《应用统计学》课件 假设检验

1、主讲：孟丽丽E-mail 应用统计学目录第一章 绪论第二章 统计数据的描述第三章 概率与概率分布第五章 参数估计第六章 假设检验第七章 方差分析第八章 相关与回归第四章 抽样与抽样分布6.1 假设检验的基本问题6.2 一个总体参数的检验6.3 两个总体参数的检验第六章 假设检验1、假设检验基本概念：掌握原假设、备择假设、检验统计量、拒绝域、两类错误、显著性水平2掌握假设检验的基本步骤3、一个总体参数的检验4、两个总体参数的检验5、用Excel进行检验6、利用p 值进行检验学习目标引 例 作一种新的方法测定标准试样DZ-1中的SiO2含量（%），得以下8个数据： 34.30，34.33，34.2

2、6，34.38，34.38，34.29，34.29， 34.23。 该标样SiO2含量标准值为34.33%, 问这种新方法有无系统误差？某实验室用两种不同的方法测定下水道污水中的锌，得到如下结果（ug/l）： 方法一：195，182，204，202，190，186，192，198，193，188； 方法二：196，204，197，203问这两种方法的测定结果是否显著不同？ 用紫外分光光度法和近红外反射光度法测定不同批次片剂中扑热息痛含量，得到右列结果问两种方法的测定结果以及精密度是否有显著差异？ 批次紫外法近红外法184.6383.15284.3883.72384.0883.84484.418

3、4.20583.8283.92683.5584.16783.9284.02883.6983.60984.0684.131084.0384.245.1 假设检验的基本问题5.1.1 假设检验基本原理假设：对总体的某些未知的或不完全知道的性质所提出的待考察的命题。假设检验：对假设成立与否做出的推断。问题的提出 例 ：某猪场称该场的猪在体重为100kg时的平均背膘厚度为9mm。 问题：此说法是否正确？有4种可能性（假设） 1）正确： 9 2）不正确： 9（| 9| 0） 3）不正确： 9三对假设： 9 vs 9， 9 vs 95.1.1 假设检验基本原理 如何回答随机抽取一个样本 计算该样本的平均数

4、 比较样本平均数与9mm 难题 存在抽样误差 当样本平均数与9mm之差达到多大时可否定 95.1.1 假设检验基本原理解决的思路针对要回答的问题提出一对对立的假设，并对其中的一个进行检验 找到一个样本统计量，它与提出的假设有关，其抽样分布已知根据这个统计量观察值出现的概率，利用小概率事件原理对假设是否成立做出推断这个过程称为假设检验5.1.1 假设检验基本原理假设检验的原理是逻辑上的反证法和统计上的小概率原理反证法：当一件事情的发生只有两种可能A和B，如果能否定B，则等同于间接的肯定了A。小概率原理：发生概率很小的随机事件在一次实验中是几乎不可能发生的。5.1.1 假设检验基本原理小概率原理：

5、如果对总体的某种假设是真实的，那么不利于或不能支持这一假设的事件A（小概率事件）在一次试验中几乎不可能发生的；要是在一次试验中A竟然发生了，就有理由怀疑该假设的真实性，拒绝这一假设。总 体（某种假设）抽样样 本（观察结果）检验（不能拒绝）（拒绝）小概率事件未 发 生小概率事件发 生概率小到多小才算是“小”？通常用显著性水平 0.05和 0.01来衡量。假设检验的基本步骤1）提出一对对立的假设(原假设、备择假设)2）构造并计算检验统计量3）确定拒绝域4）对所作的假设进行推断5.1.1 假设检验基本原理例（续） 设由该场随机抽取了10头猪，测得它们在体重为100kg时的平均背膘厚为8.7mm。已知

