律为：XP012XP012即解例5 设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内期望利润是多少？X-一周5天内机器发生故障天数，Y-一周内所获利润同理设连续型随机变量X概率密度函数为三 连续型随机变量的期望和方差定义 P89 P