椭圆和双曲线练习题与答案

1、圆锥曲线测试题一、选择题（共12题，每题5分）2y2x1已知椭圆12a25(a的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|8，弦5)AB过点F，则ABF2的周长为（）1（A）10（B）20（C）241（D）4412y2x上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P2椭圆110036到它的右焦点的距离是（）（A）15（B）12（C）10（D）82y2x的焦点3椭圆1259F、F2，P为椭圆上的一点，已知1PF1PF，2则F1PF的面积为（）2（A）9（B）12（C）10（D）84以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（）（A）22y22x2x（B）2y（C）4x或4y2yx2y

2、2或222x2y2x2（D）22y2x右支点上的一点P到右焦点的距离为2，则P5双曲线1169点到左准线的距离为（）（A）6（B）8（C）10（D）126过双曲线x8的右焦点F2有一条弦PQ，|PQ|=7,F2y2点，那么F1PQ的周长为（）（A）28（B）1482（C）1482（D）821是左焦7双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1、F2，120F1MF，2则双曲线的离心率为（）（A）3（B）6（C）26（D）3338在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为12，则该双曲线的离心率为()第1页共8页(A)2(B)2(C)2(D)2222y2x的弦被点(4，2)

3、平分，则这条弦所在的直9如果椭圆1369线方程是（）（A）x2y0（B）x2y40（C）2x3y120（D）x2y8010如果双曲线22xy421上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是（）(A)463(B)263(C)26(D)2311中心在原点，焦点在y轴的椭圆方程是xy，2sin2cos12sin2cos1(0,)2，则（）A(0,)4B(0,4C(,)42D,)4212已知双曲线22xyCab：的右焦点为F,过F且斜率为2210,0ab3的直线交C于A、B两点，若AF4FB,则C的离心率为（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA、65B、75C、58D、95二、填空

4、题（20）第2页共8页13与椭圆22xy431具有相同的离心率且过点（2，-3）的椭圆的标准方程是。14离心率5e，一条准线为x3的椭圆的标准方程3是。15以知F是双曲线22xy的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的1412动点，则PFPA的最小值为16已知双曲线22xy221(a0,b0)ab的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)，若双曲线上存在一点P使sinsinPFFa12PFFc21，则该双曲线的离心率的取值X围是三、解答题（70）17)已知椭圆C的焦点F1（22，0）和F2（22，0），长轴长6，设直线yx2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。2y2x18)已知

5、双曲线与椭圆1共焦点，它们的离心率之和为92514，求双曲线方程.58319)求两条渐近线为x2y0且截直线xy30所得弦长为3的双曲线方程。223)到两焦点的距离y20(1)椭圆C:x1(ab0)上的点A(1,222ab之和为4,求椭圆的方程;(2)设K是(1)中椭圆上的动点,F1是左焦点,求线段F1K的第3页共8页中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时，那么k是与点P位置无关的PMkPN22y定值。试对双曲线x1写出具有类似特性的性质，并22ab加以证明。2解：(1)1x2y432

6、(2)设中点为(x,y),F1(-1,0)K(-2-x,-y)在x1上2y43(x2y22)431(3)设M(x1,y1),N(-x1,-y1),P(xo,yo),xox12222x22x11则ob(1)yyb(1)21a2akPMkPNy0 x0y1x1y0 x0y1x120y2x02yx1212b22xx01(2a22xx01)22ba为定值。21(1)当k为何值时，直线l与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点。(2)过点P（1，2）的直线交双曲线于A、B两点，若P为弦AB的中点，求直线AB的方程；第4页共8页（3）是否存在直线l，使Q（1，1）为l被双曲线所截弦的中点。若存在，求出直线l

7、的方程；若不存在，请说明理由。解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0(*)()当2k2=0,即k=2时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点.()当2k20,即k2时=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)当=0,即32k=0,k=3时，方程(*)有一个实根，l与C有2一个交点.当0,即k3,又k2,故当k2或2k22或2k3时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.2当0，即k3时，方程(*)无解，l与C无交点.

8、2综上知：当k=2,或k=3，或k不存在时，l与C只有一2个交点；第5页共8页当2k3,或2k2,或k2时，l与C有两个2交点；当k3时，l与C没有交点.2（2）假设以P为中点的弦为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12y12=2,2x22y22=2两式相减得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=42(x1x2)=y1y1即kAB=yy=112xx12但渐近线斜率为2,结合图形知直线AB与有交点，所以以P为中点的弦为：y=x+1.(3)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12y2y12=

9、2,2x2=2,2x222y2=2两式相减得：2(x2y2=2两式相减得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y1即kAB=y=2y12xx12但渐近线斜率为2,结合图形知直线AB与C无交点，故假设第6页共8页不正确，即以Q为中点的弦不存在.13)与椭圆22xy具有相同的离心率且过点（2，-3）的椭圆143的标准方程是22xy861或223y4x25251。14）离心率5e，一条准线为x3的椭圆的标准方程是3292xy5201。17)已知椭圆C的焦点F1（22，0）和F2（22，0），长轴长6，设直线yx2交椭圆C于A、B

10、两点，求线段AB的中点坐标。(8分)解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:2x9y21.联立方程组2x21y,消去y得,9yx210 x236x270.设A(xy),B(1,1xy),B(xy),AB线段的中点为M(2,2xy),AB线段的中点为M(xy)则:0,0 xy)则:18xx,125x=0 x1x2925所以y=0 x+2=015.也就是说线段AB中点坐标为(-95,15).2y2x共焦点，它们的离心率之和为18)已知双曲线与椭圆192514，求双曲线方程.(10分)5解:由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为e=45为F(0,4),离心率为2,从而c=4,a=2,b=23.,所以双曲线的焦点所以求双曲线方程为:22yx.14128320)求两条渐近线为x2y0且截直线xy30所得弦长为3的双曲线方程。(10分)第7页共8页解:设双曲线方程为x2-4y2-4y2=.联立方程组得:22x-4y=xy30,消去y得，3x2-24x+(36