6、该场猪的背膘厚服从正态分布，总体方差为 2 2.5mm2 1）提出假设原假设：H0: = 9mm备择假设：H1: 9mm5.1.1 假设检验基本原理2) 构造并计算检验统计量检验统计量：用于检验原假设能否成立的统计量，满足以下条件： 必须利用原假设提供的信息 抽样分布已知5.1.1 假设检验基本原理3）确定拒绝域在检验统计量抽样分布的尾部（1侧或2侧）中划定一小概率区域，一旦计算的检验统计量的实际值落入此区域，就否定原假设，接受备择假设。这个小概率也称为显著性水平，用 表示通常取 5或 15.1.1 假设检验基本原理若取 5，则接受域95%否定域2.5%1.96-1.96拒绝域：Z 1.96

7、或 Z 1.96 否定域2.5%5.1.1 假设检验基本原理4）对所作的假设进行推断 差异不显著：在 5水平下，检验统计量的观察值落在接受域中 差异显著：在 5水平下，检验统计量的观察值落在拒绝域中 差异极显著：在 1水平下，检验统计量的观察值落在拒绝域中5.1.1 假设检验基本原理 z = -3.162 2.58 或 Z -2.58仍有 z = -3.162 -2.58 结论：该场猪的平均背膘厚与9mm差异极显著5.1.1 假设检验基本原理 原假设与备择假设 原假设和备择假设是一个完备事件组，而且相互对立 在一项假设检验中，原假设和备择假设必有一个成立，而且只有一个成立 先确定备择假设，再确

8、定原假设 等号“=”总是放在原假设上 因研究目的不同，对同一问题可能提出不同的假设(也可能得出不同的结论)5.1.2 假设检验相关概念【例】一种零件的生产标准是直径应为10cm，为对生产过程进行控制，质量监测人员定期对一台加工机床检查，确定这台机床生产的零件是否符合标准要求。如果零件的平均直径大于或小于10cm，则表明生产过程不正常，必须进行调整。试陈述用来检验生产过程是否正常的原假设和被择假设提出假设(例题分析)解：研究者想收集证据予以证明的假设应该是“生产过程不正常”。建立的原假设和备择假设为 H0 ： 10cm H1 ： 10cm 【例】某品牌洗涤剂在它的产品说明书中声称：平均净含量不少

9、于500克。从消费者的利益出发，有关研究人员要通过抽检其中的一批产品来验证该产品制造商的说明是否属实。试陈述用于检验的原假设与备择假设提出假设(例题分析)解：研究者抽检的意图是倾向于证实这种洗涤剂的平均净含量并不符合说明书中的陈述 。建立的原假设和备择假设为 H0 ： 500 H1 ： 500500g【例】一家研究机构估计，某城市中家庭拥有汽车的比率超过30%。为验证这一估计是否正确，该研究机构随机抽取了一个样本进行检验。试陈述用于检验的原假设与备择假设提出假设(例题分析)解：研究者想收集证据予以支持的假设是“该城市中家庭拥有汽车的比率超过30%”。建立的原假设和备择假设为 H0 ： 30%

10、H1 ： 30% 双侧检验和单侧检验双侧检验：否定域在检验统计量分布的两尾单侧检验：否定域在检验统计量分布的一侧左侧检验：否定域在检验统计量分布的左侧右侧检验：否定域在检验统计量分布的右侧5.1.2 假设检验相关概念双侧检验与单侧检验 (假设的形式)假设双侧检验单侧检验左侧检验右侧检验原假设H0 : m = m0H0 : m m0H0 : m m0备择假设H1 : m m0H1 : m m0例（续）左侧检验 1）假设： H0: 9， HA: 9 2）检验统计量：同双侧检验， z = -3.162 3）否定域： 取 = 0.05 4）推断：5%-1.64 z = -3.162 9 2）检验统计量

11、：同双侧检验， z = -3.162 3）否定域： 取 = 0.05 4）推断：5%1.64 z = -3.162 1.64 不拒绝原假设-3.1625.1.2 假设检验相关概念 相伴概率 P检验统计量观察值以及所有比它更为极端的可能值出现的概率之和 双侧检验：P = P(Z 3.162) = 0.002a=0.05 拒绝原假设 左侧检验：P = P(Z -3.162) = 0.001 -3.162) = 0.999a=0.05 不拒绝 5.1.2 假设检验相关概念 -3.1623.162双侧检验的相伴概率左侧检验的相伴概率-3.162z05.1.2 假设检验相关概念相伴概率可用于对假设的统计

12、推断: 检验统计量的观察值落在否定域中等价于相伴概率小于显著性水平，即 P 临界值，拒绝H0左侧检验：统计量 临界值，拒绝H0各种情况下：若P 1020 检验统计量： 比较：计算的Z=2.4 Z =1.645 判断：拒绝H0 ，接受H1 ，即这批产品的寿命确有提高。总体均值的检验( 2 已知)(例题分析)【例】一种罐装饮料采用自动生产线生产，每罐的容量是255ml，标准差为5ml。为检验每罐容量是否符合要求，质检人员在某天生产的饮料中随机抽取了40罐进行检验，测得每罐平均容量为255.8ml。取显著性水平=0.05 ，检验该天生产的饮料容量是否符合标准要求？双侧检验绿色健康饮品绿色健康饮品25

13、5255总体均值的检验( 2 已知)(例题分析)H0 ： = 255H1 ： 255 = 0.05n = 40临界值(c):检验统计量:z01.96-1.960.025拒绝 H0拒绝 H00.025决策:结论: 不拒绝H0样本提供的证据表明：该天生产的饮料符合标准要求 总体均值的检验(z检验) (P 值的计算与应用)第1步：进入Excel表格界面，直接点击“f(x)”(粘贴 函数)第2步：在函数分类中点击“统计”，并在函数名的 菜单下选择“NORMSDIST”，然后确定第3步：将 z 的绝对值1.01录入，得到的函数值为 0.843752345 P值=2(1-0.843752345)=0.31

14、2495 P值远远大于，故不拒绝H0总体均值的检验( 2 未知)(例题分析)【例】一种机床加工的零件尺寸绝对平均误差为1.35mm。生产厂家现采用一种新的机床进行加工以期进一步降低误差。为检验新机床加工的零件平均误差与旧机床相比是否有显著降低，从某天生产的零件中随机抽取50个进行检验。利用这些样本数据，检验新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相比是否有显著降低？ (=0.01) 左侧检验50个零件尺寸的误差数据 (mm)1.261.191.310.971.811.130.961.061.000.940.981.101.121.031.161.121.120.951.021.131.230.7

15、41.500.500.590.991.451.241.012.031.981.970.911.221.061.111.541.081.101.641.702.371.381.601.261.171.121.230.820.86总体均值的检验( 2 未知)(例题分析)H0 ： 1.35H1 ： 1.35 = 0.01n = 50临界值(c):检验统计量: 拒绝H0新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相比有显著降低决策:结论:-2.33z0拒绝H00.01总体均值的检验(z检验) (P 值的计算与应用)第1步：进入Excel表格界面，直接点击“f(x)”(粘贴函数)第2步：在函数分类中点击“统计

16、”，并在函数名的菜单下选择“ZTEST”，然后确定第3步：在所出现的对话框Array框中，输入原始数据所在区 域 ；在X后输入参数的某一假定值(这里为1.35)；在Sigma后输入已知的总体标准差(若未总体标准差未 知则可忽略不填，系统将自动使用样本标准差代替) 第4步：用1减去得到的函数值0.995421023 即为P值 P值=1-0.995421023=0.004579 P值 5200 = 0.05n = 36临界值(c):检验统计量: 拒绝H0 (P = 0.000088 = 0.05)改良后的新品种产量有显著提高 决策:结论:z0拒绝H00.051.645总体均值的检验(z检验) (P

17、 值的图示)抽样分布P = 0.000088 01.645a =0.05拒绝H01 - 计算出的样本统计量=3.75P 值总体均值的检验 (大样本检验方法的总结)假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式H0 ： m =m0H1 ： m m0H0 ： m m0H1 ： m m0统计量 已知： 未知：拒绝域P值决策拒绝H0总体均值的检验 (大样本检验方法的总结)正态总体2已知条件检验条件量拒绝域H0、H1(1) H0：=0 H1：0z(2) H0：0 H1：0(3) H0：0 H1： 0z0z0总体均值的检验 (小样本)1.假定条件总体服从正态分布小样本(n 30)检验统计量 2 已知： 2 未知：总

18、体均值的检验 (小样本检验方法的总结)假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式H0 ： m =m0H1 ： m m0H0 ： m m0H1 ： m m0统计量 已知： 未知：拒绝域P值决策拒绝H0注： 已知的拒绝域同大样本总体均值的检验 (例题分析)【例】一种汽车配件的平均长度要求为12cm，高于或低于该标准均被认为是不合格的。汽车生产企业在购进配件时，通常是经过招标，然后对中标的配件提供商提供的样品进行检验，以决定是否购进。现对一个配件提供商提供的10个样本进行了检验。假定该供货商生产的配件长度服从正态分布，在0.05的显著性水平下，检验该供货商提供的配件是否符合要求？ 10个零件尺寸的长度 (

19、cm)12.210.812.011.811.912.411.312.212.012.3总体均值的检验 (例题分析)H0 ： = 12H1 ： 12 = 0.05df = 10 - 1 = 9临界值(c):检验统计量: 不拒绝H0该供货商提供的零件符合要求 决策：结论：t02.262-2.2620.025拒绝 H0拒绝 H00.025总体均值的检验( t 检验) (P 值的计算与应用)第1步：进入Excel表格界面，直接点击“f(x)”(粘贴函数)第2步：在函数分类中点击“统计”，并在函数名的菜单下选择“TDIST”，然后确定第3步：在出现对话框的X栏中输入计算出的t的绝对值 0.7035，在D

20、eg-freedom(自由度)栏中输入本例的自由度9，在Tails栏中输入2(表明是双侧检验，如果是单测检验则在该栏输入1) 第4步：P值= 0.499537958 P值=0.05，故不拒绝H0 总体比率检验假定条件总体服从二项分布可用正态分布来近似(大样本)检验的 z 统计量 0为假设的总体比率总体比率的检验 (检验方法的总结)假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式H0： = 0H1： 0H0 ： 0H1 ： 0统计量拒绝域P值决策拒绝H0总体比率的检验 (例题分析)【例】一种以休闲和娱乐为主题的杂志，声称其读者群中有80%为女性。为验证这一说法是否属实，某研究部门抽取了由200人组成的一个随

21、机样本，发现有146个女性经常阅读该杂志。分别取显著性水平 =0.05和=0.01 ，检验该杂志读者群中女性的比率是否为80%？它们的值各是多少？双侧检验总体比率的检验 (例题分析)H0 ： = 80%H1 ： 80% = 0.05n = 200临界值(c):检验统计量:拒绝H0 (P = 0.013328 = 0.01)该杂志的说法属实 决策:结论:z02.58-2.580.025拒绝 H0拒绝 H00.025总体方差的检验 ( 2检验) 检验一个总体的方差或标准差假设总体近似服从正态分布使用 2分布检验统计量样本方差假设的总体方差总体方差的检验 (检验方法的总结)假设双侧检验左侧检验右侧检

22、验假设形式H0 ： 2= 02 H1 ： 2 02H0 ： 2 02 H1 ： 2 02统计量拒绝域P值决策 拒绝H0总体方差的检验(例题分析)【例】啤酒生产企业采用自动生产线灌装啤酒，每瓶的装填量为640ml，但由于受某些不可控因素的影响，每瓶的装填量会有差异。此时，不仅每瓶的平均装填量很重要，装填量的方差同样很重要。如果方差很大，会出现装填量太多或太少的情况，这样要么生产企业不划算，要么消费者不满意。假定生产标准规定每瓶装填量的标准差不应超过和不应低于4ml。企业质检部门抽取了10瓶啤酒进行检验，得到的样本标准差为s=3.8ml。试以0.10的显著性水平检验装填量的标准差是否符合要求？朝日

23、BEER朝日BEER朝日BEER朝日总体方差的检验(例题分析)H0 ： 2 = 42H1 ： 2 42 = 0.10df = 10 - 1 = 9临界值(s):统计量:不拒绝H0装填量的标准差符合要求 2016.91903.32511 /2 =0.05决策:结论:5.3 两个总体参数的检验 均值之差的检验比例之差的检验 方差比的检验两个总体参数的检验两个总体参数的检验z 检验(大样本)t 检验(小样本)z 检验F 检验独立大样本均值比率方差独立小样本两个总体均值之差的检验 (独立大样本)假定条件两个样本是独立的随机样本正态总体或非正态总体大样本(n130和 n230)检验统计量 12 ， 22

24、 已知： 12 ， 22 未知：两个总体均值之差的检验 (大样本检验方法的总结)假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式H0 ：m 1-m 2=0H1 ：m 1-m 2 0 H0 ：m 1-m 20H1 ：m 1-m 20统计量12 ， 22 已知12 ， 22 未知拒绝域P值决策拒绝H0两个总体均值之差的检验 (例题分析)【例】某公司对男女职员的平均小时工资进行了调查，独立抽取了具有同类工作经验的男女职员的两个随机样本，并记录下两个样本的均值、方差等资料如右表。在显著性水平为0.05的条件下，能否认为男性职员与女性职员的平均小时工资存在显著差异？ 两个样本的有关数据 男性职员女性职员n1=44n

25、1=32x1=75x2=70S12=64 S22=42.25两个总体均值之差的检验 (例题分析)H0 ： 1- 2 = 0H1 ： 1- 2 0 = 0.05 n1 = 44，n2 = 32临界值(c):检验统计量:决策:结论: 拒绝H0该公司男女职员的平均小时工资之间存在显著差异 z01.96-1.960.025拒绝 H0拒绝 H00.025两个总体均值之差的检验 ( 12， 22 已知)假定条件两个独立的小样本两个总体都是正态分布 12， 22已知检验统计量两个总体均值之差的检验 (12，22 未知但12=22)假定条件两个独立的小样本两个总体都是正态分布12、 22未知但相等，即12=2

26、2检验统计量其中：自由度：两个总体均值之差的检验 (12， 22 未知且不相等1222)假定条件两个总体都是正态分布12， 22未知且不相等，即1222样本容量相等，即n1=n2=n检验统计量自由度：两个总体均值之差的检验 (12， 22 未知且不相等1222)假定条件两个总体都是正态分布12，22未知且不相等，即1222样本容量不相等，即n1n2检验统计量自由度：两个总体均值之差的检验 (例题分析) 【例】甲、乙两台机床同时加工某种同类型的零件，已知两台机床加工的零件直径(单位：cm)分别服从正态分布，并且有12=22 。为比较两台机床的加工精度有无显著差异，分别独立抽取了甲机床加工的8个零

27、件和乙机床加工的7个零件，通过测量得到如下数据 。在=0.05的显著性水平下，样本数据是否提供证据支持 “两台机床加工的零件直径不一致”的看法？两台机床加工零件的样本数据 (cm)甲20.519.819.720.420.120.019.019.9乙20.719.819.520.820.419.620.2两个总体均值之差的检验 (例题分析)H0 ：1- 2 = 0H1 ：1- 2 0 = 0.05n1 = 8，n2 = 7临界值(c):检验统计量:决策:结论: 不拒绝H0没有理由认为甲、乙两台机床加工的零件直径有显著差异 t02.160-2.1600.025拒绝 H0拒绝 H00.025两个总体

28、均值之差的检验 (用Excel进行检验)第1步：将原始数据输入到Excel工作表格中 第2步：选择“工具”下拉菜单并选择“数据分析”选项 第3步：在“数据分析”对话框中选择 “t-检验：双样本等方差 假设”第4步：当对话框出现后 在“变量1的区域”方框中输入第1个样本的数据区域 在“变量2的区域”方框中输入第2个样本的数据区域 在“假设平均差”方框中输入假定的总体均值之差 在“”方框中输入给定的显著性水平(本例为0.05) 在“输出选项”选择计算结果的输出位置，然后“确定” 用Excel进行检验两个总体均值之差的检验(例题分析)【例】为检验两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方

29、法各随机安排12个工人，每个工人组装一件产品所需的时间(分钟)下如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，但方差未知且不相等。取显著性水平0.05，能否认为方法1组装产品的平均数量明显地高于方法2？两个方法组装产品所需的时间 方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.521两个总体均值之差的检验 (用Excel进行检验)第1步：将原始数据输入到Excel工作表格中 第2步：选择“工具”下拉菜单并选择“数据分析”选项 第3步：在“数据

30、分析”对话框中选择 “t-检验：双样本异方差 假设” 第4步：当对话框出现后 在“变量1的区域”方框中输入第1个样本的数据区域 在“变量2的区域”方框中输入第2个样本的数据区域 在“假设平均差”方框中输入假定的总体均值之差 在“”方框中输入给定的显著性水平(本例为0.05) 在“输出选项”选择计算结果的输出位置，然后“确定” 两个总体均值之差的检验(匹配样本)假定条件两个总体配对差值构成的总体服从正态分布配对差是由差值总体中随机抽取的 数据配对或匹配(重复测量 (前/后)检验统计量样本差值均值样本差值标准差匹配样本 (数据形式) 观察序号样本1样本2差值1x11x21d1 = x11 - x2

31、12x12x22d2 = x12 - x22MMMMix1ix2idi = x1i - x2iMMMMnx1nx2ndn = x1n- x2n两个总体均值之差的检验(匹配样本检验方法的总结)假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式H0 ：d=0H1 ：d0H0 ：d0H1 ：d0统计量拒绝域P值决策拒绝H0两个总体均值之差的检验 (例题分析) 【例】某饮料公司开发研制出一新产品，为比较消费者对新老产品口感的满意程度，该公司随机抽选一组消费者(8人)，每个消费者先品尝一种饮料，然后再品尝另一种饮料，两种饮料的品尝顺序是随机的，而后每个消费者要对两种饮料分别进行评分(0分10分)，评分结果如下表。取显

32、著性水平 =0.05，该公司是否有证据认为消费者对两种饮料的评分存在显著差异？ 两种饮料平均等级的样本数据新饮料54735856旧饮料66743976两个总体均值之差的检验 (用Excel进行检验)第1步：选择“工具”下拉菜单，并选择“数据分析”选项第2步：在分析工具中选择“t检验：平均值的成对二样本分析”第3步：当出现对话框后 在“变量1的区域”方框内键入数据区域 在“变量2的区域”方框内键入数据区域 在“假设平均差”方框内键入假设的差值(这里为0) 在“”框内键入给定的显著性水平 假定条件两个总体都服从二项分布可以用正态分布来近似检验统计量检验H0：1-2=0检验H0：1-2=d0两个总体

33、比率之差的检验两个总体比率之差的检验(检验方法的总结)假设双侧检验左侧检验右侧检验假设形式H0 ：1-2=0H1 ：1-20H0 ：1-20 H1 ：1-20 统计量拒绝域P值决策拒绝H0两个总体比率之差的检验 (例题分析) 【例】一所大学准备采取一项学生在宿舍上网收费的措施，为了解男女学生对这一措施的看法是否存在差异，分别抽取了200名男学生和200名女学生进行调查，其中的一个问题是：“你是否赞成采取上网收费的措施？”其中男学生表示赞成的比率为27%，女学生表示赞成的比率为35%。调查者认为，男学生中表示赞成的比率显著低于女学生。取显著性水平=0.01，样本提供的证据是否支持调查者的看法？ 21netnet两个总体比率之差的检验 (例题分析)H0 ：1- 2 0H1 ：1- 2 0 = 0.05n1=200 , n2=200临界值(c):检验统计量:决策:结论: 拒绝H0(P = 0.041837